水流阻力和水头损失祥解.pptx

《水流阻力和水头损失祥解.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《水流阻力和水头损失祥解.pptx（111页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、颜色水颜色水hfl打开下游阀门，保持水箱水位稳定打开下游阀门，保持水箱水位稳定第1页/共111页颜色水颜色水hfl再打开颜色水开关，则红色水流入管道再打开颜色水开关，则红色水流入管道层流：红色水液层有条不紊地运动，层流：红色水液层有条不紊地运动，红色水和管道中液体水相互不混掺红色水和管道中液体水相互不混掺（实验）（实验）第2页/共111页颜色水颜色水hfl下游阀门再打开一点，管道中流速增大下游阀门再打开一点，管道中流速增大红色水开始颤动并弯曲，出现波形轮廓红色水开始颤动并弯曲，出现波形轮廓第3页/共111页 红颜色水射出后，完全破裂，形成漩涡，扩散红颜色水射出后，完全破裂，形成漩涡，扩散至全管

2、，使管中水流变成红色水。至全管，使管中水流变成红色水。这一现象表明：液体质点运动中会形成涡体，这一现象表明：液体质点运动中会形成涡体，各涡体相互混掺。各涡体相互混掺。颜色水颜色水hfl下游阀门再打开一点，管中流速继续增大下游阀门再打开一点，管中流速继续增大第4页/共111页颜色水颜色水hfl层流：各流层的液体质点有条不紊运动，层流：各流层的液体质点有条不紊运动，相互之间互不混杂。相互之间互不混杂。第5页/共111页颜色水颜色水hfl紊流：各流层的液体质点形成涡体，紊流：各流层的液体质点形成涡体，在流动过程中，互相混杂。在流动过程中，互相混杂。第6页/共111页 实验时，结合观察红颜色水的流动，

3、量测两测实验时，结合观察红颜色水的流动，量测两测压管中的高差以及相应流量，建立水头损失压管中的高差以及相应流量，建立水头损失h hf f 和管和管中流速中流速v v的试验关系，并点汇于双对数坐标纸上。的试验关系，并点汇于双对数坐标纸上。颜色水颜色水hfl第7页/共111页颜色水颜色水hfl 试验按照两种顺序进行试验按照两种顺序进行:(1)流量增大流量增大 （2）流量减小流量减小 试验结果如下图所示。试验结果如下图所示。第8页/共111页AC、ED：直线直线段段 AB、DE：直线直线段段CDAvCB层流层流 紊流紊流EBDAvC层流层流 紊流紊流E第9页/共111页BDAvCCvC60.363.

4、445层流层流 过渡过渡 紊流紊流E第10页/共111页BDAvCCvC45层流层流 过渡过渡 紊流紊流在双对数坐标上，点汇水在双对数坐标上，点汇水头损失和流速的关系为：头损失和流速的关系为：2 60.363.4E第11页/共111页BDAvCCvC层流层流 过渡过渡 紊流紊流2 60.363.4层流 1=45 m=1 紊流 2=60.363.4 m=1.752.001 45E第12页/共111页由层流转化为紊流时的管中平均流速称为上临界流速。由紊流转化为层流时的管中平均流速称为下临界流速。下临界流速：上临界流速：第13页/共111页在圆管中（有压），若为层流为紊流由上式可得：(下临界雷诺数)

5、（上临界雷诺数）（不稳定）水：（t为水温，为）第14页/共111页对于明渠无压流动：为层流为紊流在理想流体里，因为没有粘性的作用，所以无所谓层流和紊流。Re反映了惯性力与粘性力的对比关系。若Re较小，反映出粘性力的作用大，粘性力作用对质点运动起控制作用，质点呈现有秩序的线状运动，为层流。当流动的雷诺数逐渐增大时，粘性力对流动的控制也随之减小，质点运动失去控制时，层流即失去了稳定，由于外界的各种原因，如边界上的高低不平等因素，惯性作用将使微小的扰动发展扩大，形成紊流。水力半径定义：第15页/共111页所以雷诺数可以用来判别流动型态。惯性力，动能，粘性力，则呈紊流；惯性力，动能，粘性力，则呈层流；

6、雷诺实验揭示出：l实际液体运动中存在两种不同型态：层流和紊流l不同型态的液流，水头损失规律不同第16页/共111页5-2 水流阻力和水头损失的种类 水流阻力：是流体与边界相互作用而产生的平行于流动方向的作用力。水头损失：单位重量液体的机械能损失。下面先对阻力进行分析：设想处在流动中的一个物体，这个物体表面形成流动的内边界。取一个边界面上的微小面积dA，在dA上作用有切应力0和法应力p0，因此流体作用于物体表面dA上的作用力为dT=0dA和dP=p0dA,他们在流动方向（即y方向）上的投影为：第17页/共111页dAP000yxzu0其中为流动不受干扰时的流速。第18页/共111页将上式对全部面

7、积积分，得阻力的表达式为：阻力水头损失局部阻力：液体因固体边界急剧改变而引起速度分布的变化，从而产生的阻力。一个流段两截面间的总水头损失：叠加原理第19页/共111页液体以下管道时的沿程损失包括四段：hf 1hf 2hf 3hf 4第20页/共111页液体经过时的局部损失包括五段：进口、突然放大、突然缩小、弯管和闸门。进口进口突然放大突然放大突然缩小突然缩小弯管弯管闸闸门门第21页/共111页5-3 均匀流动的沿程损失和沿程阻力（切应力）的基本关系式 1.液体均匀流动的沿程水头损失 伯努利方程式：在均匀流时：则：第22页/共111页2.液体均匀流的基本方程式 P1P2G001122Lz1z20

8、0第23页/共111页在水流运动方向上各力投影的平衡方程式：且并且液流与固体边壁接触面上的平均切应力为，代入上式得同除以第24页/共111页或上式即为沿程水头损失与切应力的关系，称为均匀流基本方程式。P1P2rr0112200或对圆管第25页/共111页5-4 圆管层流的水头损失 1、圆管层流可用纳维埃斯托克司方程来求解：2、用来求解：xyumaxyrr0rrdrr0设以管流为中心取一段流股，因流股对管轴对称，所以流股上的切应力是均匀分布的第26页/共111页则有对于圆管（r为流股的半径）层流的切应力服从牛顿内摩擦定律。如y为自管壁量起的径向距离，则：其中为r0园管半径。因此:第27页/共11

9、1页两式中的相等，则:因圆管流动是均匀的，J值不是r的函数，故将上式积分得：边界条件：在管壁上，即处u=0，则积分常数为：即圆管层流的流速分布式。第28页/共111页在管轴线上（r=0），流速最大，即：如引入一个断面的平均流速为v，V将代入上式得圆管层流的断面平均流速为：第29页/共111页V比较上两式可以看出：V即说明圆管层流的平均流速为最大流速的一半。或第30页/共111页一般情况下，沿程水头损失，可用速度水头来表示上式可改为：令则（为沿程阻力系数）这就是常用的沿程水头损失计算公式（达西公式）。或第31页/共111页事实上，过水断面上的流速分布图为一旋转抛物面，而这个抛物面与过水断面所围成

10、得体积，就是流量Q。根据高等数学知，抛物体的体积等于高乘以底面积的一半因而：而第32页/共111页5-5 流体的紊流运动 一、紊流的发生间断面流速梯度无穷大切应力无穷大不可能流速调整紊流形成过程的分析 通过雷诺试验可知，层流和紊流的主要区别在于紊流：各流层之间液体质点不断互相混掺层流：无互相混掺是由于液流扰动产生涡体所致，涡体形成是混掺作用产生的根源。第33页/共111页在明渠中任取一层液流进行分析 注 意液层上部和下部切应力方向yu第34页/共111页 由于外部扰动、来流中残留的扰动，液流不可避免产生局部性波动。随着波动，局部流速和压强将重新调整。微小流束各段承受不同方向的横向力P 作用。P

11、PPPP第35页/共111页 横向力和切应力构成了同向力矩，使波峰越凸，波谷越凹，促使波幅增大。PPPPPP第36页/共111页 波幅增大到一定程度，横向压力和切应力的综合作用，使波峰和波谷重叠，形成涡体。PPP第37页/共111页 涡体上面流速大，压强小，下面流速小，压强大，形成作用于涡体的升力，推动涡体脱离原流层掺入流速较高的临层，扰动临层进一步产生新的涡体。P升力升力涡涡 体体u 大大u 小小第38页/共111页P升力升力涡涡 体体u 大大u 小小 涡体形成后，其是否能掺入上临层取决于涡体惯 性力和粘滞力的对比。当涡体惯性作用与粘性作用相比大到一定程度，才有可能上升至临层，由层流发展到紊

12、流。第39页/共111页P升力升力涡涡 体体u 大大u 小小涡体形成后，也可能掺入下临层，取决于瞬时流速分布第40页/共111页yu时均流速分布时均流速分布P升力升力涡涡 体体u 大大u 小小 当流速分布上大，下小时，涡体会由下层掺入上层；第41页/共111页yu时均流速分布时均流速分布瞬时流速分布瞬时流速分布P升力升力涡涡 体体u 大大u 小小 流速分布上小，下大时，涡体会由上层掺入下层。流动随机性可能使流速呈现上小下大的分布第42页/共111页二、紊流的基本特征及时均法时均法紊紊流流的的基基本本特特征征是是：在运动过程中，质点具有不断的互相混杂现象。质点的互相混杂使流区内各点的流速、压强等

13、运动要素在数值上发生一种脉动现象。uxuxt例如：设ux为恒定紊流中某一点在x方向的瞬时流速，从系统特性可以知道，ux是随时间变化的，所以严格来讲，紊流总是非恒定流动。如将对一段平均：把紊流运动看成是由时间平均流动和脉动流动叠加而成。第43页/共111页t/sp河床底部水流动水压强随时间的变化曲线第44页/共111页ux/cm/s 瞬时流速时均流速式中，T 为较长的时段第45页/共111页ux/cm/s 脉动流速 式中，脉动流速可正、可负第46页/共111页则得：为时均值，就是在一种设想的流动中，该点上不随时间而改变的流速。从上式可得：瞬时值对时间平均后得时均值，脉动值的时间平均值必为零的结论

14、。即：瞬时压强p可以写成：第47页/共111页其中：紊流的性质及特征：1、具有连续性；2、是大雷诺数；3、具有随机性；4、三维性和旋涡性；5、扩散性、可以传热、传递动量平均值计算原则设A、B为两个物理量1、2、3、4、第48页/共111页特点：寻找由于脉动所引起的紊流附加应力与时间流速的关系，从而求得脉动对时均流动的影响。三、紊流的半经验理论yx0主要的附加切应力是作用在垂直于y轴的平面上沿着x方向的附加切应力。设应力用yx来表示，下标y表示切应力所在平面的法线方向，x则表示切应力方向。单位时间内的质量为：第49页/共111页则单位时间内流入（或流出）dAy截面的x向动量应为:在较长的一个时段

15、里，通过同一个截面，既有动量流入也有动量流出，而其时均值为：x方向的作用力：切应力：yyxduuAryxyyxyyxuudduu=rAArt=流出）。时才有动量的流入（或。意义上没有动量的流动虽有脉动，但在时均00yxyxuuuu第50页/共111页应力yx的方向：(设流动的流速梯度是正的)全部应力是粘性应力与脉动的附加应力之和。混合长度理论：在紊流里，质点被横向脉动流速运移某一横向距离L后，这个质点才会在新的的地点与四周的质点互相混合，从而失去他原来的特征（如动量），结果是该质点具有与四周质点同样的特征，这个横向距离L叫做混合长度。为负.第51页/共111页假定：根据实验结果：y-该质点到管

16、壁的径向距离。其中：k卡门通用常数，无量纲，k=0.4;第52页/共111页在边界附近：yx00为边界上的（y=0处）切应力V：动力流速（摩阻流速、剪切流速），积分得：称为对数流速分布公式。第53页/共111页5-6 圆管中的紊流1、园管紊流流核与粘性底层 粘性底层在紊流中紧靠管壁附近这一薄层称为粘性底层；在粘性底层之外的液流，统称为紊流流核。当rr0时，有：厚度很小的粘性底层中的流速分布近似为直线分布。第54页/共111页而是某一个雷诺数，当时为层流，是某一个临界雷诺数，实验结果：第55页/共111页可见，当管径d相同时，液体随着流速增大，Re，L。第56页/共111页绝对粗糙度（）：粗糙突

17、出管壁的“平均”高度。水力光滑管：粗糙度对紊流结构基本上没有影响。水力粗糙管：粗糙度加剧了紊流的脉动作用。尼古拉兹试验资料：水力光滑：，或 5（Re*5)过渡区：，或 5 70（5Re*70)完全粗糙区：，或 70（Re*70)第57页/共111页2、流速分布：根据试验：光滑管中：c=5.5k=0.4第58页/共111页5-6 园管中的紊流 过渡区:粗糙区：上述两个公式在靠近管轴处均不适用，而在管中其余各点与实验符合良好。第59页/共111页3、沿程水头损失：第60页/共111页5-7 紊流沿程水头损失的分析 一、尼古拉兹实验曲线人工粗糙的特点：突出部分形状一致，高度一样，而且均匀分布。用砂粒

18、的直径表示，称为绝对粗糙度；对圆管流动，/d(或/r)，称为相对粗糙度。实验装置：测量V、hf、水温tReLV第61页/共111页第62页/共111页abcdef说明：第区：层流区（ab线）Re2300（相当于lgRe=3.3）相对粗糙度对水流阻力（）无影响。第63页/共111页第区：从层流向紊流的过渡区（不规则）与雷诺数有关，生产上不考虑第区：光滑区（cd线）Re105此时流动已属紊流型态，但管壁附近的粘性底层还比较厚，能遮住，与无关。第64页/共111页第区：光滑区向粗糙区过渡粘性底层已部分遭到破坏，对流动起了作用第区：粗糙区（或阻力平方区），与V2成比例尼古拉兹实验的主要贡献：把求紊流损

19、失的计算转化成阻力系数的计算。适用于 第65页/共111页 在层流区和紊流光滑区，工业管道和人工粗糙管虽然粗糙不同，但都为粘性底层掩盖，对紊流核心无影响。实验证明，人工粗糙管的公式也适用于工业管道。在紊流粗糙区，无论是人工管道，还是工业管道，由于粗糙面完全暴露在紊流中，其水头损失的变化规律也是一致的。因此，人工粗糙管的公式有可能用于工业管道。问题是如何确定式中的 值。为解决此问题，以尼古拉兹实验采用的人工粗糙为度量标准，把工业管道的粗糙折算成人工粗糙，这样便提出了当量粗糙的概念。二、工业管道的实验曲线和 值的计算公式第66页/共111页常用工业管道的当量粗糙度可查表得到。在紊流过渡区，工业管道

20、实验曲线和尼古拉兹试验曲线存在较大差异。这表现在工业管道实验曲线的过渡区在较小 的下就偏离光滑曲线，且随着 的增加平滑下降，而尼古拉兹试验曲线则存在着上升部分。把直径相同、紊流粗糙区 值相等的人工粗糙管的粗糙度 定义为该管材工业管道的当量粗糙。就是以工业管道紊流粗糙区实测的 值，代入尼古拉兹粗糙管公式，反算得到的 。可见工业管道的当量粗糙是按沿程损失的效果相同，得出的折算高度，它反映了糙粒各种因素对的综合影响。第67页/共111页造成这种差异的原因在于两种管道粗糙均匀性的不同。在工业管道中，粗糙是不均匀的。当层流底层比当量粗糙高度还要大时，粗糙中的最大糙粒就将提前对紊流核心内的紊动产生影响，即

21、 开始与 有关，实验曲线也就较早地离开了光滑区。提前多少则取决于不均匀粗糙中最大糙粒的尺寸。随着 的增大，层流底层越来越薄，对核心区内的流动能产生影响的糙粒越来越多，因而粗糙的作用是逐渐增加的。而在尼古拉兹试验中粗糙是均匀的，其作用几乎是同时发生的。当层流底层的厚度开始小于糙粒高度之后，全部糙粒开始直接暴露在紊流核心内，使其产生强烈的漩涡。同时暴露在紊流核心内的糙粒部分随着 的增大而不断加大。因此沿程水头损失急剧增加。这就是尼古拉兹试验中过渡区曲线上升的原因。在工业管道的紊流过渡区可用柯列勃洛克公式 计算。第68页/共111页三、计算沿程水头损失的常用的经验公式1、柯列勃洛克公式（1938年提

22、出）适用于光滑区：当Re很小时，右边第一项可以忽略；适用于粗糙区：当Re很大时，右边第二项可以忽略；适用于紊流过渡区：右边两项相差不大时。莫迪图是在柯列勃洛克公式的基础上绘制的：则=0.041则=0.0185第69页/共111页2、谢才公式c为谢才系数如无特别说明，谢才公式只适用于粗糙区（阻力平方区）。第70页/共111页确定谢才系数c的经验公式：冈基立库铁简化公式n：粗糙系数曼宁公式：当n0.02及R0.5米时，适用于管道及渠道的水力计算。我国主要用该公式。第71页/共111页巴甫洛夫斯基公式该式适用于0.1R3.0米的范围内3、舍维列夫公式（给排水设计手册即用该公式）对旧钢管和旧铸铁管：V

23、1.2m/s（紊流过渡区）V1.2m/s（粗糙区）（dmV-m/s）第72页/共111页对于新钢管计算公式如下：对于新铸铁管计算公式如下：此式适用条件为Re ，以 计。此式适用条件为Re ，以 计。第73页/共111页例题：用铸铁管输水，管径d=250mm，管长1000m，输水流量为60L/s，平均水温t=10，求该管段的水头损失。解：t=10=0.0131cm2/s2300为紊流用舍维列夫公式V1.2m/s按阻力平方区公式计算第74页/共111页用谢才公式计算查表，选用正常情况下给水管取n=0.012第75页/共111页用莫迪图按一般旧铸铁管=1.4mmRe=2.33105查莫迪图：=0.0

24、31可见，用舍维列夫公式计算的沿程水头损失是最大的，在工程上偏于安全。第76页/共111页5-8 局部水头损失 1122L00ABCAB为流速调整段BC为调整结束段AB只考虑局部损失BC只考虑沿程损失一、局部水头损失包括：1、漩涡处产生动量交换，能量损失掉。2、流速分布调整，消耗能量。第77页/共111页二、突然放大的局部水头损失第78页/共111页对11和22断面，列总流的能量方程：hm：局部水头损失（忽略沿程水头损失）。1应用动量方程：作用在过水断面11上的总压力P1：P1=p1A1第79页/共111页11面上环形面积管壁上的作用力P：P=p1(A2-A1)作用在过水断面22上的总压力P2

25、：P2=p2A2断面11和22间液体重量在运动方向上的分力为：断面11和22间水流与管壁间的切应力与其它力比较是微小的，可忽略不计。0由动量方程得：用Q=V2A2代入，并除以A2：第80页/共111页将代入得：1、2、1、2近似认为都等于1，则：也称为波达公式。第81页/共111页根据连续性方程：代入式：通用公式：V：下游流速。必须注意阻力系数和流速水头相对应。第82页/共111页例题1：有一串联铸铁管路，d1=150mmd2=125mmd3=100mmL1=25mL2=10m沿程阻力系数：1=0.0302=0.032局部阻力系数：1=0.12=0.153=0.14=2.0问：通过Q=25升/

26、秒时，需要H为多少？若水头H不变，但不计损失，则流量将变成多少？H1133解：对11、33列能量方程，设V1=0第83页/共111页第84页/共111页hw1-3=1.053+1.097=2.15mH2O第85页/共111页H=2.67m不变，但hw1-3=0，对11、33列能量方程：第86页/共111页例题2：有一段直径d=100mm的管路长10m，其中有两个900弯管（其=0.80），管段的沿程水头损失系数=0.037，如果拆除这两个弯管，而管段长度不变，作用于管段两端的水头维持不变，问管段中的流量能增加百分之几？解：在拆除弯管前：第87页/共111页拆除弯管后，沿程水头损失为（局部损失为

27、零）：因为作用于管段两端的总水头不变，即水头损失不变，得：即流量增加了20%。第88页/共111页5-9边界层理论简介理想液体：运动粘性系数则欧拉方程似乎可解决雷诺数很大时的实际液体运动问题，其实不然。1904年，普兰特提出了边界层理论。为解决粘性流体绕流问题开辟了新途径，具有划时代意义。第89页/共111页1、平板上的边界层普兰特把贴近平板边界存在较大切应力、粘性影响不能忽略的这一薄层液体称为边界层。流动可分为两个区域：在固体界面附近边界层内的流动受粘性影响是粘性流动；边界层以外的流动可以看作理想流动。第90页/共111页 在边界层的前部，由于厚度很薄，速度梯度很大，流动受粘滞力控制，边界层

28、内是层流。随着流动距离的增长，边界层的厚度增大，速度梯度逐渐减小，粘性力的影响减弱，最终在某一断面处转变为紊流。2、管道进口段的边界层在管道进口断面上，流速接近均匀分布，进入管道后，因液体具有粘性，受壁面阻滞，也产生边界层。第91页/共111页 随着沿程边界层厚度的发展，沿程各断面的流速分布不断变化，直到边界层厚度发展到圆管中心，管中的流动全部变成边界层流动，断面的流速分布不再变化。0L断面称为管道的进口段或过渡段。3、边界层分离 当理想流体流经圆柱时，由D点至E点速度渐增、压强渐减，直到E点速度最大，压强最小。而由E点往F点流动时，速度渐减，压强渐增，在F点恢复到D点的流速与压强。第92页/

29、共111页 在实际液体中，当绕流一开始就在圆柱表面形成了很薄的边界层。DE段边界层以外的液体是加速减压；EF段边界层以外的液体是减速加压。因此，造成曲面边界层有其特点：这是与平板边界层的重要差别 若逆压梯度足够大，液体就有可能在物体表面首先发生流动方向的改变，从而引起近壁回流，此回流的产生会使边界层内的质点离开壁面而产生分离，称为边界层分离。第93页/共111页 边界层分离后，圆柱下游面的压强显著降低并在分离点后形成负压区。圆柱上、下游面压强沿水流方向的合力指向下游，形成了压差阻力。V第94页/共111页：为物体垂直于流动方向的投影面积；设一个圆球在无限的流体中做均匀的直线运动，若Re很小，则

30、质点加速度引起的惯性力可以忽略，其结果为：5-9 绕流阻力1726年牛顿提出绕流阻力公式为：u0：为不受物体影响时的流体速度；CD：阻力系数；（摩擦阻力和压差阻力之和）第95页/共111页将式写成的形式：上式只适用于Re1.0的情况。第96页/共111页例：求固体颗粒在净水中的沉速。解：均匀下沉时：重力=阻力+浮力上式只适用于Re1.0的情况。第97页/共111页第五章 习题课例1 应用细管式粘度计测定油的粘度，已知细管直径d=6mm,测量段长L=2m。实测油的流量Q=77cm3/s，水银压差计的读值 hp=30cm，油的密度=900Kg/m3。试求油的运动粘度和动力粘度。解：在1、2断面列伯

31、努力方程第98页/共111页设为层流第99页/共111页校核流态：2300层流，计算成立。例2HLd 水箱中的水通过等直径的垂直管道向大气流出。如水箱的水深为H，管道直径为d，管长为L，沿程阻力系数为，局部阻力系数为，试问在什么条件下，流量随管长的增加而减少？第100页/共111页解：在出口和水箱自由液面列伯努力方程流量随管长的增加而减少，流速也随管长的增加而减少。当时流速随管长的增加而减少第101页/共111页解得：例3有方圆两条自然粗糙有压管，其断面尺寸如图所示，若通过的流量Q和动力粘性系数均相等，其相对粗糙度/d也相等，当两管中的水流均为层流向紊流的过渡区时，试分析哪一根管中的沿程阻力系

32、数更大。1m1md=1m同济大学（99）第102页/共111页解：在层流向紊流过渡区，与相对粗糙度无关，Re大则大方管圆管圆管的大第103页/共111页例4 水从直径d、长L的铅垂管路流入大气中，水箱中的液面高为h，管路的局部阻力可以忽略，其沿程阻力系数为，试求：（1）管路起始断面A处的压强？（2）h等于多少，可使A点压强为大气压？（3）试求管中的平均速度？（4）h等于多少，可使管中流量与L无关？（5）如果d=4cm，L=5m，h=1m，0.04，试求A点（即x0）及x1、2、3、4m处的压强。第104页/共111页解：（1）设A断面上的压强为pA，对液面及A断面列伯努利方程式，则即(a)对A断面和管出口断面列伯努力方程，再将上式 代入，则(b)第105页/共111页得（2）A处压强为大气压，即pA表压强为零，于是由上式可得（3）用（a）式和（b）式联立，消去第106页/共111页（4）要使Q与L无关，则必根号中得第107页/共111页（5）解得第108页/共111页右端方括号中的两项都等于零第109页/共111页第110页/共111页感谢您的观看！第111页/共111页