机构学与机器人学机器人的动力学.pptx

《机构学与机器人学机器人的动力学.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机构学与机器人学机器人的动力学.pptx（50页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：（4.24.2）式中，为表示动能和位能的坐标，速度，而 为相应的Fi是力或是力矩，由qi为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称为广义力、广义力矩和广义坐标，n为连杆数目。Fi为作用在第i个坐标上的力或是力矩。第2页/共50页第1页/共50页刚体的动能与位能 在理论力学或物理力学部分，曾对如图4.1所示的一般物体平动时所具有的动能和位能进行过计算，其求法是大家所熟悉的，如下：第3页/共50页第2页/共50页式中，表示物体所具有的动能K、位能P，所消耗的能量D和外力所做的功W；M0和M1为支架和运动物体的质量；x0和x1为运动坐标；g为重力加速度；k为

2、弹簧虎克系数；c为摩擦系数；F为外施作用力。对于这一问题，存在两种情况。1、为广义坐标第4页/共50页第3页/共50页其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的变化；第三项为能耗随速度的变化；第四项为位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。代入相应各项的表达式，并化简可得:第5页/共50页第4页/共50页表示为一般形式为:即为所求x0=0时的动力学方程式。其中，左式三项分别表示物体的加速度、阻力和弹力，而右式两项分别表示外加作用力和重力。第6页/共50页第5页/共50页2、均为广义坐标这时有下式:或用矩阵形式表示为:第7页/共50页第6页/共50页

3、下面来考虑二连杆机械手（见图4.2）的动能和位能。这种运动机构具有开式运动链，与复摆运动有许多相似之处。图中，T1和T2为转矩，m1和m2为连杆1和连杆2的质量，且以连杆末端的点质量表示；d1和d2分别为两连杆的长度，1和2为广义坐标；g为重力加速度。第8页/共50页第7页/共50页先计算连杆1的动能K1和位能P1。因为:，所以有:再求连杆2的动能K2和位能P2:第9页/共50页第8页/共50页式中:于是可求得:以及:第10页/共50页第9页/共50页这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为:（4.3）（4.4）第11页/共50页第10页/共50页第12页/共50页第11页/共50页将相应

4、各导数和偏导数代入(4.2)，即可求得力矩T1和T2的动力学方程式：第13页/共50页第12页/共50页第14页/共50页第13页/共50页重力项：第15页/共50页第14页/共50页 在分析简单的二连杆机械手系统的基础 上，我们分析由一组A变换描述的任何机械手，求出动力学方程。推导过程分五步进行。l（1）计算任一连杆上任一点的速度；（2）计算各连杆的动能和机械手的总动能；（3）计算各连杆的位能和机械手的总位能；（4）建立机械手系统的拉格朗日函数；（5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。第16页/共50页第15页/共50页 图4.4表示一个四连杆机械手的结构。我们先从这个例子出发，求得此

5、机械手某个连杆（例如连杆3）上某一点（如点P）的速度、质点和机械手的动能与位能、拉格朗日算子，再求系统的动力学方程式。然后，由特殊到一般，导出任何机械手的速度、动能、位能和动力学方程的一般表达式。第17页/共50页第16页/共50页速度的计算图4.4中连杆3上点P的位置为：式中，为总（基）坐标系中的位置矢量；为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量；T3为变换矩阵，包括旋转变换和平移变换。对于任一连杆i上的一点，其位置为:（4.14）第18页/共50页第17页/共50页点P的速度为:式中，所以有 对于连杆i上任一点的速度为第19页/共50页第18页/共50页P点的加速度P点速度的平方第20页/

6、共50页第19页/共50页对于任一机械手上一点的速度平方为式中，Trace表示矩阵的迹。对于n阶方程来说，其迹即为它的主对角线上各元素之和。第21页/共50页第20页/共50页动能和位能的计算令连杆3上任一质点p的质量为dm，则其动能为第22页/共50页第21页/共50页任一机械手连杆i上位置矢量 其动能如下式表示：的质点，第23页/共50页第22页/共50页对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为式中，积分 称为连杆的伪惯量矩阵，并记为这样，第24页/共50页第23页/共50页任何机械手上任一连杆i动能为（4.17）式中，Ii为伪惯量矩阵，其一般表达式为第25页/共50页第24页/共50页 根据

7、理论力学或物理学可知，物体的转动惯量、矢量积以及一阶矩量为如果令第25页/共50页第26页/共50页于是可把Ii表示为（4.18）第27页/共50页具有n个连杆的机械手总的动能为（4.19）此外，连杆i的传动装置动能为式中，Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关节，Iai为等效质量；为关节i的速度。所有关节的传动装置总动能为第28页/共50页于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为（4.20）下面再来计算机械手的位能，一个在高度h处质量为m的物体，其位能为连杆i上位置 处的质点dm，其位能为第29页/共50页式中，其中，mi为连杆i的质量：关节坐标系的重心位置。为连杆i相对于其由于传动

8、装置的重力作用Pai一般是很小的，可以略之不计，所以，机械手系统的总位能为（4.21）第30页/共50页动力学方程的推导 据式（4.1）求拉格朗日函数（4.22）再据式（4.2）求动力学方程。先求导数第31页/共50页据式（4.18）知，Ii为对称矩阵，即，所以下式成立当pi时，后面连杆变量qp对前面各连杆不产生影响，即。这样可得第32页/共50页因为第33页/共50页所以第34页/共50页再求 项在上列两式运算中，交换第二项和式的哑元j和k，然后与第一项和式合并，获得化简式。把上述两式代入（4.2）的右式得第35页/共50页交换上列各和式中的哑元，以i代替p，以j代替i，以m代替j，即可得具

9、有n个连杆的机械手系统动力学方程如下第36页/共50页这些方程式是与求和次序无关的。我们把式（4.23）写成下列形式：（4.24）（4.25）(4.26)（4.27）式中取n=6，而且惯量项加速度系数项重力项第37页/共50页 上述各方程与节的惯量项及重力项一样。这些项在机械手控制中特别重要，因为它们直接影响机械手系统的稳定性和定位精度。只有当机械手高速运动时，向心力和哥氏力才是重要的。这时，它们所产生的误差不大。传动装置的惯量Iai往往具有相当大的值，而且对减少有效惯量的结构相关性和耦合惯量项的相对重要性有显著影响。第38页/共50页二连杆机械手动力学方程 在前面讨论过二连杆机械手的动力学方

10、程，下面讨论二连杆机械手惯量项及重力项的计算。首先，规定机械手的坐标系，如图，并计算A矩阵和T矩阵。表4.2表示各连杆参数。表4.2 二连杆机械手连杆参数连杆连杆变量变量ad110d10220d20第39页/共50页A矩阵和T矩阵如下：第40页/共50页对于旋转关节，可得微分平移矢量和微分旋转矢量如下：对于平移关节，可得各矢量如下：第41页/共50页以 为基础，有下式(p=1，i=1)以 为基础，可得下式(p=2，i=2)以 为基础，可得下式(p=2，i=1)因两关节均属旋转型，根据 来计算d和：第42页/共50页前述惯量项简化为：对于这个简单机械手，其所有惯性力矩为零，即 第43页/共50页第44页/共50页第45页/共50页前述重力项简化为：对于旋转关节i：第46页/共50页所以可得下列各式：n o a p 第47页/共50页再求各质心矢量 第48页/共50页以上所求得各项，可与节中D1和D2加以比较，以检验计算结果的正确性。第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页