离散型随机变量及其分布律.pptx

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1、定义1 1 若随机变量 X X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义2第1页/共43页离散型随机变量的分布律也可表示为或其中其中 第2页/共43页分布函数分布函数分布律分布律离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布函数离散型随机变量分布函数演示演示离散型随机变量分布律与分布函数的关系第3页/共43页例例 1 抛掷均匀硬币,令求随机变量 X 的分布函数.解解第4页/共43页第5页/共43页二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为2.两点分布两点分布1.退化

2、分布退化分布若随机变量X取常数值C的概率为1,即则称X服从退化分布.第6页/共43页实例实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量 X 服从(0-1)分布.其分布律为则称 X 服从(0-1)分布分布或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)第7页/共43页 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明说明第8页/共43页3.均匀分布均匀分布如果随机变量 X 的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有均匀分布随机数均匀分布随机数演示演示第9页/共43页4.二项分布二项分布若

3、X的分布律为：称随机变量X X服从参数为n,pn,p的二项分布。记为 ,其中q q1 1p p二项分布二项分布两点分布两点分布第10页/共43页二项分布的图形图形演示第11页/共43页例如例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数 X 服从 B(5,0.6)的二项分布.二项分布随机数二项分布随机数演示演示第12页/共43页4.泊松分布泊松分布 泊松资料泊松资料图形演示第13页/共43页泊松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示第14页/共43页泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初

4、罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布.第15页/共43页地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次

5、数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发特大洪水第16页/共43页电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.第17页/共43页泊松定理证明第18页/共43页第19页/共43页第20页/共43页二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大,p 很小上面我们提到单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出

6、第21页/共43页 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X,则可利用泊松定理计算所求概率为解解例例2 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?第22页/共43页6.几何分布几何分布 若随机变量 X 的分布律为则称 X 服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量,求X 的分布律.几何分布随机数几何分布随机数演示演示图形演示第

7、23页/共43页所以 X 服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型.解解第24页/共43页7.超几何分布设X的分布律为 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.说明图形演示第25页/共43页离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布几种分布比较演示第26页/共43页第27页/共43页第28页/共43页例例 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件

8、、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.备份题第29页/共43页故 X 的分布律为解解(1)X 所取的可能

9、值是第30页/共43页 (2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故 X 的分布律为X 所取的可能值是第31页/共43页 (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中.故 X 的分布律为X 所取的可能值是第32页/共43页例例 为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题使得合理配备维修工人问题合理配备维修工

10、人问题第33页/共43页由泊松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8第34页/共43页例例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在1月1日的收入是 2500 12=30000元解 设X表示这一年内的死亡人数,则第35页/共43页保险公司这一年里付出200X元.假定 200X 30000,即X 15

11、人时公司亏本.于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得P公司亏本(2)获利不少于一万元,即 30000-200X 10000即X 10P获利不少于一万元=PX 10第36页/共43页分析分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例2第37页/共43页解解第38页/共43页图示概率分布第39页/共43页解解因此例例3第40页/共43页Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料第41页/共43页泊松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson第42页/共43页感谢您的观看！第43页/共43页