中科大量子力学散射.pptx

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1、1散射过程：散射过程：Zds靶粒子的处在位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿方向准直的均匀单能粒子由远处沿z z轴方轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为各方向散射开去，此过程称为散射过程散射过程。散。散射后的粒子可用探测器测量。射后的粒子可用探测器测量。一一 散射截面散射截面第1页/共74页2散散射射角角：入入射射粒粒子子受受靶靶粒粒子子势势场场的的作作用用，其其运动方向偏离入射方向的角度。运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发

2、生变化，则称弹性散粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度入射粒子流密度N N：单位时间内通过与入射单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。为入射粒子流强度。散射截面：散射截面：一一 散射截面散射截面 (续续1)1)第2页/共74页3设设单单位位时时间间内内散散射射到到（，）方方向向面面积积元元dsds上（立体角上（立体角d d 内）的粒子数为内）的粒子数为dndn，显然显然综合之，

3、则有：综合之，则有：或或 （1 1）比例系数比例系数q(q(，)的性质：的性质：q(q(，)与与入入射射粒粒子子和和靶靶粒粒子子（散散射射场场）的的性性质质，它它们们之之间间的的相相互互作作用用，以以及及入入射射粒粒子子的动能有关，是的动能有关，是，的函数的函数一一 散射截面散射截面 (续续2)2)第3页/共74页4q(q(，)具有面积的量具有面积的量纲纲故称故称q(q(，)为微分散射截面，简称为截面为微分散射截面，简称为截面或角分布或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积面面积q(q(，)，则单位时间内通过此截面的则单位时间内通过此截面的粒子数

4、恰好散射到粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角方向的单位立体角内。内。（2）一一 散射截面散射截面 (续续3)3)第4页/共74页5总散射截面：总散射截面：注注 由由（2 2）式式知知，由由于于N N、可可通通过过实实验测定，故而求得验测定，故而求得 。量子力学的任务是从理论上计算出量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。间的相互作用以及其它问题。一一 散射截面散射截面 (续续4)4)第5页/共74页6 二、散射振幅二、散射振幅 现现在在考考虑虑量量子子力力学学对对散散射射体体系系的的描描述述。设设

5、靶靶粒粒子子的的质质量量远远大大于于散散射射粒粒子子的的质质量量，在在碰碰撞过程中，靶粒子可视为静止。撞过程中，靶粒子可视为静止。取取散散射射中中心心A A为为坐坐标标原原点点，散散射射粒粒子子体体系系的的定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程（4）令令方程（方程（4 4）改写为）改写为第6页/共74页7（5）由由于于实实验验观观测测是是在在远远离离靶靶的的地地方方进进行行的的，从从微观角度看，可以认为微观角度看，可以认为 ，因此，在计算，因此，在计算 时时，仅仅需需考考虑虑 处处的的散散射射粒粒子子的的行行为为，即即仅仅需需考考虑虑 处处的的散散射射体体系系的的波波函数。函

6、数。设设 时，时，方程（，方程（5 5）变为）变为（6）令令（7 7）二、散射振幅二、散射振幅 (续续1)1)第7页/共74页8将（将（6 6）式写成）式写成 在在 的情形下，此方程简化为的情形下，此方程简化为 此此方方程程类类似似一一维维波波动动方方程程。我我们们知知道道，对对于于一维势垒或势阱的散射情况一维势垒或势阱的散射情况（8 8）二、散射振幅二、散射振幅 (续续2)2)第8页/共74页9方程（方程（8 8）有两个特解）有两个特解式式中中 为为入入射射波波或或透透射射波波，为为散散射射波波，波只沿一方向散射。波只沿一方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射。三维对于三维情形，波可沿各方

7、向散射。三维散射时，在散射时，在 处的粒子的波函数应为入处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。射波和散射波之和。二、散射振幅二、散射振幅 (续续3)3)第9页/共74页10因此因此 代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表由散射中心向外传播的球面散射波，代代表表向向散散射射中中心心会会聚聚的的球球面面波波，不不是是散散射射波，应略去。波，应略去。在在 处处，散散射射粒粒子子的的波波函函数数是是入入射射平平面波面波 和球面散射波和球面散射波 之和。即之和。即（9）二、散射振幅二、散射振幅 (续续4)4)第10页/共74页11散射波的几率流密度散射波的几率流密度入射波几率密度（即入射粒子流密度）

8、入射波几率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波为方便起见，取入射平面波 的系数的系数 ，这表明这表明 ，入射粒子束单位体积中的，入射粒子束单位体积中的粒子数为粒子数为1 1。（1010）二、散射振幅二、散射振幅 (续续5)5)第11页/共74页12单单位位时时间间内内，在在沿沿 方方向向d d 立立体体角角内内出出现的粒子数为现的粒子数为 （13）比较（比较（1 1）式与（）式与（1212），得到），得到（1212）（1111）二、散射振幅二、散射振幅 (续续6)6)第12页/共74页13 下下面面介介绍绍两两种种求求散散射射振振幅幅或或散散射射截截面面的的方方法：分波法，玻恩近似

9、方法。法：分波法，玻恩近似方法。分分波波法法是是准准确确的的求求散散射射理理论论问问题题的的方方法法，即即准确的散射理论。准确的散射理论。由此可知，若知道了由此可知，若知道了 ，即可求得，即可求得 ，称称为为散散射射振振幅幅。所所以以，对对于于能能量量给给定定的的入入射粒子，速率射粒子，速率 给定，于是，入射粒子流密度给定，于是，入射粒子流密度 给给定定，只只要要知知道道了了散散射射振振幅幅 ，也也就就能能求求出出微微分分散散射射截截面面。的的具具体体形形式式通通过过求求SchrSchrdingerdinger方方程程（5 5）的的解解并并要要求求在在 时时具有渐近形式（具有渐近形式（9 9）

10、而得出。）而得出。二、散射振幅二、散射振幅 (续续7)7)第13页/共74页14 取取沿沿粒粒子子入入射射方方向向并并通通过过散散射射中中心心的的轴轴线线为为极极轴轴z z，显显然然 与与 无无关关，按按照照3.3.3.3.的的讨讨论论，对对于于具具有有确确定定能能量量的的粒粒子子，方方程程（3-3-1 1）的特解为）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。讨论粒子在中心力场中的散射。（3-13-1）粒子在辏力场中的势能为粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程，状态方程由由于于现现在在 与与 无无关关(m=0)m=0)，所所以以，方方程程（1 1）的特解可写成的特解可写成 三、分波法三、分波法第14页

11、/共74页15方程（方程（3-13-1）的通解为所有特解的线性迭加）的通解为所有特解的线性迭加 （3-2）（3-23-2）代入（）代入（3-13-1），得径向方程），得径向方程 为为待待定定的的径径向向波波函函数数，每每个个特特解解称称为为一一个分波，个分波，称为第称为第 个分波，通常称个分波，通常称 的分波分别为的分波分别为s s,p p,d d,f f分波分波（3-3）三、分波法三、分波法 (续续1)1)第15页/共74页16令代入上方程（3-43-4）考虑方程（考虑方程（3-43-4）在）在 情况下的极限解情况下的极限解令令 方程（方程（3-43-4）的极限形式）的极限形式由此求得：由此

12、求得：（3-53-5）三、分波法三、分波法 (续续2)2)第16页/共74页17为为了了后后面面的的方方便便起起见见，这这里里引引入入了了两两个个新新的的常数常数将（将（3-53-5）代入（）代入（3-23-2），得到方程（），得到方程（3-13-1）在）在 情形下通解的渐近形式情形下通解的渐近形式（3-6）三、分波法三、分波法 (续续3)3)第17页/共74页18 另另一一方方面面，按按上上节节的的讨讨论论，在在远远离离散散射射中中心处，粒子的波函数心处，粒子的波函数（3-73-7）（3-83-8）式中式中j jl l(krkr)是球贝塞尔函数是球贝塞尔函数将平面波将平面波 按球面波展开按球

13、面波展开（3-9）三、分波法三、分波法 (续续4)4)第18页/共74页19利用（利用（3-83-8）、（）、（3-93-9），可将（），可将（3-73-7）写成）写成（3-10）（3-63-6）和（）和（3-103-10）两式右边应相等，即）两式右边应相等，即分别比较等式两边分别比较等式两边 和和 前边的系数，得前边的系数，得 三、分波法三、分波法 (续续5)5)第19页/共74页20（3-12）（3-11）可以得到可以得到用用 乘以（乘以（1212）式，再对）式，再对 从从 积分，并利用积分，并利用LegradrerLegradrer多项式的正交性多项式的正交性 三、分波法三、分波法 (续

14、续6)6)第20页/共74页21即即 （3-133-13）将此结果代入（将此结果代入（3-113-11）式）式（3-14）三、分波法三、分波法 (续续7)7)第21页/共74页22可见，求散射振幅可见，求散射振幅f f()的问题归结为求的问题归结为求 ，求，求 的具体值关键是解径向波函数的具体值关键是解径向波函数 的的方程（方程（3-33-3）由（3-8），（3-9）知，是入射平面波的第 个分波的位相；由（3-6）知，是散射波第 个分波的位相。所以，是入射波经散射后第 个分波的位相移动（相移）。的物理意义：的物理意义：三、分波法三、分波法 (续续8)8)第22页/共74页23微分散射截面微分散

15、射截面（3-15）总散射截面总散射截面 三、分波法三、分波法 (续续9)9)第23页/共74页24即即 （3-163-16）式中式中 （3-173-17）是第是第 个分波的散射截面。个分波的散射截面。由上述看们看出：求散射振幅由上述看们看出：求散射振幅 的的问题归问题归结为求相移结为求相移 ，而而 的获得，需要根据的获得，需要根据 的具体情况解径向方程（的具体情况解径向方程（3-33-3）求）求 ，然后然后取其渐近解，并写为取其渐近解，并写为 三、分波法三、分波法 (续续10)10)第24页/共74页25即可得到第即可得到第 个分波的相移，由于每个分波个分波的相移，由于每个分波都将产生相移都将

16、产生相移 ，所以，必须寻找各个分波所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。法。光光 学学 定定 理理（证明见后）（证明见后）三、分波法三、分波法 (续续11)11)第25页/共74页26 分波法求散射截面是一个无穷级数的问分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到在一定的条件下计

17、算级数中的前几项，达到一定精确度即可。一定精确度即可。分分波波法法的的适适用用范范围围 散射主要发生在势场的作用范围内，若以散散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以射中心为心，以 为半径的球表示这个范围，为半径的球表示这个范围，则则 时，散射效果就可以忽略不计了。时，散射效果就可以忽略不计了。三、分波法三、分波法 (续续12)12)第26页/共74页27由于入射波的第由于入射波的第 个分波的径向函数个分波的径向函数 的的第一极大值位于第一极大值位于 附近，当附近，当 较大时，较大时，愈大，愈大，愈快，如果愈快，如果 的第一极大值位于的第一极大值位于 ，即，即 时，在时，在 内，内

18、，的值很小。的值很小。亦即第亦即第 个分波受势场的影响很小，散射影个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第响可以忽略，只有第 个分波之前的各分波个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件 三、分波法三、分波法 (续续13)13)第27页/共74页28写成写成 ，而，而 的分波不必考虑，的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当愈小，则需计算的项数愈小，当 时，时，这时仅需计算一个相移这时仅需计算一个相移 即足够了，即足够了，足够小，意味着入射粒子的动能较低，所足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，以分波法适用于

19、低能散射，的分波散射的分波散射截面可以略去。截面可以略去。三、分波法三、分波法 (续续14)14)第28页/共74页29说说明明 已知已知 时，可用分波法求出低能散射的时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道中，作用力不清楚，也即不知道 的具体的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。三、分波法三、分波法 (续

20、续15)15)第29页/共74页30思考题：思考题：什么是分波法？什么是分波法？分波法是说入射平面波分波法是说入射平面波e eikzikz按球面波展开按球面波展开展开式中的每一项称为一个分波，每个分波展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移在中心力场的影响下，各自产生一个相移 。而而 的获得需根据的获得需根据 的具体形式解径向方程的具体形式解径向方程 三、分波法三、分波法 (续续16)16)第30页/共74页31求出求出 ，然后取其渐近解，并写成然后取其渐近解，并写成即可得到第即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都个分波的相移，由于每个分波都将产生相移将产生

21、相移 ，所以，计算散射截面时须寻找所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，各个分波的相移，这种方法称为分波法。这种方法称为分波法。三、分波法三、分波法 (续续17)17)第31页/共74页32分分波波法法应应用用举举例例ex.球方势阱和球方势垒的低能散射。球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势能粒子的势能:是是势势阱阱或或势势垒垒的的深深度度或或高高度度。设设入入射射粒粒子子能能量量很很小小，其其德德布布罗罗意意波波长长比比势势场场作作用用范范围围大大很很多多（质质子子和和中中子子的的低低能能散散射射可可以以近近似似地地归归结结为这种情况），求粒子的散射截面。为这种情况），求粒子的散射截面。

22、Solve:粒子的径向方程粒子的径向方程（1）三、分波法三、分波法 (续续18)18)第32页/共74页33其中其中 （2）对于球方势阱对于球方势阱 为粒子的能量，为粒子的能量，为粒子在靶粒子中心力为粒子在靶粒子中心力场中的势能。场中的势能。（2）因粒子波长因粒子波长所以仅需讨论所以仅需讨论s s波的散射波的散射 ，据此及（据此及（2 2）式，）式，可将方程（可将方程（1 1）写成）写成 三、分波法三、分波法 (续续19)19)第33页/共74页34其中其中 （4）（3）令令则（则（3 3），（），（4 4）可写成）可写成（5）三、分波法三、分波法 (续续20)20)第34页/共74页35（6

23、）其解为其解为（7）（8）于是于是（9）（10）因因 在在 处有限，必须有处有限，必须有所以所以 三、分波法三、分波法 (续续21)21)第35页/共74页36在在 处，处，及及 连续，因此，连续，因此，及及 在在 处连续。由（处连续。由（7 7），（），（8 8）式得式得总散射截面总散射截面（1111）（1212）由此求得相移由此求得相移即即 三、分波法三、分波法 (续续22)22)第36页/共74页37在粒子能量很低在粒子能量很低 的情况下，的情况下，。利用利用 时，时，有有 （1313）（1414）对于球方势垒对于球方势垒 。这时，用这时，用 代替以上讨论中的代替以上讨论中的 ，在粒子能

24、在粒子能量很低量很低 的情况下，（的情况下，（1313）变为）变为（1515）三、分波法三、分波法 (续续23)23)第37页/共74页38（1414）写为）写为（1616）当当 时时 ，由于，由于代入（代入（1616）式，得）式，得 低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为于半径为 的球面面积，它与经典情况不同，在经的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为 的硬球的最大截面面积的硬球的最大截面面积 ，它是量子力学计算的，它是量子力学计算的结果的结果的 。三、分

25、波法三、分波法 (续续24)24)第38页/共74页39四四.玻恩近似玻恩近似 分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为可看作是微扰，体系的哈密顿算符为 其中，其中，是粒子的动能（自由粒子的哈是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本征函数征函数第39页/共74页40粒子与散射力场的相互作用能：粒子与

26、散射力场的相互作用能：这这里里，采采用用箱箱归归一一化化意意味味着着体体积积L L3 3内内只只有有一个粒子。于是，入射粒子流密度一个粒子。于是，入射粒子流密度单位时间内，散射到单位时间内，散射到 方向立体角方向立体角 内的内的粒子数粒子数（1）另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为微扰作用，从动量为 的初态的初态 跃迁到动跃迁到动量量 的末态的末态 ，即即四四.玻恩近似玻恩近似 (续续1)1)第40页/共74页41对于弹性散射，动能守恒对于弹性散射，动能守恒单位时间内，粒子从初态单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大跃迁到动量大小为小为

27、，方向为，方向为 的立体角的立体角 内所有末内所有末态上的几率，即跃迁几率态上的几率，即跃迁几率 跃迁距阵元跃迁距阵元（2 2）（3 3）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续2)2)第41页/共74页42 为动量大小为为动量大小为 方向角为方向角为 的末态数的末态数目（态密度）目（态密度）（4）将（将（3 3）、（）、（4 4）代入（）代入（2 2）式，得出）式，得出 （5 5）此此式式在在数数量量上上即即表表示示单单位位时时间间内内跃跃迁迁到到立立体体角角d d 内的粒子数内的粒子数（6 6）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续3)3)第42页/共74页43比较（比较（1 1），（），（6 6）式，并注

28、意到）式，并注意到 ，立，立即可得即可得 （7 7）式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅出的散射振幅 有一负号。引入矢量有一负号。引入矢量其中其中 是散射角，是散射角，是散射引起动量的变化，是散射引起动量的变化，于是于是（8 8）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续4)4)第43页/共74页44取取 的方向为球坐标的极轴方向，的方向为球坐标的极轴方向，为方位为方位角，则可简化积分角，则可简化积分 （9 9）因而因而（1010）此式即为玻恩近似表达式，若势能此式即为玻恩近似表达式，若势能 已知，计算已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应

29、用玻恩积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出 的具体形式后，如何计算积分的具体形式后，如何计算积分 。四四.玻恩近似玻恩近似 (续续5)5)第44页/共74页45 下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。积分公式。四四.玻恩近似玻恩近似 (续续6)6)第45页/共74页46玻恩近似法应用举例玻恩近似法应用举例Ex.1玻恩近似法的适用范围：玻恩近似法的适用范围：玻玻恩恩近近似似法法只只适适用用于于粒粒子子的的高高能能散散射射，它它与与分分波波法法（适适用

30、用于于低低能能散散射射）相相互互补补充充，作作为解决散射问题的两种主要方法。为解决散射问题的两种主要方法。计算高速带电粒子计算高速带电粒子 ，被中性原子内部，被中性原子内部屏蔽库仑场屏蔽库仑场 散射，求散射截面。散射，求散射截面。Solve：高速带电粒子属高能粒子，故高速带电粒子属高能粒子，故四四.玻恩近似玻恩近似 (续续7)7)第46页/共74页47当入射粒子的能量很大，散射角当入射粒子的能量很大，散射角 较大时较大时（1）其中其中（2 2）（3）所以上式可近似写成所以上式可近似写成四四.玻恩近似玻恩近似 (续续8)8)第47页/共74页48（4）此式称为此式称为RutherfordRuth

31、erford散射公式散射公式。首先由卢瑟福用。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（说明式（3 3）是经典力学方法可以适用的条件。式）是经典力学方法可以适用的条件。式（4 4）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当因而核外电子不起屏蔽作用。当 角很小时，条件角很小时，条件（3 3）不能满足，）不能满足，RutherfordRutherford公式不能成立

32、，此时需公式不能成立，此时需用（用（1 1）式。）式。四四.玻恩近似玻恩近似 (续续9)9)第48页/共74页49EX.2Solve 为一般起见，先考虑为一般起见，先考虑 分波的相移，分波的相移，再取特殊情况再取特殊情况 分波的相移。分波的相移。粒子受到势能为粒子受到势能为 的场的散射，的场的散射，求求s s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。根据边界条件根据边界条件 （1 1）解径向函数解径向函数 满足的径向方程满足的径向方程令令 四四.玻恩近似玻恩近似 (续续10)10)第49页/共74页50又令又令（2 2）所以（所以（2 2）式可以写成）式可以写成于是（于是（3 3）式又可写成）式

33、又可写成（3 3）令令四四.玻恩近似玻恩近似 (续续11)11)第50页/共74页51上式是上式是 阶贝塞尔方程，其解为阶贝塞尔方程，其解为 ，因此因此但当但当 时，时，所以在所以在 附近附近由由 （4 4）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续12)12)第51页/共74页52（5 5）比较（比较（1 1）式和（）式和（5 5）式，则有）式，则有四四.玻恩近似玻恩近似 (续续13)13)第52页/共74页53将将 值代入微分散射截面的表达式值代入微分散射截面的表达式立即可得到立即可得到s s分波的微分散射截面分波的微分散射截面令令s s分波散射截面分波散射截面四四.玻恩近似玻恩近似 (续续14)14

34、)第53页/共74页54EX.3慢速粒子受到势能为慢速粒子受到势能为 的场的散射，的场的散射，若若 ，求散射截面。，求散射截面。由径向波函数由径向波函数 所满足的径向方程所满足的径向方程当当 时时（1）令（2）Solve:由于是慢速粒子散射，对于低能散射由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑只需考虑 分波。分波。四四.玻恩近似玻恩近似 (续续15)15)第54页/共74页55将 代入以上方程（3）并令并令 （4 4）（6）（5）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续16)16)第55页/共74页56 当当 应有限，则要求应有限，则要求 在在 处，处，和和 连续连续两式相除，得两式相除，得 四四.玻恩

35、近似玻恩近似 (续续17)17)第56页/共74页57总散射截面总散射截面(7)讨论：当粒子的能量 时，如果粒子能量很低如果粒子能量很低 的情况下的情况下 四四.玻恩近似玻恩近似 (续续18)18)第57页/共74页58如果如果 时，时，于是有，于是有在这种情况下，总散射截面等于半径为在这种情况下，总散射截面等于半径为 的球的球面面积。它与经典情况不同，在经典情况下面面积。它与经典情况不同，在经典情况下 四四.玻恩近似玻恩近似 (续续19)19)第58页/共74页59EX.4只考虑只考虑s s分波，求慢速粒子受到势场分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面的场散射时的散射截面Solve:

36、根据边界条件根据边界条件解径向方程：解径向方程：令则上方程简写为：则上方程简写为：四四.玻恩近似玻恩近似 (续续20)20)第59页/共74页60令令代入上方程，有代入上方程，有只考虑只考虑s s分波，分波，由于由于 ，以上方程在以上方程在 时的渐近形式为时的渐近形式为此为此为 阶贝塞尔方程，其解为阶贝塞尔方程，其解为四四.玻恩近似玻恩近似 (续续21)21)第60页/共74页61由于由于 ，所以有限解为，所以有限解为于是于是比比较较（1 1）和和（2 2）两两式式，并并注注意意取取（1 1）式式中的中的 等于等于0 0，则，则四四.玻恩近似玻恩近似 (续续22)22)第61页/共74页62E

37、X.5用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面中散射的散射截面Solve:根据微分散射截面公式根据微分散射截面公式于是将于是将 代入上式，积分代入上式，积分四四.玻恩近似玻恩近似 (续续23)23)第62页/共74页63四四.玻恩近似玻恩近似 (续续24)24)第63页/共74页64四四.玻恩近似玻恩近似 (续续25)25)第64页/共74页65EX.6 用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分散射截面，式中中散射的微分散射截面，式中 。Solve:四四.玻恩近似玻恩近似 (续续26)26)第65页/共74页66四四.玻恩近似玻恩近似 (

38、续续27)27)第66页/共74页67EX.7设设 ，求反射系数，求反射系数Solve:（1）令令则则（2）（3）（4）将（将（2 2）（）（4 4）代入方程（）代入方程（1 1），则有），则有四四.玻恩近似玻恩近似 (续续28)28)第67页/共74页68其中其中（5）当当 时，方程（时，方程（1 1）的渐近形式）的渐近形式 令令此方程有平面波解此方程有平面波解当 时，超于常数（6）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续29)29)第68页/共74页69将（将（8 8）写成）写成（7）利用这些关系式，方程（利用这些关系式，方程（5 5）可写成）可写成（8）其中其中（9）再令再令四四.玻恩近似玻恩近似

39、 (续续30)30)第69页/共74页70显然显然于是，方程（于是，方程（9 9）变为）变为（1010）方程（方程（1010）为超几何方程，其满足）为超几何方程，其满足 （即（即 ），），有限的解为有限的解为（1111）四四.玻恩近似玻恩近似 (续续31)31)第70页/共74页71满足满足 即即 ，有限的解为有限的解为（1212）当当 ，即，即 时时 四四.玻恩近似玻恩近似 (续续32)32)第71页/共74页72反射系数：反射系数：（1313）利用利用四四.玻恩近似玻恩近似 (续续33)33)第72页/共74页73可得：可得：四四.玻恩近似玻恩近似 (续续34)34)第73页/共74页74Thanks！第74页/共74页