经济数学第九章微分方程.pptx

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1、9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程定义1第1页/共78页二、微分方程的阶微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶三、微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解定义2定义3第2页/共78页9.2 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程第3页/共78页第4页/共7

2、8页第5页/共78页第6页/共78页第7页/共78页第8页/共78页第9页/共78页第10页/共78页第11页/共78页二、齐次微分方程齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：第12页/共78页第13页/共78页第14页/共78页第15页/共78页第16页/共78页第17页/共78页第18页/共78页第19页/共78页第20页/共78页第21页/共78页第22页/共78页 一阶线性微分方程（Linear differential equation of first order)一线性方程(Linear differential equati

3、on)二伯努利方程(Bernoulli differential equation)三 小结 思考判断题第23页/共78页一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一 线性方程(Linear differential equation)例如线性的;非线性的.第24页/共78页齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第25页/共78页常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换2.线性非齐次方程第26页/共78页积分得第27页/共78页一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解第28页/共78页解例1第29

4、页/共78页例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .两边求导得解解此微分方程第30页/共78页所求曲线为第31页/共78页解方程改写为不是一阶线性方程把看作的函数，于是变为第32页/共78页第33页/共78页第34页/共78页第35页/共78页第36页/共78页第37页/共78页第38页/共78页9.3 高阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程第39页/共78页第40页/共78页第41页/共78页 二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第42页/共78页 有两个不相等的实根两个线性无关

5、的特解得齐次方程的通解为特征根为第43页/共78页有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第44页/共78页有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第45页/共78页第46页/共78页解特征方程为解得故所求通解为例1第47页/共78页解特征方程为解得故所求通解为例2第48页/共78页第49页/共78页二、二阶常系数非齐次线性微分方程第50页/共78页设对x求导为非齐次方程第51页/共78页令则有二阶导数第52页/共78页第53页/共78页第54页/共78页第55页/共78页第56页/共78页第57页/共78页第58页/共78页第59页/共78页第60页/共78页第61页/共78页第62页/共78页第63页/共78页第64页/共78页第65页/共78页第66页/共78页第67页/共78页第68页/共78页第69页/共78页第70页/共78页9.4 差分方程的基本概念一、差分的概念定义第71页/共78页二阶差分三阶差分第72页/共78页反之第73页/共78页由定义容易证明，差分具有以下性质：第74页/共78页第75页/共78页第76页/共78页第77页/共78页感谢您的观看！第78页/共78页