线性系统根轨迹分析法资料.pptx

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1、回顾与展望线性系统分析的三种方法：线性系统分析的三种方法：1)时间域法时间域法 2)根轨迹法根轨迹法 3)频域法频域法时间域法：时间域法：特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负 实部）实部）劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特 征方程构造劳斯表征方程构造劳斯表第1页/共46页2、根根轨轨迹迹法法分分析析和和设设计计LTI系系统统的的图图解解方方法法，使使用用十十分分简简便便，特特别别在在进进行行

2、多多回回路路系系统统分分析析时时，应应用用根根轨轨迹迹法法比比用用其其它它方方法法更更为为方方便便，因因此此在在工工程程实实践中获得了广泛践中获得了广泛 应用。应用。回顾与展望第2页/共46页学习目的及要求：学习目的及要求：掌握根轨迹的基本概念掌握控制系统根轨迹的绘制方法能够运用根轨迹法对控制系统进行分析明确等效开环传递函数的概念，能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 第3页/共46页重点难点重点难点重 点：根轨迹的绘制 利用根轨迹分析控制系统关键点：特征方程 幅值条件，相角条件第4页/共46页学习方法学习方法 通过具体习题练习 掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型

3、极、零点分布对根轨迹的大致图形。用用 学学 习习第5页/共46页一、一、根轨迹的概念根轨迹的概念根轨迹：根轨迹：开环系统开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（统特征方程式的根（闭环系统的极点闭环系统的极点）在）在S S平面上变化平面上变化的轨迹。的轨迹。441 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念1)1)如图所示，一般闭环系统的闭环传递函如图所示，一般闭环系统的闭环传递函数为数为:R(s)G(S)H(S)C(s)2)2)闭环系统特征方程式：闭环系统特征方程式：第6页/共46页一、一、根轨迹的概念根轨迹的概念根轨迹：根轨迹：开环系统开环系统某一

4、参数从零变到无穷时，闭环系某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（统特征方程式的根（闭环系统的极点闭环系统的极点）在）在S S平面上变化平面上变化的轨迹。的轨迹。3)3)试分析右图所示系统的闭环特试分析右图所示系统的闭环特征方程式的根随系统开环增益征方程式的根随系统开环增益K K的的变化在变化在S S平面的分布情况。平面的分布情况。441 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念R(s)C(s)ks(0.5s+1)第7页/共46页二阶系统的闭环传递函数：二阶系统的闭环传递函数：开环增益开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。点

5、的全部数值。ks(0.5s+1)R(s)C(s)第8页/共46页Ks1s200-20.25-0.3-1.70.5-1-11-1+j-1-j2.5-1+j2-1-j2-1+j-1-j第9页/共46页 根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计。第10页/共46页442 2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本法则主要有8 8条：1.1.根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数、对成性和连续性；3.3.实

6、轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点;8.8.根之和。第11页/共46页法则一法则一 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点结结论论：根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点 ，终终止止于于开开环环零零点点（)；如如果果开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m，则则有m m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)，有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处(无无限限零零点点)；如如果果开开环环零零点点数数m m大大于于开开环环极极点点数数n n，则则有

7、有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处(无限极点无限极点)。第12页/共46页法则二法则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根根轨轨迹迹的的分分支支数数即即根根轨轨迹迹的的条条数数。既既然然根根轨轨迹迹是是描描述述闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的根根（即即闭闭环环极极点点）在在S S平平面面上上的的分分布布，那那么么，根根轨轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。结论结论：根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数：根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数n n，或者说等于，或者说等于系统的闭环

8、极点数系统的闭环极点数n n。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。第13页/共46页法则三法则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 若实轴上某线段若实轴上某线段右侧右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。则该线段是实轴上的根轨迹。第14页/共46页法则四法则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止条根轨迹终止于于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹条根轨迹变化趋向的直

9、线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有的渐近线，因此，浙近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别分别为为第15页/共46页 设开环传递函数为 开环极点数n=2,n=2,开环零点数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为 第16页/共46页例 已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。解 对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角

10、分别是 s sw wj-4-4-3-3-2-2-1-10 0B BC CA Aas s60o60o300oas s180o第17页/共46页法则五法则五 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在S S平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。的点，称为根轨迹的分离点。若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限极极点点），则则在在这这两两个个极极点点之之间间至至少少存存在在一一个个分分离离点点；若若根根轨轨迹迹位位于于实实

11、轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无限零点），则在这两个零点之无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图4-54-5上的分离点d d1 1和 d d2 2。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-64-6中的分离点A A和B B。显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。d d1 1d d2 2图4-5 4-5 实轴上根轨迹的分离点 图4-6 4-6 复平面上的分离点 A AB B第18页/共46页 根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等

12、实根（实轴上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）分离点方程的另一种形式当开环系统无有限零点时，则上式应写为：分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与分离点的切线方向之间的夹角。第19页/共46页例如：当系统开环传递函数为时，系统根轨迹分离点方程为：时，系统根轨迹分离点方程为：解方程得：解方程得：d1，由于实轴上的根轨，由于实轴上的根轨迹为（迹为（2，0）段，由此可见）段，由此可见d=1位位于根轨迹上，故，根轨迹分离点为：于根轨迹上，故，根轨迹分离点为：d1第20页/共46页例4 41 1 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制其概略根轨迹。解：

13、解：1）由规则）由规则1)、2)可知：可知：共有共有3条根轨迹，分别始于条根轨迹，分别始于S=0、S2、S3其中一条止于其中一条止于S1处，两条趋于无处，两条趋于无穷远处。穷远处。2 2）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：(-1,0)(-1,0)、（、（3 3，2 2）。）。3 3）渐近线：）渐近线：4 4）分离点：）分离点：s sw wj0 0-3-3-2-2-1-1第21页/共46页例 已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。解 本系统无有限开环零点，其根轨迹分离点坐标满足：解方程得：由规则五知，实轴上的根轨迹为-1-1到-2-2线段和-3-3到-线段。不在上述两线段上，应舍

14、去。是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-74-7所示的根轨迹图。第22页/共46页法则六法则六 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题,先给出定义如下：起始角起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。终止角终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。第23页/共4

15、6页第24页/共46页法则七法则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯纯虚虚根根（实实部部为为零零）。这时，用。这时，用 s=js=j 代入特征方程可得代入特征方程可得:由此可得虚部方程和实部方程：由此可得虚部方程和实部方程：解解虚虚部部方方程程可可得得角角频频率率 c c ，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；用用 c c 代代入入实实部部方方程程，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 K Kc c 。K Kc c 的的物物理理含含义义是是使使系系统统由由稳稳

16、定定（或或不不稳稳定定）变变为为不不稳稳定定（或或稳稳定定）的的系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值。它它对对如如何何选选择择合合适适的的系系统统参参数数、使使系系统统处处于于稳稳定定的的工工作作状状态态有有重重要要意意义。义。第25页/共46页例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。1-1-1-20s sw wj-3解：解：1 1）确定实轴上的根轨迹：）确定实轴上的根轨迹：2 2）确定根轨迹的渐近线：）确定根轨迹的渐近线：3 3）确定根轨迹的分离点：）确定根轨迹的分离点：第26页/共46页1-1-1-20s sw

17、 wj-34 4）确定根轨迹的起始角：）确定根轨迹的起始角：量测各向量相角，得：量测各向量相角，得：5 5）确定根轨迹与虚轴的交点：）确定根轨迹与虚轴的交点：第27页/共46页 以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点（开环极点P Pi i)用符号“X X”标示；根轨迹的终点(开环零点 Z Zi i )用符号“o o”标示。根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 K K*值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。要标出一些特殊点的K K*值，如起点（K K*=0=0)，终点（K K*)；根轨迹在实轴上的分离点d d(K(K*=K K*

18、d d )；与虚轴的交点 c c（K K*=K Kc c）。还有一些要求标出的闭环极点S S1 1 及其对应的开环根轨迹增益 K K1 1 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。第28页/共46页第29页/共46页绘制根轨迹图示例绘制根轨迹图示例例 47 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。解 （1 1）该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s s平面上。由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 P P1 1=0=0 P P2 2=-1 P=-1 P3 3=-2 =-2 由于没有开环零点（m=

19、0m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。第30页/共46页 当k=0k=0时 当k=1k=1时 当k=2k=2时 由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。第31页/共46页 由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上P P1 1 到 P P2 2 的线段和由 P P3 3 至实轴上负无穷远线段。由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。第32页/共46页解虚部方程得其中 1 1=0=0是开环极点 P P1 1 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为

20、将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值K Krcrc=6=6 。绘制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示。由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 c c及对应的开环根轨迹增益的临界值K Krcrc 。用 s=js=j 代入特征方程得第33页/共46页s sw wj-1-1-2-20 0()01=rKP()03=rKP)(02=rKPr K 1d+60o-60o第34页/共46页解 (1)(1)是一个二阶系统，在S S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。(2)(2)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点z z1 1=-2 =-2 和一对开环共轭复数极点 P P1,21,2=-1

21、=-1jj,根轨迹的起点为P P1 1(K(Kr r=0)=0)和 P P2 2(K(Kr r=0)=0)，其终点为 Z Z1 1(K(Kr r)和无穷远点。(3)(3)由规则五知，实轴上由-2-2至-的线段为实轴上的根轨迹。(4)(4)由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。第35页/共46页 即 解方程可得 d d2 2=-0.586=-0.586 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 d d1 1 。由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。第36页/共46页 证明 已知系统的开环零点

22、和极点分别为 ，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s s、和 代入得 即应用三角公式（6 6）为准确地画出S S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S S平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点 （2 2，j0)j0)的圆弧。第37页/共46页 将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有 方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 （2 2，j0)j0)、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。第38页/共46页 由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于

23、两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。第39页/共46页 1.1.反馈控制系统的结构图所示，试画出闭环系统的根轨迹在反馈控制系统的结构图所示，试画出闭环系统的根轨迹在 和和 两种情况下的大致根轨迹，并分析系统的稳定性。两种情况下的大致根轨迹，并分析系统的稳定性。课堂练习课堂练习R(s)C(s)_第40页/共46页2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为要求要求

24、（1）绘制系统的根轨迹，并由根轨迹分析系统的）绘制系统的根轨迹，并由根轨迹分析系统的 性能；性能；（2）求出当）求出当 时系统的单位阶跃响应，并说明响应有无时系统的单位阶跃响应，并说明响应有无超调。超调。第41页/共46页1.解 系统的开环传递函数为 式中，当 时，闭环特征方程为 按 相角条件绘制根轨迹。根轨迹分布在实轴上，第42页/共46页第43页/共46页2.系统的根轨迹在复平面上的一部分是一个以有限零点-1为圆心，以 有 限 零 点 到 分 离 点 的 距 离 为 半 径 的 圆，分 离 点 的 坐 标 为 ，与它们对应的 值为 可由根轨迹分析系统的稳定性和振荡性。可由根轨迹分析系统的稳定性和振荡性。第44页/共46页 时系统的闭环传递函数为 对于单位阶跃函数，系统的输出响应为其拉氏反变换为系统的闭环极点为-2，-5。系统虽无振荡特性，但由于系统存在 的零点，所以响应有超调现象。当时间为0.4秒时，超调量为40%。可由 求得 的最大值和对应的时间。第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页