河海大学弹性力学徐芝纶.pptx
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1、第三章 平面问题的直角坐标解答31 1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解法多项式解法1.1.当体力为常量，按应力函数当体力为常量，按应力函数 求解平面求解平面应力问题时，应力问题时，应满足应满足 按 求解 多连体中的位移单值条件。(c)S=上应力边界条件,A内相容方程第1页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d)第2页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答2.逆解法逆解法(Inverse method)先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(
2、b)反推出 各边界上的面力，代入(d),求出第3页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第4页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答例1逆解法 设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？yxol h/2 h/2(l h)第5页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。1.将 代入相容方程，可见 是满足的。有可能成为该问题的解。2.由 求出应力分量第6页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即 3.由边
3、界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，xy h/2 h/2l第7页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答在x=0，l的次要边界（小边界）上，xy h/2 h/2l第8页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 在x=0,l 小边界上的面力 如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。(a)(b)FFM=Fl第9页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力F作用的问题。F第10页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答例3 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。例2 一次式 对应于无
4、体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第11页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答对于图示对于图示1/41/4圆薄板，试考察应力函数圆薄板，试考察应力函数 能满能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）作作 业业 第12页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 代入 ，解出 ；3.半逆解法半逆解法(Semi-inverse method)步骤：半逆解法 由应力(d)式，推测 的
5、函数形式；假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；(d)第13页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第14页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第15页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答半逆解法解题的基本步骤半逆解法解题的基本步骤逆解法解题的基本步骤逆解法解题的基本步骤单连体单连体第16页/共112页第
6、三章 平面问题的直角坐标解答3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲(Pure bending)问题。问题提出 h/2 h/2lyx(l h)oMM第17页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界条件。第18页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是:边界条件 b.后校核次要边界后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界
7、条件代替。a.先校核主要边界先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第19页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。次要边界次要边界 x=0,l,(c)主要边界 h/2 h/2lyxoMM第20页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条件代替 主要边界 h/2 h/2lyxoMM 的边界条件无法精确满足。次要边界次要边界 x=0,l,第21页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得
8、出最终得应力解(e)第22页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第23页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提
9、出第24页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答1.由物理方程求形变求形变第25页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程求位移求位移第26页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 积分,对式(b)两边乘 积分,求位移第27页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c),并分开变量，上式对任意的 x,y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第28页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第29页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答由边界约束条件来确定
10、刚体位移分量 ，Simply supported beamCantilever beam？第30页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移步骤：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第31页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答2.铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。第32页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答思考题2.试证明刚体位移 实际上表
11、示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。提示：微分体的转动分量为1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？第33页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题yxoll h/2 h/2第34页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答现采用此假设。按半逆解法半逆解法求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设yxoll第35页/共112页第三章 平面问题的直角
12、坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第36页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第37页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第38页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数，为 x的奇函数，故 。由 求应力。半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。yxoll第39页/
13、共112页第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界主要边界yxoll第40页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，yxoll不满足第41页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答最后应力解答：应力第42页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答应力的量级应力的量级当 时,x l 同阶，y h 同阶.第一项 同阶,（与材料力学解同）;第二项 同阶,（弹性力学的修正项）应力的量级第43页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解
14、答应力的量级应力的量级当 时,x l 同阶，y h 同阶.同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第44页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答当 时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较应力与材料力学解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 ,在材料力学中没有。当 时,仅占主项 的1/15 (6%),应力比较中的弹性力学修正项：第45页/共112页第三章 平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所
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