水文统计学习.pptx

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1、第二节 概率的基本概念二、概率二、概率 随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现（或不出现）可能随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标准，这性的大小则有所不同。为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标准，这个数量标准就是事件的概率。个数量标准就是事件的概率。第1页/共68页第二节 概率的基本概念三、频率 水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来估算概率。设事件在次试验中出现了次，则称为事件A 的频率。第2页/共68页第二节 概率的基本概念掷币试验出现正面的频率表试验者试验者掷币次掷币次数数

2、出现正出现正面次数面次数频率频率蒲丰蒲丰404020400.5080皮尔逊皮尔逊1200060180.5016皮尔逊皮尔逊24000120140.5006在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。第3页/共68页第二节 概率的基本概念（）（）（）（）式中，（）事件与之和的概率；（）事件的概率；（）事件的概率。（）事件和共同发生的概率。四概率加法定理和乘法定理概率加法定理第4页/共68页2、概率乘法定理（）（）（）（）（）式中，（）事件在事件已发生情况下的概率，简称为的条件概率。（）事件在事件已发生情况下的概率，简称为的条件概率。对于两个独立事件：（）（）（）第二节 概率的基本概念

3、第5页/共68页第三节 随机变量及其概率分布一、随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随机变量可分为两大类型：离散型随机变量，连续型随机变量。第6页/共68页AB互斥P（AB）0 P（AB）P（A）P（B）AB相容P（AB）P（A）P（B/A）P（B）P（A/B）ABP（A）P（B）1 P（A）1P（B）P（B）1P（A）对立AB独立P（AB）P（A）P（B）P（A/B）P（A）P（B/A）P（B）第7页/共68页例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛的概率为0.10.1，河流乙泛滥的概率为0.20.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥

4、的概率为0.30.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？解：记河流的甲泛滥为事件，河流乙泛滥为事件。这个地区被淹没的概率为：（AB）（A）（B）（AB）（A）（B）（BA）（A）0.10.20.30.10.27 由于 （AB）（B）（BA）（A）故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为 0.30.1/0.2 0.15（AB）（BA）（A）/（B）第8页/共68页二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，称为随机变量的概率分布，数理统计学上记为F（x）P（X x），称为随机变量的概率分布函数。水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一个值的概率，

5、F（x）P（Xx）在水文统计学上也称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲线）。第9页/共68页某雨量站的年雨量分布曲线 0.60.40.211001000900800700 x0.81.0P（X x）第10页/共68页若x800mm，由分布曲线知P（X800）0.6，表明年雨量超过800mm的概率等于60。年雨量在800mm900mm间的概率是多少呢？这就要讨论的随机变量落在某区间（x，x x）内的概率，可用下式表示：P（xxXx）F（x）F（xx）从图31得:F（800）0.60；F（900）0.21故：P（900 x800）0.600.210.39 年雨量落在800mm至900mm之间

6、的可能性是39。第11页/共68页函数f（x）-F（x）为概率密度函数，简称为密度函数或密度曲线。f(x)xf(x)dxdx概率密度函数 第12页/共68页f(x)x密度函数 F(xp)=P(Xxp)xp第13页/共68页f(x)xxp概率分布函数与密度函数关系F(xp)=P(Xxp)F(x)F(xp)x第14页/共68页三、随机变量的分布参数 概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的分布参数。第15页/共68页（一）位置特征参数平均数反映密度分布的重心，计算公式亦可写成

7、数学期望连续型随机变量的数学期望第16页/共68页（二）离散特征参数 离散特征参数是刻划随机变量分布离散程度的指标。1标准差（均方差）分布愈分散，标准差愈大；分布愈集中，标准差愈小。标准差的平方2称为方差。第17页/共68页标准差对频率曲线的影响1212第18页/共68页2 2离势系数（离差系数，变差系数）例如:甲地区的年雨量分布，EXEX1 11200mm1200mm，标准差1 1360mm360mm；乙地区的年雨量分布，EXEX2 2800mm800mm，标准差2 2320mm320mm。尽管1 12 2，但是 EXEX2 2 EXEX1 1，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。采用一

8、个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为离势系数算得两个地区年雨量的离势系数，CV10.30，CV20.40。说明甲地区的年雨量离散程度较乙地区的为小。第19页/共68页3偏态系数（偏差系数）反映分布是否对称的特征CS参数，记为用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对称，CS0；若不对称，当正离差的立方占优时，CS 0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS 0，称为负偏。第20页/共68页Cs0Cs0Cs0Cs 对密度曲线的影响第21页/共68页四、几种常用的概率分布曲线 （一）正态分布 概率密度函数形式：式中，平均数 标准差 正态分布在误差估算时将会应用。第22页/共68页正态分布

9、曲线f(x)68.3%第23页/共68页（二）皮尔逊型分布 皮尔逊III型曲线为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数式中，a0参数，且有：第24页/共68页如果已知设计值xP，推求xp 取决于p、和O四个数，并且当、O 三个参数为已知时，则xp只取决于p了。、O与分布曲线的EX，CV和CS有关，因此只要确定EX、CV和CS，xp仅与p有关，可以由p唯一地来计算xp。第25页/共68页P3型分布的积分无解析解，实用中制表查用。取标准化变量（离均系数）将之代入式（322）得被积函数只含一个参数CS。只要给定CS就可以算出P和P的对应值，最终制定出PCsp 的对应数值表（表32）。第26页

10、/共68页由给定的C CS S及p p从表3232查出P P，通过x xP P（P P C CV V1 1）EXEX 即可决定出x xP P。因此，已知EXEX，C CV V，C CS S就可求出与各种p p值相应的x xP P值，也就可以绘制分布曲线或频率曲线。例如，已知某地年平均雨量EXEX1000mm1000mm、C CV V0.50.5、C CS S1.01.0，求p p1%1%的设计年雨量。由C CS S1.01.0，p p1%1%查得 P P3.023.02，X X1%1%=（P P CvCv1 1）EX EX （3.020.53.020.51 1）1000 1000 251025

11、10（mmmm）第27页/共68页第四节 统计参数估算 在概率分布函数中包含有 ，CV，CS 三个参数。为了唯一确定概率分布函数，就得估算这些参数。一、样本估计总体 水文变量的总体是指自古迄今以至未来长远岁月所有的水文系列，是不知道的，需要靠观测到的样本去估计总体参数。现有的水文观测的系列可以当作总体的一个随机样本来处理。第28页/共68页某地降雨量频率计算表第29页/共68页由表34资料可绘出如图39所示的折线图，该图表示年降水量P（Xx）的频率W（Xx）和x的关系某地年降雨量经验分布曲线0 20 40 60 80 100 W（%）p p 1200 1200 1000 1000 800800

12、第30页/共68页 随着样本容量的增加（即随着观测次数的增加），频率随着样本容量的增加（即随着观测次数的增加），频率w w就非常接近于概就非常接近于概率率p p，经验分布曲线就非常接近于总体分布曲线。在某种程度上由样本的经验，经验分布曲线就非常接近于总体分布曲线。在某种程度上由样本的经验分布来推测总体分布，总体的参数就可以通过抽出的样本（观测的系列）来分布来推测总体分布，总体的参数就可以通过抽出的样本（观测的系列）来加以估算了。加以估算了。第31页/共68页（1）样本的均值X，它与总体均值相对应，即（2）样本标准差S 与总体标准差相对应，即 （3）样本离势系数CV 与总体离势系数相对应，即（4

13、）样本偏态系数CS，与总体参数偏态系数相对应，即 只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。第32页/共68页原矩法公式得出的原矩法公式得出的S S，C CV V ，和，和C CS S 并不是无偏估计量，目前水文上采用并不是无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的矩法公式的是经修正后的矩法公式:第33页/共68页第五节第五节 配线法估计水文分布参数配线法估计水文分布参数 某地年降雨量经验分布曲线020406080100W（%）x 1200 1000 800一、经验频率曲线W（Xxi）i/n第34页/共68页二、经验频率二、经验频率 如果用如果用W（Xxi）

14、i/n的经验分布曲线估计总体分布曲线，存在不合理的经验分布曲线估计总体分布曲线，存在不合理现象。当现象。当m mn n时，最末项的频率为时，最末项的频率为100%100%，样本末项值为总体中的最小值，不符，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实，因为比样本最小值更小的数值今后仍可能出现。合事实，因为比样本最小值更小的数值今后仍可能出现。水文上用期望值公式估计频率。水文上用期望值公式估计频率。第35页/共68页 频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这个词。所谓频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这个词。所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。重现期是指

15、在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在工程水文中，重现期用字母在工程水文中，重现期用字母 T T 表示，一般以年为单位。表示，一般以年为单位。第36页/共68页当研究暴雨洪水问题时例如，当暴雨或洪水的频率采用p1%时，T100年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或洪水。当研究枯水问题时 例如，对于p80%枯水流量，T5年，称此为五年一遇的枯水流量。或称为保证率为80的设计流量。T=1/PT=1/1-P第37页/共68页 所谓百年一遇的暴雨或洪水，是所谓百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于这样的暴雨或洪水在长指大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期内平均时期内平均100100年发生一次，而不能

16、认年发生一次，而不能认为每隔为每隔100100年必然遇上一次。年必然遇上一次。第38页/共68页三、配线法三、配线法 根据经验频率分布点据，找出与之配合最佳的频率曲线，其相应的根据经验频率分布点据，找出与之配合最佳的频率曲线，其相应的分布参数，作为总体分布参数的估计值。分布参数，作为总体分布参数的估计值。第39页/共68页计算步骤：（1）点绘经验点据 纵坐标为变量值，横坐标为经验频率，采用期望值公式估计。（2）初定一组参数 用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS与CV的比值K估算CS。（3）根据初定的EX、CV和CS，计算频率曲线，并绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，则修改参数再

17、次配线，主要调整CV以及CS。（4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。第40页/共68页 为了避免修改参数的盲目性，需要了解参数对频率曲线的影响。由频率曲线图可明显看出，CV值愈大，曲线愈陡；当CS增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。当CS0，频率曲线在概率纸上为一直线。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。第41页/共68页37某站年降水量频率计算表某站共有实测降水量资料24年，求频率为10%和90%的年降水量。（1

18、）将原始资按大小次序排列，列入表（4）栏。（2）按期望值公式计算经验频率，列入表（5）栏。并将X与P对应点绘于概率格纸上。第42页/共68页（3）用矩法计算系列的多年平均降水量和离差系数。第43页/共68页（4）选定CV0.30，并假定CS2CV0.60查表3-2得P，求得 xP （PCV1），如表（3）栏。根据表中（1）、（3）两栏的对应数值点绘曲线，发现曲线头部和尾部都偏于经验频率点据之下。（5）改变参数，重新配线。因为曲线头尾部偏低，故需增大CS，CV0.30不变，CS3CV0.90，查算出各xP值，列入表（4）、（5）栏，点绘后曲线的头部和尾部反而有些偏离，配线仍不理想。第44页/共6

19、8页（6）再次改变参数，第三次配线。把CS稍微调小一些。选定CV0.30，CS2.5 CV0.75，查表计算出各xP值，列入表（6）、（7）栏中。绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，取为最后采用的频率曲线。（7）求得p10%的年降水量为933mm，p90%的年降水量为433mm。第45页/共68页表-8 频率曲线选配计算表第46页/共68页第47页/共68页 配线法得到的成果仍具有抽样误差配线法得到的成果仍具有抽样误差,而而这种误差目前还难以精确估算这种误差目前还难以精确估算,因此对于工因此对于工程上最终采用的频率曲线及相应的统计参程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数数,不仅要从水文统计方

20、面分析不仅要从水文统计方面分析,而且还要而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区规律密切结合水文现象的物理成因及地区规律进行综合分析进行综合分析.第48页/共68页一、相关关系的概念 1相关的意义与应用 按数理统计法建立上述两个或多个随机变量之间的联系，称之为相关关系。把对这种关系的分析和建立称为相关分析。水文上用相关分析可以延长和插补短系列,使水文资料满足代表性要求。第六节第六节 相关分析相关分析第49页/共68页 2 2相关的分类相关的分类 完全相关（函数关系）完全相关（函数关系）零相关（没有关系）零相关（没有关系）相关关系相关关系（统计关系）第50页/共68页3相关分析的内容 （1）判定

21、变量间是否存在相关关系，若存在，计算其相关系数，以判断相关的密切程度；（2）确定变量间的数量关系回归方程或相关线；（3）根据自变量的值，预报或延长、插补倚变量的值，并对该估值进行误差分析。第51页/共68页二、直线相关 1相关图解法设xi和yi代表两系列的观测值，共有n对，把对应值点绘于方格纸上，如果相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间及（，）点绘出相关直线,说明变量x与y为线性相关,满足方程：yabx第52页/共68页 某流域年降雨径流资料某流域年降雨径流资料 年份年份年雨量年雨量X年径流年径流Y195420141362195512117281956172813691957115769

22、51958125772019591029534196013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383第53页/共68页第54页/共68页2相关计算法 为避免相关图解法在定线上的任意性，常采用相关计算法来确定相关线的方程，即回归方程。直线相关方程的形式为:y=a+bx式中 x 自变量；y 倚变量；a、b 待定常数。第55页/共68页 待定常数待定常数a a、b b 由观测点与直线拟合最佳，通过最小二由观测点与直线拟合最佳，通过最小二乘法进行估计。最后得到如下形式的回归方程：乘法进行估计。最后得到如下形式的回归方程：式中

23、式中 、x x、y y 系列的均方差；系列的均方差；、x x、y y 系列的均值；系列的均值；r r 相关系数，表示相关系数，表示x x、y y 两系列间的密切程度。两系列间的密切程度。第56页/共68页 相关系数相关系数第57页/共68页若以y 求x，则要应用x 倚y 的回归方程。x 倚y 的回归方程为：一般y倚x与x倚y的两回归线并不重合，但有一个公共交点（）。第58页/共68页某流域年降雨径流资料某流域年降雨径流资料年份年份年雨量年雨量X年径流年径流Y195420141362195512117281956172813691957115769519581257720195910295341

24、96013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383第59页/共68页第60页/共68页3相关分析的误差相关分析的误差-回归线的误差回归线的误差 回归线仅是观测点据的最佳配合线，通常观测点据并不完全落在回归线回归线仅是观测点据的最佳配合线，通常观测点据并不完全落在回归线上，而是散布于回归线的两旁。上，而是散布于回归线的两旁。因此，回归线只反映两变量间的平均关系。按此关系推求的值和实际值因此，回归线只反映两变量间的平均关系。按此关系推求的值和实际值之间存在着误差，误差大小一般采用均方误来表示。之间存在着误差，误差大小一

25、般采用均方误来表示。第61页/共68页如用如用S Sy y 表示表示y y 倚倚x x 回归线的均方误，回归线的均方误，y yi i 为观测值，为观测值，为回归线上的为回归线上的对应值，对应值，n n 为系列项数，则为系列项数，则 同样，x x 倚y y 回归线的均方误S Sx x 为 第62页/共68页-相关系数误差相关系数误差 在相关分析中，相关系数是根据有限的在相关分析中，相关系数是根据有限的实测资料实测资料计算出来的，必然计算出来的，必然会有会有抽样误差抽样误差。一般通过相关系数的均方误。一般通过相关系数的均方误(或随机误差或随机误差)来判断样本相关系来判断样本相关系数的可靠性。数的可

26、靠性。Er=0.6745r第63页/共68页-相关系数的统计检验 总体不相关（r=0）的两变量，由于抽样原因，样本的相关系数不一定等于零。为此，需要对相关系数进行显著性检验。检验方法是：先选一个临界相关系数r，与样本的相关系数r相比较，若rr，则具有相关关系；否则，无相关关系。r可以根据样本项数n和信度（一般采用=005）从已制成的相关系数检验表中查取。第64页/共68页三、曲线相关、曲线相关 许多水文现象间的关系，并不表现为直线关系而具有曲线相关的形式。水文上常采用幂函数、指数函数两种曲线，基本作法是将其转换为直线，再进行直线回归分析。第65页/共68页1幂函数 幂函数的一般形式为 y=axb 两边取对数logy=loga+blogx 令 Y=logy,A=loga,X=logx 则有 Y=A+b X 对X和Y而言就是直线关系，可对其作直线回归分析。第66页/共68页2指数函数 指数函数的一般形式为 y=A ebx 两边取对数 logy=loga+bxloge 令 Y=logy,A=loga,B=bloge,X=x 则有 Y=A+B X 这样对X和Y同样也可作直线相关分析。第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页