微积分 旋转体体积.pptx

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1、第1页/共66页第2页/共66页第3页/共66页第4页/共66页第5页/共66页第6页/共66页第7页/共66页第8页/共66页第9页/共66页第10页/共66页变上限积分的求导公式第11页/共66页第12页/共66页第13页/共66页定积分的换元法第14页/共66页第15页/共66页第16页/共66页第17页/共66页第18页/共66页第19页/共66页第20页/共66页第21页/共66页第22页/共66页第23页/共66页第五节 广义积分第24页/共66页第25页/共66页第26页/共66页第27页/共66页第28页/共66页第29页/共66页第30页/共66页第31页/共66页第32页/

2、共66页第33页/共66页定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（演示）定积分的元素法（演示）应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间a,b。一般地：若所量U与变量的变化区间a,b有关，且关于a,b具有可加性，在a,b中的任意一个小区间x,x+dx上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式 这种方法叫做定积分的元素法。dU=f(x)dx称为所求量U的元素。第34页/共66页直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由x=a，x=b,y=0 及 y=f(x)所围成的平面图形的面积为2、由x=a，x=b,y=f(x)及

3、 y=g(x)所围平面图形的面积为3、由y=c，y=d,x=0 及 x=(y)所围平面图形的面积为第35页/共66页 平面图形的面积例题选举例1 计算由 及 所围成的图形的面积。例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。例3 计算由 和 所围成的图形的面积。例4 求椭圆 的面积。解第36页/共66页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴轴（3）第37页/共66页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）第38页/共66页一般地：如右图中的阴影部分的面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或 第39页/共66页12法一：

4、以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。第40页/共66页例 4 求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线星形线解由图形的对称性可得ab第41页/共66页旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（旋转一周所得的立体（演示）。）。可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴或轴。轴。最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴或轴旋转的情形。轴旋转的情形。旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。第42页/共66页aby=f(x)dcx=g(y)旋转体的体积

5、计算公式1、旋转轴为 x 轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a0)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c0)所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为 y 轴（演示）第43页/共66页oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h,r)的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解 如图所示 任取 ，形成区间 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 第44页/共66页返回例3

6、计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。解 如图所示V2V1第45页/共66页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 第46页/共66页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周 第47页/共66页1y=x31y轴轴轴轴练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 1y=x3y第48页/共66页21练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 第49页/共66页例4 求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223x4第50页/共66页问题的提出返回第51页/共66页定积分元素法分析返回第52页/共66页定积分元素法返回第53页/共66页平面图形的面积（直角坐标）返回第54页/共66页求面积例题 1返回第55页/共66页面积例题 2返回第56页/共66页求面积例题 3返回第57页/共66页例 4 求椭圆面积返回第58页/共66页旋转体概念返回第59页/共66页旋转体实例圆锥返回第60页/共66页旋转体实例圆柱返回第61页/共66页旋转体体积推导返回第62页/共66页体积例题 3返回第63页/共66页体积例题 2返回第64页/共66页体积例题 5返回第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页