数学模型姜启源马氏链模型.pptx
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1、马氏链模型马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在,将来与过去无关(无后效性)描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型马氏链马氏链(Markov Chain)时间、状态均为离散的随机转移过程时间、状态均为离散的随机转移过程第1页/共38页通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特定年龄段的人,今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7,11.1 健康与疾病健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变
2、保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率第2页/共38页Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,无关状态状态与与状态转移状态转移状态转移具有无后效性 120.80.20.30.7第3页/共38页 n 0a2(n)0 a1(n)1设投保时健康给定a(0),预测 a(n),n=1,2设投保时疾病a2(n)1 a1(n)0 n时状态概率趋于稳定值,稳定值与初始状态无关3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 状态状态与与状态转移状态转移120
3、.80.20.30.710.80.220.780.22第4页/共38页1230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病状态同上,Xn=1 健康,Xn=2 疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02 死亡为第3种状态,记Xn=3健康与疾病健康与疾病 p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1 p31=0,p32=0,p33=1 第5页/共38页n 0 1 2 3 a2(n)0 0.18 0.189 0.1835 a3(n)0 0.02 0.054 0.0880 a1(n)1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态,预测 a(n),n=1,2
4、 不论初始状态如何,最终都要转到状态3;一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于nk,a1(n)=0,a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3不会转移到其它状态。状态状态与与状态转移状态转移001 50 0.1293 0.0326 0.8381 第6页/共38页马氏链的基本方程马氏链的基本方程基本方程第7页/共38页马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型 1.正则链 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态(如例1)。w 稳态概率第8页/共38页马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型 2.吸收链 存在吸收状态(一旦到达就不会离开的状态i,pii=1),且从任一非
5、吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态(如例2)。有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式R有非零元素yi 从第 i 个非吸收状态出发,被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。第9页/共38页11.2 钢琴销售的存贮策钢琴销售的存贮策略略 钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为1架存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时,才订购3架供下周销售;否则,不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大,以及每周的平均销售量是多少。背景与问题背景与问题第10页/共38页问题分析问题分析 顾客的到来相互独立,需求量近似服从波松分布,其参数由
6、需求均值为每周1架确定,由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0,1,2,3,周初的库存量可能是1,2,3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超过库存)的概率不同。可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。第11页/共38页模型假设模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布,均值为每周1架 存贮策略:当周末库存量为零时,订购3架,周初到货;否则,不订购。以每周初的库存量作为状态变量,状态转移具有无后效性。在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率,和每周的平均销售量。第12页/共
7、38页模型建立模型建立 Dn第n周需求量,均值为1的波松分布 Sn第n周初库存量(状态变量)状态转移规律 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019状态转移阵 第13页/共38页模型建立模型建立 状态概率 马氏链的基本方程正则链 稳态概率分布 w 满足 wP=w已知初始状态,可预测第n周初库存量Sn=i 的概率n,状态概率 第14页/共38页第n周失去销售机会的概率 n充分大时 模型求解模型求解 从长期看,失去销售机会的可能性大约 10%。1.估计在这种策略下失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061
8、 0.019第15页/共38页模型求解模型求解 第n周平均售量从长期看,每周的平均销售量为 0.857(架)n充分大时 需求不超过存量,销售需求需求超过存量,销售存量 思考:为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架)?2.估计这种策略下每周的平均销售量第16页/共38页敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周1(架)附近波动时,最终结果有多大变化。设Dn服从均值为 的波松分布 状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去销售机会的概率 当平均需求增长(或减少)10%时,失去销售机会的概率将增长(或减少)约12%。第17页/共
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