微积分英文版3.pptx

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1、微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton第1页/共70页2.1Two Problems with One Theme第2页/共70页Tangent Lines&Secant LinesThe slope of a secant line between 2 points on a curve is the change in y-values divided by the change in x-values.Since a tangent line touches only one point

2、 on the curve,how do we find the slope of the line?We consider the slope of 2 points that are INFINITELY close together at the point of tangencythus a limit!第3页/共70页Average Velocity&Instantaneous VelocitySimilar to slope of a secant line,to find average velocity,we find the change in distance divide

3、d by the change in time between 2 points on a time interval.To find instantaneous velocity,we find the difference in distance and time between two points in time that are INIFINITELY close togetheragain,a limit!第4页/共70页Tangent Line Slope at x=c&Instantaneous Velocity at t=c are defined the SAME第5页/共

4、70页一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共70页A falling bodys velocity is defined.Find the instantaneous velocity at t=1 seconds.第7页/共70页2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共70页两个问题的两个

5、问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rest of Change:第9页/共70页3.2 The DerivativeThe derivative of f(x)is designated as f(x)or f or y.第10页/共70页3.2 The Derivative第11页/共70页思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是

6、数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共70页二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共70页运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共70页若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.机动 目录 上页 下页 返回

7、 结束 3.6 Leibniz Notation第15页/共70页Differentiability implies continuity.If the graph of a function has a tangent at point c,then there is no“jump”on the graph at that point,thus is continuous there.第16页/共70页函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例

8、:在 x=0 处连续,但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共70页2.设设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共70页2.3Rules for Finding Derivatives第19页/共70页常数和基本初等函数的导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共70页例例.求椭圆求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共70页四则运算求导法则四则运算求导法则 定理定理.的和、差、积、商(除分母为 0的

9、点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共70页此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,第23页/共70页(2)证证:设则有故结论成立.推论推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)第24页/共70页(3)证证:设则有故结论成立.推论推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)第25页/共70页例例.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共70页有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则(C为常数)机动 目录 上页 下

10、页 返回 结束 第27页/共70页2.4Derivatives of Trigonometric Functions第28页/共70页 FormulaFormula 解解第29页/共70页f(sin x)=cos xf(cos x)=-sin xFind derivatives of other trig.functions using these derivatives and applying product rule and/or quotient rule第30页/共70页例例.求证求证证证:类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共70页Derivatives of

11、sec(x),csc(x)and cot(x)All are found by applying the product and/or quotient rules and using known derivatives of sin(x)and cos(x).第32页/共70页2.5The Chain Rule复合函数求导法则复合函数求导法则第33页/共70页For a composite function,its derivative is found by taking the derivative of the outer function,with respect to the in

12、ner function,times the derivative of the inner function with respect to x.If the composition consists of 3 or more functions,continue to take the derivative of the next inner function,with respect to the function within it,until,finally,the derivative is taken with respect to x.第34页/共70页在点 x 可导,复合函数

13、求导法则复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共70页求下列函数的导数第36页/共70页例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共70页例例.求解解:例例.设解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共70页例例.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共70页例例.设设求解解:机动 目录

14、 上页 下页 返回 结束 第40页/共70页Find the derivative(note this is the composition of 3 functions,therefore there will be 3“pieces”to the chain.)第41页/共70页3.7Higher-Order Derivatives第42页/共70页f=2nd derivativef=3rd derivativef=4th derivative,etcThe 2nd derivative is the derivative of the 1st derivative.The 3rd der

15、ivative is the derivative of the 2nd derivative,etc.第43页/共70页定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共70页Velocity is the derivative of distance with respect to time(1st derivative)and Acceleration is the derivative of velocity with respect

16、 to time(2nd derivative of distance with respect to time)Up(or right)is a positive velocity.Down(or left)is a negative velocity.When an object reaches its peak,its velocity equals zero.第45页/共70页速度即加速度即引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 第46页/共70页3.8Implicit Differentiation(An application of the chain rule!

17、)y is now considered as a function of x,therefore we apply the chain rule to yApply all appropriate rules and solve for dy/dx.第47页/共70页Find the derivative第48页/共70页例例.求椭圆求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页/共70页例例.求求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页/共70页 1)对幂指函数可用对数求

18、导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第51页/共70页2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共70页又如又如,对 x 求导两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第53页/共70页设设由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第54页/共70页设设求分别用对数微分法求答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第55页/共70页2.8Re

19、lated RatesA very,very important application of the derivative!Applies to situations where more than one variable is changing with respect to time.The other variables are defined with respect to time,and we differentiate implicitly with respect to time.第56页/共70页 相关变化率相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变

20、化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共70页相关变化率相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共70页例例.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直处离地面铅直上升上升,其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求

21、导已知 h=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页/共70页由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x 是 y 的函数)关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页/共70页例例.抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共70页抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程

22、速度的水平分量垂直分量在刚射出(即 t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向机动 目录 上页 下页 返回 结束 第62页/共70页2.9Differentials&Approximationsdx is the differential of x,graphically it is the change in the x of the tangent to the curve(dy/dx)dy is the differential of y,graphically is corresponds to the change in the y of the tange

23、nt to the curve(dy/dx)第63页/共70页微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第64页/共70页微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第65页/共70页误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第66页/共70页例例.设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束(mm)第67页/共70页当当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第68页/共70页的近似值.解解:例例.计算计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 第69页/共70页感谢您的观看！第70页/共70页