线性空间和线性映射.pptx

《线性空间和线性映射.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性空间和线性映射.pptx（57页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、其中为维输入变量，维状态向量，为矩阵理论的简单应用一 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统状态空间的线性微分方程组为第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射第1页/共57页分别为m维输出向量，矩阵为型矩阵且均为时间的函数。定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为 考虑一个线性定常系统 第2页/共57页定义 对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。定义 对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由

2、从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入为零的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。第3页/共57页我们首先以单输入单输出系统为例。考虑下面的单输入单输出系统：其中 和 是 维矢量，是 矩阵，及 是标量。定理定理1 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵是可逆（非奇异）矩阵。第4页/共57页由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例例 1 1 设 第5页/共57页由于矩阵例 2 设第6页/共57页 是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统 是不可控的。定理定理2 上面的单输入单输出系统是可观测的充分 必要条件是可观测性判别矩阵 是可逆（非奇异）

3、矩阵。第7页/共57页例例 3 3由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例 4 设第8页/共57页由于矩阵 是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是 不可观测的。第9页/共57页 我们再以多输入多输出系统为例。考虑下面的多输入多输出系统：定理定理3 多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵 是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件 是可观测性判别矩阵是列满秩的。第10页/共57页由于矩阵是行满秩的，所以相应的系统是可控的。例 5 设第11页/共57页二 矩阵理论在生物数学中的应用 在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花的花

4、瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属的植物花有8瓣；万寿菊的花有13瓣；紫菀属植物的花有21瓣；大多数雏菊的花有34，55，89 瓣。另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为Fibonacci级数。它满足下述递推公式：第12页/共57页以及初始条件：试求该数列的通项公式，并且求出极限 解 设因为 ，所以 第13页/共57页令那么我们有 于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出 即可，我们利用 的相似标准形来化简 的计算。的特征多项式为 ，它的两个特征根为：第

5、14页/共57页同理可得基础解系的一个向量为:由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组可以得到基础解系的一个向量为：第15页/共57页令那么从而由递推公式以及初始条件可得第16页/共57页比较上式的第二个分量得这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容易计算出：0.618 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法经常称为黄金分割法。第17页/共57页第一节 线性空间的概念一 线性空间的定义与例子定义 设 是一个非空的集合，是一个数域，在集合 中定义两种代数运算,一种是加法运算,用 来表示;另一种是数乘运算,用 来表示,并且这两

6、种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律（2）加法结合律 第18页/共57页（3）零元素 在 中存在一个元素 ，使得对于任意的 都有（4）负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得 则称 是 的 负元素.（5）数 1 第19页/共57页（6）（7）（8）称这样的集合 为数域 上的线性空间。例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。第20页/共57页 例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间.例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：例例 5 5 表示实

7、数域 上的全体无限序列组成的的集合。即第21页/共57页在 中定义加法与数乘：则 为实数域 上的一个线性空间。例 6 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于 都有第22页/共57页例7 在 中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成 上的线性空间。Hilbert条件是：级数 收敛例8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数 ，使得二 线性空间的基本概念及其性质定义定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩.第23页/共57页基本性质

8、：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。第24页/共57页例1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例3 实数域 上的线性空间 中，函数组也

9、是线性无关的。第25页/共57页例4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得第26页/共57页中的任意一个向量 都可以由 线性表出:则称 为 的一个基底；为向量 在基底 下的坐标。此时我们称 为一个 维线性空间，记为 例1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组 第27页/共57页 都是 的基。是3维线性空间。例2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。是4维线性空间。例3 实数域 上的线性空间 中的向量组 第28页/共57页 与向量组都是 的基底

10、。的维数为 注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4 在4维线性空间 中，向量组第29页/共57页 与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。解：设向量 在第一组基下的坐标为 第30页/共57页于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为第31页/共57页由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设 （旧的）与 （新的）是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为 第32页/共57页将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称 阶方阵第

11、33页/共57页是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵 是可逆的。第34页/共57页任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，那么我们有：称上式为坐标变换公式。例1 在4维线性空间 中，向量组第35页/共57页与向量组第36页/共57页为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式第37页/共57页向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为第38页/共57页 线性空间的子空间定义 设 为数域 上的一个 维线性空间，为 的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的 都有那么我们称 为 的一个

12、子空间。例1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身.第39页/共57页例2 设 ，那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合 第40页/共57页构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。的基底即为向量组 的维数即为向量组 的秩。例4 实数域 上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合

13、，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，第41页/共57页子空间的交与和两个子空间的交:两个子空间的和:子空间交与和的性质:1.若 和 都是 的子空间,则 和 也是 的子空间.2.3.4.两个子空间的直和:如果 中的任一向量只能唯一表示为子空间 的一个向量与子空间 的一个向量的和,则称 为 与 的直和.第42页/共57页 矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量 定义 设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素 ，中都存在一个非零向量 ，使得 那么称 为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量。现在设 是数域 上的 维线性空间，中取定一组基

14、 ，设线性变换 在这组基下的矩阵是 ，向量 在这组基下的坐标是 ，。那么我们有 第43页/共57页由此可得定理：是 的特征值 是 的特征值.是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量.因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。第44页/共57页例1 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是求 的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为第45页/共57页所以 的特征值是 （二重）与 。对于特征值 ，解齐次线性方程组得到一个基础解系：第46页

15、/共57页从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 属于 3的全部特征向量是 这里 为数域 中不全为零的数对。对于特征值 ，解齐次线性方程组得到一个基础解系：第47页/共57页从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量这里 为数域 中任意非零数。矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征第48页/共57页值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的特征子空间，记为 ，不难看出 正

16、是特征方程组 的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。第49页/共57页（3）设 是 的 个互不同的特征值，的几何重数为 ，是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。第50页/共57页（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化定义 数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为可以对角化的，如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在 中取定一个基底 ，设线性变换 在这个基下的矩阵为 ，那么可以得到下面的定理定理：可以对角化 可以对角化。定理：阶矩阵 可以

17、对角化的充分必要条件是 第51页/共57页 有 个线性无关的特征向量。定理：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1 判断矩阵是否可以对角化？解：先求出 的特征值第52页/共57页于是的特征值为 （二重）由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑第53页/共57页于是 从而不可以相似对角矩阵。例2 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是第54页/共57页判断是 否可以对角化？解：根据前面例题的讨论可知 有3个线性无关的特征向量:因此 可以对角化，在这组基下的矩阵是第55页/共57页由基 到基 的过渡矩阵是于是有第56页/共57页北京理工大学高数教研室*感谢您的观看！第57页/共57页