新 基本不等式的证明.pptx

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1、问问 题题 情情 境境 1 1 对任意实数x、y，有 恒成立，即 .探究：1.分别用 代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子？2.对上述实数a、b，须有何限制条件？3.上述不等关系中，何时取到“=”？第1页/共20页问问 题题 情情 境境 2 2 如图,AB为半圆的直径,C为圆周上一动点,H为垂足.设AH=a,HB=b,半弦CH不大于半径COOHBCA把 称为a,b的算术平均数，把 称为a,b的几何平均数.探究：1试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数 和几何平均数？2能否比较出两者的大小关系？第2页/共20页（二）发现基本不等式（二）发现基本不等式（二）发现基本不等式（二）发现

2、基本不等式数：形：半弦不大于半径 第3页/共20页（三）构建基本不等式（三）构建基本不等式如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）.这个不等式称为这个不等式称为基本不等式基本不等式.刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式.那么,这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?第4页/共20页（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？比较法，作差(或作商)第5页/共20页（三）基本不等式的证明（比较法）（三）基本不等式的证

3、明（比较法）（三）基本不等式的证明（比较法）（三）基本不等式的证明（比较法）说明：比较法证明不等式的步骤：作差（或作商），变形：通分、因式分解、配方等，判断差式的符号，结论.(当且仅当a=b时取“=”).第6页/共20页基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）求证:刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的例如,请看第7页/共20页基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）要证 ，只要证 ，只要证 ，只要证 ，因为最后一个不等式

4、成立，所以原不等式成立,只要证 .当且仅当a=b时取“=”.第8页/共20页基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）要证 ,只要证 ,只要证 ,只要证 .因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.第9页/共20页基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论显然成立结论变形再变简单点再简单点再变第10页/共20页基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论不过，

5、有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.第11页/共20页基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）(当且仅当a=b时取“=”).证明：综合法：从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.第12页/共20页基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路.综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁.证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程 第13页/共20页（五）基本不等式的简

6、单应用（五）基本不等式的简单应用如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）.这个不等式称为这个不等式称为基本不等式基本不等式.基本不等式的变式：第14页/共20页（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用 例 证明下列不等式 （1）(a0)；思考1：第（1）题若将a0 改为a0)；(a1).思考2：第（2）题若将 a 1改为a 1，求 的取值范围.第17页/共20页课课 堂堂 小小 结结在应用基本不等式时，要注意哪些问题?不等式的证明有哪几种常用的方法呢？基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立比较法，分析法，综合法第18页/共20页课后作业课后作业课题：多角度探究基本不等式课后请大家按照教学案提供的材料从代数、几何、三角、向量等方面多角度探究基本不等式.第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页