线性系统理论.pptx

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1、读书即未成名究竟人品高雅修德不期获报自然梦稳心安第1页/共55页切实功夫须从难处做去真正学问都自苦中得来第2页/共55页本课程的目的：本课程的目的：学习线性系统的描述方法及运动特性；学习线性系统的描述方法及运动特性；研究线性系统能控性和能观性；研究线性系统能控性和能观性；研究线性系统标准形；研究线性系统标准形；分析系统的稳定性；分析系统的稳定性；研究与设计线性系统的反馈控制器；研究与设计线性系统的反馈控制器；了解线性系统理论研究的前沿了解线性系统理论研究的前沿第3页/共55页 教学要求及目的教学要求及目的掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。了解关于线性系

2、统理论的当前科研前沿领域。了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。第4页/共55页 课程主要内容线性系统的数学描述线性系统的数学描述线性系统运动分析线性系统运动分析离散时间系统离散时间系统线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析线性系统的能控性与能观测性线性系统的能控性与能观测性线性时变系统线性时变系统极点配置极点配置状态观测器与分离原理状态观测器与分离原理第5页/共55页课程教材及主要参考书课程教材及主要参考书1）肖建，张友刚肖建，张友刚.线性系统线性系统.西南交通大学出版社，西南交通大学出版社，201120112

3、 2）郑大钟线性系统理论（第）郑大钟线性系统理论（第2 2版）清华大学出版社，版）清华大学出版社，200220023 3）段广仁线性系统理论哈尔滨工业大学出版社，）段广仁线性系统理论哈尔滨工业大学出版社，19961996第6页/共55页1.11.1概论概论 线性系统理论的研究对象线性系统理论的研究对象 系统系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一是由相互关联和相互作用的若干部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。定规律组合而成的具有特定功能的整体。动态系统动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或（动力学系统），可用一组微分方程或差分方程描述。差分方程描述。线性系统线性系统：满足叠加原理的

4、动态系统：满足叠加原理的动态系统第7页/共55页第8页/共55页系统的研究方法系统的研究方法经验法经验法 理论法：依据数学理论理论法：依据数学理论建模（对真实系统的抽象）建模（对真实系统的抽象）建立数学描述建立数学描述分析分析设计设计本课程的研究范围本课程的研究范围 对象：线性动态系统，数学模型已知对象：线性动态系统，数学模型已知 工具：数学工具：数学第9页/共55页课程的主要任务课程的主要任务研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。系统结构、参

5、数、行为和性能间的确定的和定量的关系。系统分析系统分析系统运动规律系统运动规律综合问题综合问题改变运动规律的可能性和方法改变运动规律的可能性和方法第10页/共55页历史回顾历史回顾 五十年代前，古典控制理论：频域法。传递函数处理五十年代前，古典控制理论：频域法。传递函数处理SISO系统。系统。五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：计算机的出现计算机的出现 控制系统的要求，空间技术的发展控制系统的要求，空间技术的发展第11页/共55页状态空间方法状态空间方法五十年代末期，五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，提出状态空间理论，用用LQG技术设计，得

6、出最优状态反馈定律。缺技术设计，得出最优状态反馈定律。缺点：点：性能指标的选择性能指标的选择 状态反馈观测器状态反馈观测器可控性，可观性的提出，极点配置设计可控性，可观性的提出，极点配置设计频域方法频域方法，多变量的频域方法，多变量的频域方法 Rosenbrock的逆奈奎斯特判据的逆奈奎斯特判据多变量根轨迹法多变量根轨迹法MFD方法方法多项式矩阵方法多项式矩阵方法Fractional Representation 稳定的真有理函数矩阵公式表示法稳定的真有理函数矩阵公式表示法 第12页/共55页主要流派主要流派状态空间法几何法代数理论多变量频域理论第13页/共55页 第二章系统的数学描述第14页

7、/共55页21 系统的分类系统的分类 u y 系统 u 输入输入 y 输出输出 yHu第15页/共55页若若u和和y都是标量，称为都是标量，称为单输入单输出单输入单输出系统系统(SISO)系统，否则称为系统，否则称为多变量系统多变量系统瞬时系统与动态系统瞬时系统与动态系统（无记忆系统与有记忆系统）：若系统在（无记忆系统与有记忆系统）：若系统在t1时刻的输出仅取时刻的输出仅取决于该时刻所加的输入决于该时刻所加的输入u(t1)，则称该系统为瞬时系统（无记忆系统）（它可用，则称该系统为瞬时系统（无记忆系统）（它可用代数方程表达）。否则，若系统在代数方程表达）。否则，若系统在t1时刻的输出不仅取决于时

8、刻的输出不仅取决于u(t1)，还与，还与t1时刻时刻以前的和（或）以后的输入有关，则称其为动态系统（有记忆系统）。以前的和（或）以后的输入有关，则称其为动态系统（有记忆系统）。第16页/共55页松弛性松弛性 若系统在若系统在 时刻的输出仅取决于时刻的输出仅取决于 时刻的输出，时刻的输出，则称该系统为瞬时系统，或无记忆系统。但一般则称该系统为瞬时系统，或无记忆系统。但一般的系统不是瞬时系统，即系统在的系统不是瞬时系统，即系统在 时刻的输出不时刻的输出不仅取决于仅取决于 时刻的输入，也取决于时刻的输入，也取决于 以前和以前和（或）（或）以后的输入。为了研究的方便，假定在以后的输入。为了研究的方便，

9、假定在时刻时刻 ，系统的输出，系统的输出 仅由输仅由输入入 唯一决定，系统的这一性质称唯一决定，系统的这一性质称为松弛性。从能量角度说，若系统在为松弛性。从能量角度说，若系统在t0 时刻是松时刻是松弛的，就表明系统在弛的，就表明系统在 t0 时刻不存储任何能量。时刻不存储任何能量。在工程实践中，在工程实践中，总可以假定系统在总可以假定系统在 时是时是松弛的或静止的松弛的或静止的。第17页/共55页 对于动态系统，若只是知道 往往不能唯一确定输出 ，这是因为还必须知道系统在t1以前的输入。若系统是松弛的（静止）（即在t=t0时系统无能量）。这时若 加入系统，则输出 由其唯一确定。将系统看作一个映

10、射，它将输入映射到输出，设H为相应的算子，则成立第18页/共55页定义定义1，称一个初始松弛的系统为，称一个初始松弛的系统为线性系统线性系统，iff 对任何输入对任何输入u1和和u2及任何实数及任何实数 和和 ，成立叠加原理：，成立叠加原理：不满足以上关系式的系统称为非线性系统不满足以上关系式的系统称为非线性系统。第19页/共55页定义定义2，称系统为，称系统为因果因果的的(Causal)或非预期的或非预期的(Nonanticipatory)，若系统在，若系统在时刻时刻t的输出仅取决于时刻的输出仅取决于时刻t和在和在t以前所加入的输入，而与以前所加入的输入，而与t以后的输入无关。以后的输入无关

11、。现实物理系统大都为因果的。现实物理系统大都为因果的。第20页/共55页定义定义3，称系统在，称系统在t0时为时为松弛松弛的，的，iff 系统输出系统输出 唯一的只由唯一的只由 所所激励。例如激励。例如RC网络，网络，Uc(0)=0。第21页/共55页定义4，位移算子位移算子 ，即算子作用的结果使即算子作用的结果使得原输出在时间上延迟得原输出在时间上延迟。u(t)t0t0Qu(t)u(t)+t0第22页/共55页定义5，称松弛系统，称松弛系统为时不变为时不变的，若对任何输入的，若对任何输入u u，和任意实数，和任意实数，成立，成立ttyuuQuHuQHu第23页/共55页 线性定常系统线性定常

12、系统：通常由常系数：通常由常系数 微分方程或差分方程描述微分方程或差分方程描述 线性时变系统线性时变系统：通常由时变系数微：通常由时变系数微分分 方程或差分方程描述方程或差分方程描述线线性性系系统统第24页/共55页222 2 线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵脉冲函数脉冲函数第25页/共55页定义单位脉冲函数定义单位脉冲函数第26页/共55页 1jp(t-(t-)1iqg gijij(t-(t-)p p输入端输入端q q输出端的线性定常系统输出端的线性定常系统第27页/共55页考虑一考虑一p个输入端和个输入端和q个输出端的线性定常系统。设系统在时刻个输出端的线性定常系统。设系统在时

13、刻为松弛的，时为松弛的，时刻刻在第在第j个输入端加入一个单位脉冲函数，而令其它输入端的输入为零。用个输入端加入一个单位脉冲函数，而令其它输入端的输入为零。用gij(t-)表示第表示第i个输出端在时刻个输出端在时刻(t-)的响应函数。用这样的的响应函数。用这样的pq个响应函数个响应函数gij(t-)(i=1,q,j=1,p)构成的矩阵称为系统的构成的矩阵称为系统的脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵。第28页/共55页设系统满足因果律，故而设系统满足因果律，故而 设系统输入向量设系统输入向量U的第的第j个元素为个元素为uj，可以用一系列脉冲函数逼近：，可以用一系列脉冲函数逼近：于是系统的输出为：于是系统的输

14、出为：令令t0，则有，则有第29页/共55页若令若令t0=0，则有，则有作变量替换有作变量替换有 以上积分关系式称为以上积分关系式称为卷积卷积。系统的输入特性可以用脉冲响应矩阵系统的输入特性可以用脉冲响应矩阵G(t)表示。已知系统输入表示。已知系统输入u(t)及及G(t)，则，则可通过卷积求出系统的输出。可通过卷积求出系统的输出。第30页/共55页23 传递函数矩阵传递函数矩阵对对SISO系统，系统的传递函数系统，系统的传递函数h(s)与脉冲响应矩阵函数与脉冲响应矩阵函数g(t)之间满足关系式之间满足关系式同样，对于同样，对于p输入输入q输出的多变量系统，输出的多变量系统，因为有因为有 而时域

15、的卷积对应于频域的相乘，因此而时域的卷积对应于频域的相乘，因此脉冲响应矩阵和传递函数矩阵构成拉氏变换对第31页/共55页24 状态方程状态方程现代控制理论是在引入现代控制理论是在引入状态和状态空间状态和状态空间概念的基础上发展起来的。状态方程由于概念的基础上发展起来的。状态方程由于考虑了系统的输入状态输出这一内部过程，从而是系统动力学特性的完整描考虑了系统的输入状态输出这一内部过程，从而是系统动力学特性的完整描述述。第32页/共55页建立图示电路的数学模型建立图示电路的数学模型。实例R CLi(t)ur(t)uc(t)第33页/共55页状态空间的描述方程 在已知在已知ur(t)的情况下，只要知

16、道的情况下，只要知道 uc(t)和和i(t)的变化特性，的变化特性，则其他变量的变化均可知道。则其他变量的变化均可知道。故故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记状态方程状态方程输出方程输出方程 第34页/共55页状态变量状态变量：能完全的描述系统时间域行为的一最小内部变量组：能完全的描述系统时间域行为的一最小内部变量组 x1(t),xn(t)，即，即1)时刻时刻t的状态变量值的状态变量值 x1(t),xn(t)，由，由t0t的起始变量的起始变量 x1(t0),xn(t0)和和由由t0到到t时刻的输入变量时刻的输入变量 所确定。所确定。2)时刻时刻t的系统输出由该时刻的状态

17、变量值和输入值所唯一确定的系统输出由该时刻的状态变量值和输入值所唯一确定。第35页/共55页由状态变量 x1(t),xn(t)构成的列向量称为系统的状态向量状态向量，简称状态状态。固定t，则x(t)为Rn中的一个元素（n元实数组）。状态空间状态空间：状态向量取值的向量空间。通常为Rn，即n维欧氏空间。对于某一确定时刻t0，状态x(t0)为状态空间中的一个点。而tt0时刻的状态构成了状态空间中的一条轨线（状态轨线状态轨线）。第36页/共55页输入引起状态的变化是一个运动的过程，通常数学上用微分方程（或差分方程）描述，则该方程即为状态方程状态方程。例如对连续动态系统，我们有：令第37页/共55页则

18、有它是一非线性时变微分方程组。另外由状态变量的定义，系统的输出由输出方程输出方程给出：简记为即系统的状态方程描述状态方程描述为第38页/共55页可根据系统的状态描述对系统进行分类。1)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 在选定的一组状态变量下，称一个系统为非线性系统，若其状态空间描述中，f 与(或)g 的某些分量是x1,xn和u1,um的非线性函数。反之，若f 与g 的各分量均是x 与u 的线性函数，则称为线性系统。线性系统的状态描述可表示为：第39页/共55页例：非线性系统 线性时变系统 非线性系统可以在其某一平衡点 附近线性化。第40页/共55页2)时变系统与时不变系统时变系统与时不

19、变系统当且仅当系统的状态方程描述中显含时间t时，即f 和g 或(A,B,C,D)显含t 时，称为时变系统。否则称为时不变系统。非线性时不变系统非线性时不变系统线性时不变系统（定常）线性时不变系统（定常）第41页/共55页系数矩阵：A(nn)，B(nm)，C(pn)，D(pm)，简记为(A,B,C,D)，由于Du(t)是直接输出项，与状态方程无关，并且对一般工程系统，D0，故通常讨论(A,B,C)系统。例线性时变系统第42页/共55页3）连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 若系统的状态变量x(t),y(t)与u(t)都是随时间 t 连续变化，则称为连续时间系统。反之若系统的各个

20、变量在某些离散的时刻取值，则称为离散时间系统。如生态系统、经济系统。4）确定性系统和随机系统 若系统的特性和参数都是按确定的规律变化，并且各输入变量（控制和扰动）也是按确定的规律变化，则称为确定系统。即通过分析可确定系统的状态和输出变量在任一时刻的值。反之，若系统的特性和参数不是按确定的规律变化与（或）作用于系统的变量是随机变量，则为随机系统。第43页/共55页 Rn n n (系统矩阵系统矩阵)Rn p p (输入矩阵输入矩阵)线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第44页/共55页 对于线性定常系统，对于线性定常系统，A、B、C、D为常数阵。为常数阵。故故 Rq n n (输输出出矩

21、矩阵阵)Rq p (直接联系阵直接联系阵)常简写常简写：定常定常时变时变常用系统常用系统 ：(A,B,C),(A,B,C,D),A,B,C 第45页/共55页模拟图模拟图状态变量方程状态变量方程输入输入-输出描述输出描述状态变量描述状态变量描述实现问题实现问题226 6 由输入输出描述得出状态方程描述由输入输出描述得出状态方程描述第46页/共55页已知系统由已知系统由n阶微分方程描述阶微分方程描述(1(1)其中其中y(t)为输出，为输出，u(t)为输入。两边取拉氏变换可为输入。两边取拉氏变换可得到以上系统的传递函数为得到以上系统的传递函数为考虑单输入考虑单输入单输出系统（单输出系统（SISOS

22、ISO系统）系统）第47页/共55页1 1 辅助变量法辅助变量法设设mn引入辅助变量引入辅助变量xa(s)，成立，成立令令即即第48页/共55页第49页/共55页27 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵设设输入输入u(t)=u1(t)，up(t)T其其Laplace变换变换为：为：输出输出 y(t)=y1(t),yq(t)T其其Laplace变换变换为：为：其中其中 为为传递函数矩阵传递函数矩阵。第50页/共55页228 8 坐标变换坐标变换 固定固定t，则，则x(t)为状态空间的一个点，即为为状态空间的一个点，即为n元实数向量。可以把元实数向量。可以把x看作对应于状

23、态空间某看作对应于状态空间某组基下的坐标。如果改变状态空间的基则其坐组基下的坐标。如果改变状态空间的基则其坐标亦作改变。这种改变基的变换，称为坐标变标亦作改变。这种改变基的变换，称为坐标变换。利用坐标变换可以突出系统的某些特征，换。利用坐标变换可以突出系统的某些特征，或者简化问题的分析计算。或者简化问题的分析计算。第51页/共55页定理定理1 1：考虑系统考虑系统引入引入坐标变换坐标变换并令变换后的状态空间并令变换后的状态空间描述为描述为:（P 非奇异）非奇异）则成立则成立并称并称 和和 为代数等价系统为代数等价系统第52页/共55页定理定理2：坐标变换不改变系统的特征值，即坐标变换不改变系统的特征值，即 和和 有相同的特征值。有相同的特征值。第53页/共55页定理定理3 3：线性定常系统的传递函数矩阵在坐：线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。标变换下保持不变。第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页