材料力学第3章扭转.pptx

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1、第1页/共72页 MMe eMMe e 二、受力特点二、受力特点二、受力特点二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶于杆件轴线的力偶.三、变形特点三、变形特点三、变形特点三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.第2页/共72页直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图第3页/共72页按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作

2、功完成：已知已知轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e若功率的单位为若功率的单位为马力马力时，则公式为时，则公式为第4页/共72页MMe 在在n n-n n 截面处假想将轴截开取截面处假想将轴截开取左侧为研究对象左侧为研究对象二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算1.1.1.1.求内力求内力求内力求内力截面法截面法T TMMeMMe第5页/共72页MexnnMeMexT TMexT T 采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正指向背离截面时扭矩为正,反之为负反之为负.2.2.2

3、.2.扭矩符号的规定扭矩符号的规定扭矩符号的规定扭矩符号的规定3.3.3.3.扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图 用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x x 表示表示横截面的位置横截面的位置;用垂直于杆轴线的用垂直于杆轴线的坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩表示横截面上的扭矩,正的正的扭矩画在扭矩画在 x x 轴上方轴上方,负的扭矩画在负的扭矩画在 x x 轴下方轴下方.T Tx x+_ _第6页/共72页MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n例题例题1 1 一传动轴如图所示一传动轴如图所示,其转速其转速 n n=300 r/min,=300 r/min,

4、主动轮主动轮A A输入的输入的功率为功率为P P1 1=500 kW.=500 kW.若不计轴承摩擦所耗的功率若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输三个从动轮输出的功率分别为出的功率分别为P P2 2=150 kW,=150 kW,P P3 3=150 kW,=150 kW,P P4 4=200 kW.=200 kW.试做扭矩图试做扭矩图.第7页/共72页解解:计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n第8页/共72页 计算计算 CACA 段内任横一截面段内任横一截面 2-2 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩.假设假设 T T 2 2

5、为正值为正值.结果为负号结果为负号,说明说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程A AB BC CD D MMe1e1MMe3e3MMe2e22 22 2同理同理,在在 BCBC 段内段内B BC CxMe2Me3T2MMe4e4Me2x x第9页/共72页A AB BC CD D同理同理,在在 BCBC 段内段内在在 ADAD 段内段内11 133 注意：若假设扭矩为正值注意：若假设扭矩为正值,则扭矩的实际符号与计算符号相同则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2MMe4e4T T1 1T T3 3作出扭矩图作出扭矩图4774.5 Nm4774.

6、5 Nm9549 Nm9549 Nm6366 N6366 N mm+_ _从图可见从图可见,最大扭矩在最大扭矩在 CACA段内段内.第10页/共72页讨论:若将A，D互换，扭矩图发生什么变化？4774.5 Nm4774.5 Nm9549 Nm9549 Nm_ _ _15915 Nm15915 Nm第11页/共72页第12页/共72页 3-3 3-3 3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转1.1.1.1.实验前实验前实验前实验前（1 1）画纵向线）画纵向线,圆周线圆周线;（2 2）施加一对外力偶）施加一对外力偶.一、应力分析一、应力分析一、应力分析一、应力分析薄

7、壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r r0 0圆筒的圆筒的平均半径）平均半径）dxxMeMe2.2.2.2.实验后实验后实验后实验后（1 1 1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2 2 2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；（3 3 3 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.第13页/共72页3.3.3.3.推论推论推论推论（1 1）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；（2 2）切

8、应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或与圆周相切与圆周相切.dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化切应力的数值无变化.MMe eMMe eABDC第14页/共72页此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4.4.4.4.推导公式推导公式推导公式推导公式 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直与半径垂直,指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致.T T 第15页/共72页x

9、xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理 1.1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,其方向与其方向与 y y 轴平行轴平行.两侧面的内力元素两侧面的内力元素 d dy y d dz z大小相等大小相等,方向相反方向相反,将组成将组成 一个力偶一个力偶.由平衡方程由平衡方程其矩为其矩为(d dy y d dz z)d)dx x第16页/共72页x xy yd dy yd dz zz zd dx x2 2.要满足平衡方程要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向

10、相反的一对内力元素大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得(d dy y d dz z)d)dx x3.3.切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线.4.4.纯剪切单元体纯剪切单元体纯剪切单元体纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为则称为纯剪切

11、单元体纯剪切单元体.第17页/共72页MMe eMMe el式中式中,r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到 薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现,在切应力低于材料的剪切比例极在切应力低于材料的剪切比例极限时，限时，与与 MMe e （在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比）成正比.在切应力的作用下，单元体在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，的直角将发生微小的改变，这个改变量这个改变量 称为切应变。称为切应变。第18页/共72页三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系TO 从从 T T 与

12、与 之间的线性关系之间的线性关系,可推出可推出 与与 间间的线性关系的线性关系.该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律G G 剪切弹性模量剪切弹性模量O O 第19页/共72页思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为0 0第20页/共72页四、四、剪切变形能剪切变形能剪切变形能的推导过程与拉压变形能的推导过程相同。也可写为:u 剪切变形比能当切应力小于剪切比例极限时:或:第21页/共72页3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力变变形形几几何何关关系系物物理理关关系系静静力力关关系系 观察变

13、形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式第22页/共72页一、变形几何关系一、变形几何关系试验现象:(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2)各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍是直线；平面假设 变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面变形后仍保持为平面.圆轴扭转时，横截面保持为平面,形状和大小不变，半径仍保持为直形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变，线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地绕轴线发生“刚性”转动。第23页/共72页变形几何关系距圆心为 处即：

14、各点的即：各点的切应变切应变与其到圆与其到圆心的距离成正比。心的距离成正比。第24页/共72页二、物理关系u 剪切胡克定律u 距圆心为处切应力沿半径呈线性分布。第25页/共72页三、静力关系三、静力关系 1.1.1.1.公式的建立公式的建立公式的建立公式的建立r rO O结论结论d dA Ad dA A T T 代入物理关系中得到代入物理关系中得到式中：式中：T T 横截面上的扭矩横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离I Ip p 横截面对圆心的横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩第26页/共72页WWt t 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mmmm3 3

15、或或 mm3 3.2.2.的计算的计算r rO OT Td dA Ad dA A maxmax第27页/共72页（1 1）实心圆截面）实心圆截面dO3.3.3.3.极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算dODdd（2 2）空心圆截面）空心圆截面其中其中第28页/共72页例题例题2 2 图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径D D=100mm,=100mm,内径内径d d d d=80mm,=80mm,=80mm,=80mm,MM1 1=6kN=6kNm,m,MM2 2=4kN=4kNm,m,材料的切变模量材料的切变模量 G G

16、=80GPa.=80GPa.（1 1）画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；（2 2）求轴的最大切应力求轴的最大切应力,并指出其位置并指出其位置.M1M2ABCll第29页/共72页解解:（1 1）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBCBC段段1Me2CT1T T1 1+MMe2e2=0=02Me2CMe1BT2T T2 2+MMe2e2-MMe1e1=0=0T T2 2=2kN=2kNmm ABAB段段（+）（-）T T1 1=-4kN=-4kNmm最大扭矩发生在最大扭矩发生在BCBC段段 T Tmaxmax=4kN=4kNmm4kNm2kNm+_第30页/共72页T（2 2）求轴的最大

17、切应力）求轴的最大切应力,并指出其位置并指出其位置 max 最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上,且且垂直于半径垂直于半径.M1M2ABCll max第31页/共72页1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式四、强度条件四、强度条件四、强度条件四、强度条件2.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度校核强度校核设计截面设计截面确定许可载荷确定许可载荷第32页/共72页扭转强度条件：1.1.等截面圆轴：等截面圆轴：2.2.阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：第33页/共72页例 3 (书例3.2)已知：传动轴为无缝钢管，D=90mm，t=2

18、.5 mm，Tmax=1.5kNm,t=60MPa。求：校核轴的强度。解：计算Wtu 切应力第34页/共72页ABC解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图MeAMeBMeC22 kNkNmm14 kNkNmm+_分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度例题例题4 4 图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴,ABABABAB段的直径段的直径d d1 1=120mm=120mm,BCBC 段的直径段的直径 d d2 2=100mm=100mm.扭转力偶矩为扭转力偶矩为MMA A=22 kNm,=22 kNm,MMB B=36 kNm,=36 kNm,MMC C=14 =14 kNm.kNm.已知材料的许用切应力已知材料

19、的许用切应力 =80MPa,=80MPa,试试校核该轴的强度校核该轴的强度.因此因此,该轴满足强度要求该轴满足强度要求.第35页/共72页例题例题5 5 实心圆轴实心圆轴1 1和空心圆轴和空心圆轴2 2（图（图a a、b b）材料）材料,扭转力扭转力偶矩偶矩MM 和长度和长度l l 均相等均相等,最大切应力也相等最大切应力也相等.若空心圆轴的若空心圆轴的内外径之比内外径之比 =0.8=0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比面直径之比及两轴的重量比.ll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为d d1 1,空心空心圆截面的

20、内、外径分别为圆截面的内、外径分别为 d d2 2、D D2 2;又扭又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为设为 T T.已知：已知：dd2D2第36页/共72页因此因此解得解得 两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比积之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料即节省材料.第37页/共72页383.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形扭转角扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。u 微段的扭转角u 整体的扭转角第38页/共72

21、页u 整体的扭转角u 等直圆轴且扭矩不变时GIp 圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。u 台阶轴或扭矩分段变化第39页/共72页40u 等直圆轴且扭矩不变时u 单位长度扭转角l 刚度条件(rad/m)u 若 的单位为“度”，则(/m)第40页/共72页扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和，校核强度校核强度已知已知T T 和和，设计截面设计截面已知已知D D 和和，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和/，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和/，设计截面设计截面已知已知D D 和和/，确定许可载荷确定许可载荷第41页/共72页例题例题6 6 图示等直

22、杆图示等直杆,已知直径已知直径d d=40mm,=40mm,a a=400mm,=400mm,材料的剪切弹性材料的剪切弹性模量模量G G=80GPa=80GPa，DBDB=1.=1.试求：试求：（1 1）ADAD杆的最大切应力杆的最大切应力;（2 2）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外力偶矩MMe e DBDB=CBCB+DCDC=1=1T Tmaxmax=3=3MMe e第42页/共72页（1 1）ADAD杆的最大杆的最大切切应力应力（2 2）扭转角）扭转角

23、 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me第43页/共72页例题例题7 7 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成,钢管钢管外径外径D D=76mm,=76mm,壁厚壁厚d d d d=2.5=2.5=2.5=2.5mm,mm,轴传递的转矩轴传递的转矩MMe e=1.98kNm,=1.98kNm,材料的许用切应力材料的许用切应力 =100MPa,=100MPa,切变模量为切变模量为 G G=80GPa,=80GPa,轴的轴的许可许可扭角扭角 =2=2 /mm.试校核轴的

24、试校核轴的强度和刚度强度和刚度.Ddd dMeMe第44页/共72页解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比轴的内、外径之比由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件Ddd dMeMe第45页/共72页将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使仍使 maxmax=96.1MPa=96.1MPad d=47.2mm=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆

25、轴轻,即节省材料即节省材料.其截面面积为其截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为第46页/共72页 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。(1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2；(2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d；(3)(3)主动轮和从动轮应如

26、何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题8 8第47页/共72页 2.2.扭矩图扭矩图 按刚度条件按刚度条件3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件第48页/共72页 按刚度条件按刚度条件4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 5.5.选同一直径时选同一直径时第49页/共72页 6.6.将将主动轮安装在主动轮安装在两从动轮之间两从动轮之间受力合理受力合理第50页/共72页例 9 (书例3.4)已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80

27、GPa。取t=40 MPa,=1.5/m。求：设计4轴的直径。第51页/共72页52u 计算力偶矩u 取4轴,受力如图第52页/共72页u 画出扭矩图u 计算力偶矩T第53页/共72页u 画出扭矩图可得到：Tu 由强度条件u 由刚度条件第54页/共72页55u 由强度条件u 由刚度条件u 最后取：u 说明：本题实际上是弯扭组合变形的问题。由刚度条件控制第55页/共72页例 10 (书例3.5)已知：把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和G2IP2。解：求：轴和筒的扭矩。先扭后焊，属装配应力问题。第56页/共72页57u 静平衡方程设外力偶矩m撤销后，轴内的扭

28、矩为T1，筒内的扭矩为T2。T1T2第57页/共72页T1T2u 变形协调方程设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为1，筒的扭转角为2，转向如图。所以：第58页/共72页59u 物理关系代入变形协调方程与平衡方程联立解得T1T2第59页/共72页 弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角 5,5,且且D Dd d,这样的弹簧称为这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧.推导这推导这种弹簧的应力与变形的计算公式种弹簧的应力与变形的计算公式.3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力F第60页/共72页 簧丝的横截面上有两个

29、簧丝的横截面上有两个内力分量即内力分量即FSTFPF 作为近似计算作为近似计算,通常可略去与剪力通常可略去与剪力 F FS S相应的相应的 ,且且 D D/d d 很大时很大时,还可略去还可略去簧圈曲率的影响簧圈曲率的影响,所以簧杆横截面上最大切应力为所以簧杆横截面上最大切应力为2.2.应力的计算应力的计算 为便于分析为便于分析,将杆的斜度将杆的斜度视为视为0 0 截面法截面法1.1.内力的计算内力的计算第61页/共72页公式修正的原因公式修正的原因:（1 1 1 1）当）当D D/d d 较小较小,会引起很大的误差会引起很大的误差;（2 2 2 2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的）假定剪切

30、引起的切应力是均匀分布的.式中式中c c为弹簧指数为弹簧指数,k k为曲度系数为曲度系数,可查教材中的表可查教材中的表3.13.13.3.3.3.强度条件强度条件第62页/共72页FSTFPF 若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内的应变能为可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形 1.1.应变能的计算应变能的计算应变能的计算应变能的计算第63页/共72页3.3.功能原理功能原理 V V =W W 当弹簧的变形为当弹簧的变形为 l l l l 时，外力所做的功为时，外力所做的功为F FF FOl ll l2.2.外力做的功外力做的功外力做

31、的功外力做的功c c 弹簧刚度弹簧刚度第64页/共72页例题例题11 11 某柴油机的气阀弹簧某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经簧圈平均半经R R=59.5 mm,=59.5 mm,簧丝横截簧丝横截面直径面直径d d=14mm,=14mm,有效圈数有效圈数n n=5.=5.材料的材料的 =350MPa=350MPa,G G=80GPa,=80GPa,弹弹簧工作时总压缩变形（包括预压簧工作时总压缩变形（包括预压变形）变形）为为l l l l=55mm=55mm 试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度.解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力F F F F为为由由R R及及d d求出求出查表查表3.1

32、3.13.13.1查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数k k=1.17=1.17弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求.第65页/共72页3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。非圆杆非圆杆,如矩形截面杆扭转如矩形截面杆扭转后横截面将发生后横截面将发生翘曲翘曲而不再而不再是平面是平面.第66页/共72页 （2 2）若杆的两端受到约束而）若杆的两端受到约束而）若杆的两端受到约束而）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面不能自由翘曲，则相邻两横截面不能自由翘曲，则相邻两横截面不能自由翘曲，则相邻两

33、横截面的翘曲程度不同引起相邻两截面的翘曲程度不同引起相邻两截面的翘曲程度不同引起相邻两截面的翘曲程度不同引起相邻两截面间纵向线段长度改变间纵向线段长度改变间纵向线段长度改变间纵向线段长度改变,这将在横截这将在横截这将在横截这将在横截面上引起附加的正应力面上引起附加的正应力面上引起附加的正应力面上引起附加的正应力.这一情况这一情况这一情况这一情况称为称为称为称为 约束扭转约束扭转约束扭转约束扭转.（1 1）等直非圆杆在扭转时横截面）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲虽发生翘曲，但当等直杆在两端受外但当等直杆在两端受外力偶作用力偶作用，且端面可以自由翘曲时，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘

34、曲程度完全相同其相邻两横截面的翘曲程度完全相同,纵向线段的长度无变化，横截面上纵向线段的长度无变化，横截面上仍然只有切应力而没有正应力仍然只有切应力而没有正应力.这一这一情况称为情况称为纯扭转纯扭转，或，或自由扭转自由扭转.第67页/共72页二、矩形截面二、矩形截面二、矩形截面二、矩形截面bh 矩形截面扭转时矩形截面扭转时,横截面切应力横截面切应力如图所示如图所示,边缘上各点的切应力形成边缘上各点的切应力形成与边界相切的剪流与边界相切的剪流.整个横截面上的最大切应力发生在整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点长边的中点.短边中点的切应力短边中点的切应力 是短边上的是短边上的最大切应力最大切应

35、力,且且第68页/共72页三、狭长矩形三、狭长矩形三、狭长矩形三、狭长矩形h h 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等数值除在靠近顶点处以外均相等.狭长矩形截面的狭长矩形截面的 I It t 和和 WWt t狭长矩形截面上切应力的分布情况见图狭长矩形截面上切应力的分布情况见图表表3-1 3-1 3-1 3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数矩形截面杆在纯扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.

36、3130.333 0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333 1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743第69页/共72页例题例题12 12 一矩形截面的等直钢杆一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸其横截面尺寸 h h=100mm=100mm,b b=50mm50mm,长度长度 l l=2m=2m,在杆两端作用一对矩在杆两端作用一对矩 MM=4 kN=4 kN mm 的的扭转力扭转力 偶偶.钢的许用切应力钢的许用切应力 =100 MPa=100 MPa,切变模量切变模量 G G =80GPa=80GPa,许可许可单位长度扭转角单位长度扭转角 =1=1 /mm.试试校核该杆校核该杆的强度和刚度的强度和刚度.解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩由表由表 3-1 3-1 查得查得第70页/共72页小结小结1 1、受扭物体的受力和变形特点、受扭物体的受力和变形特点2 2、扭矩计算，扭矩图绘制、扭矩计算，扭矩图绘制3 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算、圆轴扭转时的变形及刚度计算第71页/共72页感谢您的观看。第72页/共72页