理学理论力学冯维明主编.pptx

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1、Theoretical Mechanics 三、研究方法 不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。四、研究对象 将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上的点点（或动点动点）和不考虑质量的刚体。点：无质量、无大小、在空间占有其位置的几何点。刚体：物体内任意两点之间的距离始终保持不变第一篇第一篇 运动学运动学引引 言言第1页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学1.1 点的运动的矢量表示法 1.2 点的运动的直角坐标表示法 1.3 点的运动的自然表示法 第2页/共45页 Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学点的

2、运动学1.1 矢量表示法第3页/共45页Theoretical Mechanicsq运动方程运动方程 运动方程运动方程 用点在任意瞬时用点在任意瞬时t t的位置矢量的位置矢量r r(t t)表示。表示。r r(t t)简称为简称为位矢。位矢。r r=r r(t t)表示动点M在空间运动时，矢径r的末端将描绘出一条连续曲线，称为矢径端图，它就是动点运动的轨迹。x xz zy yrrrM1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法OMM第4页/共45页Theoretical Mechanicsq速速 度度t t 瞬时瞬时:矢径矢径 r r(t t)点在点在点在点在 t t t t 瞬时的速度瞬

3、时的速度瞬时的速度瞬时的速度 r r(t t)r r(t t t t)r r(t t)t t 时间间隔内矢径的改变量时间间隔内矢径的改变量t t t t 瞬时瞬时:矢径矢径r r(t t t t)或或r r 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第5页/共45页Theoretical Mechanics 速速 度度 描述点在描述点在 t t 瞬时运动快慢和瞬时运动快慢和运运 动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切 线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢

4、量的模。量的模。1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第6页/共45页Theoretical Mechanicsq加加 速速 度度 v v(t t)v v(t t t t)v v(t t)t t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量点在点在点在点在 t t 瞬时的加速度瞬时的加速度瞬时的加速度瞬时的加速度t t t t 瞬时瞬时:速度速度 v v(t t t t)或或v v t t 瞬时瞬时:速度速度 v v(t t t t)1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第7页/共45页Theoretical Mechanics 加速度加速度 描述点在描述点在 t t 瞬时

5、速度大小和瞬时速度大小和方向变化率的力学量。方向变化率的力学量。加速度的方向为加速度的方向为 v v 的的 极限方向极限方向(指向与轨迹指向与轨迹曲线的凹向一致曲线的凹向一致)。加速度大小等于矢量加速度大小等于矢量 a a 的模。的模。q 点的点的加速度为矢量加速度为矢量1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第8页/共45页 Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学点的运动学 1.2 直角坐标表示法第9页/共45页Theoretical Mechanics1.2 点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法 运动方程运动方程 不受约束的点在空间有三个自

6、由度，在直角坐不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由三个方程确定。标系中，点在空间的位置由三个方程确定。x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)rxiyjzk 矢径r 与x,y,z的关系第10页/共45页Theoretical Mechanics速速 度度矢径：结论 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。阶导数。1.2 点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法 第11页/共45页Theoretical Mechanics已知速度的投影求速度 方向由方向余弦确定大小1.2 点

7、的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法 第12页/共45页Theoretical Mechanics加速度加速度点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。1.2 点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法 第13页/共45页Theoretical Mechanics加速度加速度点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。加速度大小方向余弦1.2 点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法 第

8、14页/共45页 Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学点的运动学 1.3 自然表示法第15页/共45页Theoretical Mechanics1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法q 运动方程运动方程 若点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的若点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。弧长随时间变化的规律描述。弧坐标特点 （1 1）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。（2 2）有正、负方向）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正一般以点的运动方

9、向作为正向，反之为负向，反之为负)；即弧坐标是一代数量。；即弧坐标是一代数量。（3 3）坐标系为自然轴系。）坐标系为自然轴系。s=f(t)第16页/共45页Theoretical Mechanics 密切面与自然轴系 密切面密切面 当P点无限接近于 P点时，过这两点的切线所组成的平面，称为P点的密切面。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第17页/共45页Theoretical MechanicsMM点的密切面点的密切面1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第18页/共45页Theoretical Mechanics由由密切面得到的几点结论密切面得到的几点结论1.3 点的

10、运动的自然表示法点的运动的自然表示法 1.1.空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。一的。2.2.空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。可以看作是位于密切面内的平面曲线。3.3.对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。平面。4.4.曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用用1 1/表示。表示。5.5.曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为

11、第二曲率。二曲率。第19页/共45页Theoretical Mechanicss-s+MM(切线切线)n(主法线主法线)b(副法线副法线)q 自然轴系自然轴系MM为为空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；b为为过动点过动点P P垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线，其正向由和主法线的直线，其正向由 确定确定。自然轴系MM nb 为过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；n为密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；过M点作垂直于 的平面，称为曲线在M点的法面 1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第20页/共45页Theoretical Mechanicsq 自然轴系自然轴

12、系 nb自然轴系MM nb 1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第21页/共45页s-s+MMn(主法线主法线)b(副法线副法线)(切线切线)Theoretical Mechanics n nb b自然轴系的特点 跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。自然轴系的自然轴系的基矢量基矢量：、n、b 自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第22页/共45页Theoretical Mechanicsq弧坐标中的速度表示弧坐标中的速度表示 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标点的速度在

13、切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第23页/共45页Theoretical Mechanics跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。自然轴系的特点1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第24页/共45页式 中Theoretical Mechanics若,则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s的方向运动。有关 两点讨论两点讨论1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法和分别表示速度的大小与方向。第25页/共45页Theoretical Mechanics根据加速度的定义以及弧坐标

14、中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式q弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示?1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第26页/共45页Theoretical Mechanics1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法当 时，和 以及 同处于M点的密切面内，这时，的极限方向垂直于 ，亦即n方向。第27页/共45页Theoretical Mechanics加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度第28页/共45页Theoretical Mechanics几几

15、点点讨讨论论切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表明加速度表明加速度 a在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量v和加速度矢量和加速度矢量a都位于密切面内。都位于密切面内。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第29页/共45页Theoretical Mechanics几几点点讨讨论论点的加速度的大小和方向 1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第30页/共45页 例 在图的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑

16、动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动。当运动开始时，摇杆在水平位置。求（1）滑块相对于BC弧的速度、加速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第31页/共45页Theoretical Mechanics先求滑块M相对圆弧BC的速度、加速度。解法1：BC弧固定，故滑块M的运动轨迹已知，宜用自然法求解 以M点的起始位置为原点，逆时针方向为正 方向如图方向如图第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第32页/共45页Theoretical Mechanics解法2：直

17、角坐标法建立图示坐标系第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第33页/共45页Theoretical Mechanics 在轨迹已知情况下，用自然法不仅简便，而且速度、加速度的几何意义很明确。讨论：第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第34页/共45页Theoretical Mechanics求滑块M相对于摇杆的速度与加速度 将参考系Ox固定在OA杆上，此时，滑块M在OA杆上作直线运动，相对轨迹是已知的OA直线。M点相对运动方程为方向沿OA且与x 正向相反 其方向沿指向x 轴负向 第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第35页/共45页Theoretical Mechani

18、cs第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题例 一炮弹以初速和仰角射出。如图所示的直角坐标系的运动方程为:求 时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及这时轨迹的曲率半径。解：炮弹的运动方程以直角坐标给出，因此它的速度和加速度在x,y轴上的投影分别为第36页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题当t=0时，炮弹的速度和全加速度的大小分别为:若将加速度在切线和法线方向分解，则有:第37页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题式中,当t=0时,由上式得 由，求得时轨迹的曲率半径为:则第

19、38页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题例 如图所示，半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角（为常值）。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：取点M与直线轨道的接触点O O为原点，建立如图所示的直角坐标系Oxy。当轮子转过角时，轮子与直角轨道的接触点为C。由于是纯滚动，有第39页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题M点的直角坐标运动方程为(a)M点的速度沿坐标轴的投影为(b)M点的速度为(c

20、)运动方程式（a）是一个摆线，这表明M点的运动轨迹是摆线，如图所示。第40页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题取M的起始点O作为弧坐标原点，将式（c）的速度v积分，即得用弧坐标表示的运动方程为加速度在直角坐标系上的投影为(d)全加速度为第41页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题将式(c)对时间t求导，得点M的切线加速度为法线加速度为（e）由于是还可以由式(c)及（e）求得轨迹的曲率半径第42页/共45页Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题 再讨论一个特殊情况。当时，即，这时点M运动到与地面相接触的位置。由式(c)知，此时点M的速度为零，这表明沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零。另一方面，由于点全加速度的大小恒为,因此纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽然为零，但加速度却不为零。将代入式（d），得即接触点的加速度方向向上第43页/共45页第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页