绘制根轨迹的基本法则.pptx

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1、1法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点 证明：根轨迹起点:根轨迹终点:因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有n个根所以，根轨迹起于开环极点？有几个根第1页/共85页2根轨迹方程又可以写为（K*0）所以根轨迹终于开环零点 第2页/共85页3一般情况下有n-m条根轨迹终于无穷远处 将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终止于开环零点 如果包括无穷零点，则有：开环零点数（有限零点无穷零点）开环极点数 第3页/共85页4法则3：根轨迹的渐近线 当 时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，且有 第4页/共85页5证明：角度的简单证明 无穷远处的一个闭环特征根与

2、有限零点和有限极点所成角度相同，都设为相角条件根轨迹对称于实轴，也可写为交角有n-m个，交点只有一个第5页/共85页6【例一个系统开环传递函数为 根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性 解：1)根轨迹起始于开环极点 2)根轨迹有4条，且对称于实轴 终于开环无穷远零点和有限零点第6页/共85页73)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为 与实轴交角为 第7页/共85页8例4.2.1的根轨迹u开环极点用表示u开环零点用表示有三条渐近线u一条根轨迹起于p1,终止于z1u其他三条终止于无穷远处第8页/共85页90法则4：实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数实轴上的某一区域，若

3、其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：根轨迹上的点必须满足相角条件 第9页/共85页10实轴上的根轨迹（p4,z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3个（p1,z1）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点第10页/共85页11法则5：根轨迹的分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的的点，称为根轨迹的分离点（会合点）分离点（会合点）u若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点u若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点若相邻两零点间有根

4、轨迹，则必有会合点u分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根第11页/共85页12分离点的坐标分离点的坐标d是可由如下方法确定：是可由如下方法确定：分离角为 为分离的根轨迹条数（一般情况下l=2）,k=0,1,，l-1(1)公式法（凑试法）第12页/共85页13闭环特征方程：即：(2)重根法(3)极值法分离点分离点第13页/共85页14-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1?4.2.2?Real AxisImaginary Axis?d=-2.47,K*=0.419【例绘制开环传递函数的根轨迹草图解:

5、(1)实轴上根轨迹u(z1,p1)之间有根轨迹，而且没有分离点，所以起于p1，终于z1u(p2,p3)之间有根轨迹，且有分离点(2)(p2,p3)之间的分离点分离角第14页/共85页15（3）n-m=2,有2条根轨迹趋于无穷 渐近线的参数为（4）分离点处的根轨迹增益K*-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1Real AxisImaginary Axis?d=-2.47,K*=0.419第15页/共85页16法则6：起始角与终止角 起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度 其中第16页/共85页17终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度 其中第

6、17页/共85页18证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起始角，则 正负一样其中第18页/共85页19整理即得终止角的证明类似第19页/共85页20-4-3-2-101-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5p1=-1+jp2=-1-jz1=-2Imaginary Axis【例绘制如下开环传递函数的根轨迹草图 解：（1）有根轨迹，且有会合点，分离角为Real Axisd=-3.414尝试其它方法第20页/共85页21（2）p1点的出射角为根轨迹的复平面部分是以零点到分离点距离为半径的圆周的一部分 第21页/共85页22法则7：根轨迹与虚轴的交点 即有纯虚根 ，

7、此时K*使系统处于临界稳定状态两种计算方法：u劳斯稳定判据计算临界增益u采用代入法计算 第22页/共85页23【例已知某单位负反馈系统的开环传递函数，试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K*解：闭环特征方程为Gk(s)第23页/共85页24计算劳斯表用s2行构造辅助方程 第24页/共85页25所以，与虚轴的交点为 ，临界增益为6或者将 直接代入特征方程，得第25页/共85页26法则8：闭环极点的和 当 时，开环极点之和等于闭环极点之和，即 由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面上左移时，另外某些极点必然右移第26页/共85页27证明：当 时，系统闭环特征方程第27页/共85页28根轨

8、迹绘制规则总结根轨迹绘制规则总结序序内容内容规规 则则 1分支数分支数对称性对称性等于开环传递函数的极点数（nm）对称于实轴2起点起点终点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）3实轴上实轴上分布分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数4渐近线渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：第28页/共85页29序序内容内容规规 则则 5分离（会分离（会合）点合）点实轴上的分离（会合）点6起始角起始角终止角终止角复极点处的出射角：复零点处的入射角：7虚轴交点虚轴交点（1）由劳斯阵列求得（2）闭环特征方程 8闭环极点闭环极点之和之

9、和当 时，闭环极点之和等于开环极点之和K*K*计算计算 模值条件：第29页/共85页30绘制根轨迹基本步骤计算开环极点、零点，并标注确定根轨迹分支数确定根轨迹起点和终点确定实轴上的根轨迹确定渐近线确定分离点或会合点确定初始角和终止角确定与虚轴的交点计算要求的参数第30页/共85页31【例单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根轨例单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹迹解：解：1）绘制零极点分布）绘制零极点分布-30第31页/共85页322）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹-30(-3,0)之间必有根轨迹之间必有根轨迹3）渐近线）渐近线条渐近线条渐近线-1.25第32页/共85页334）分

10、离点）分离点无有限零点，故无有限零点，故-30-1.25-2.3第33页/共85页345）起始角）起始角-1+j处的起始角处的起始角-30-1.25-2.3对称的对称的第34页/共85页356）与虚轴交点）与虚轴交点闭环特征方程为闭环特征方程为列劳斯表列劳斯表令令s1的行为零的行为零第35页/共85页36由由s2行构造行构造-30-1.25-2.3第36页/共85页37例已知控制系统开环传递函数试绘制根轨迹。解：（1 1）作出开环零、极点分布。（2 2）因为 ，因此有4 4条 根轨迹分支。其起点分别为4 4个开环极点。故有一条根轨迹终止于开环零点；故有三条根轨迹分支终止于无穷远处。（3）确定实

11、轴上的根轨迹第37页/共85页38（4 4）渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无穷远处，故有三条渐近线。（5 5）复数极点的出射角经计算得将以上求得的4 4个数据代入上式得利用根轨迹的对称性可知：第38页/共85页39（6）根轨迹与虚轴的交点：令代入系统闭环特征方程中，得分别令上式的实部与虚部等于零，得解上述方程组，并舍去无意义值，得；第39页/共85页40第40页/共85页41利用MATLAB绘制根轨迹命令1：零、极点模型zpk,传递函数tf例：命令2：绘制根轨迹rlocusrlocus(Gk)Gk=tf(1,4,1,0,2,2)Gk=tf(1,4,1,0,2,2)Gk=zpk(,0,0,-

12、2,1)Gk=zpk(,0,0,-2,1)Gk=zpk(-4,0,0,-2,1)Gk=zpk(-4,0,0,-2,1)第41页/共85页42它的开环传递函数为（1）有2个开环极点（起点），。自动控制系统的根轨迹二阶系统 二阶系统的结构图如图所示。第42页/共85页43由此得分离点（2）有二个开环无限零点（终点），故二条根轨迹都将延伸到无限远。（3）由上节法则4可知，在0和 间必有根轨迹。（4）按式根轨迹的分离点计算公式第43页/共85页44(5)根轨迹的渐近线倾角计算，得 渐近线交点计算 它和根轨迹的分离点重合。第44页/共85页45二阶系统增加一个零点时，系统结构图开环具有零点的二阶系统它的

13、开环传递函数为第45页/共85页46开环具有零点的二阶系统 的根轨迹如图第46页/共85页47二阶系统附加一个极点的系统的结构图三阶系统它的开环传递函数为第47页/共85页48三阶系统的如图根轨迹第48页/共85页49二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为开环具有零点的三阶系统第49页/共85页50开环具有零点的三阶系统的根轨迹如图第50页/共85页51开环传递函数为具有复数极点的四阶系统第51页/共85页52具有复数极点的四阶系统的根轨迹如图第52页/共85页53课程回顾课程回顾（1 1）根轨迹：根轨迹：系统某一参数由系统某一参数由 0 0 变化时，系统闭

14、环极变化时，系统闭环极 点在点在s s 平面相应变化所描绘出来的轨迹平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K*K*均有关均有关相角条件：相角条件：模值条件：模值条件：根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹增益根轨迹增益 闭环零点闭环零点 =前向通道零点前向通道零点 +反馈通道极点反馈通道极点第53页/共85页54课程回顾课程回顾（2 2）法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有少于开环极点个数，则有 n-

15、m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数根轨迹的分支数 =开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。法则法则3 3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。定理定理:若系统有若系统有2 2个开环极点，个开环极点，1 1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复

16、平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。第54页/共85页554.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（6 6）法则法则4 4 根之和：根之和：证明：证明：n-m 2时，闭环根之和保持一个常值。时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：由代数定理：n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。第55页/共85页564.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（7 7）法则法则5 5 渐近线：渐近线：n m时，时，n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。条根轨迹

17、分支趋于无穷远处的规律。例例1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹。解解.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2-2，00 渐近线：渐近线：第56页/共85页574.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（8 8）例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2,-1,0-4,-2,-1,0（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）当）当Rel l1 1 =-1 时，时，l l3 3=?=?用根之和法则分析绘制根轨迹：用根之和法则分析绘制根轨迹：(2)第57

18、页/共85页584.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（9 9）法则法则6 6 分离点分离点 d d：说明：说明：（无零点时右端为（无零点时右端为0）（对应重根）（对应重根）试根试根:第58页/共85页594.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1010）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2,-1,0-,-2,-1,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：与虚轴交点：与虚轴交点：?第59页/共85页604.2 4.2 绘制根轨迹的基本法

19、则绘制根轨迹的基本法则（1111）法则法则7 7 与虚轴交点：与虚轴交点：解法解法I：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s=jw w 是根的点是根的点接例接例3 Routh：解法解法II：稳定范围稳定范围：0K3第60页/共85页614.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1212）法则法则8 8 出射角出射角/入射角入射角 （起始角（起始角/终止角）终止角）例例4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。第61页/共85页624.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1313）例例5 已知系统结构图，绘

20、制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,0 与虚轴交点：与虚轴交点：出射角：出射角：第62页/共85页634.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1414）例例6 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：试根得试根得：虚轴交点：虚轴交点：出射角：出射角：第63页/共85页644.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1515）例例6 渐近线渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹

21、：-20,0 分离点分离点：虚轴交点虚轴交点：出射角出射角：稳定的开环增益范围稳定的开环增益范围：0 K 3.4725基于根轨迹的系统设计工具基于根轨迹的系统设计工具RLTool第64页/共85页654.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1616）解解.渐近线渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：(-,-1,0,1例例6 已知已知，绘根轨迹，绘根轨迹;求稳定的求稳定的K范围。范围。分离点分离点：出射角出射角：第65页/共85页664.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1717）例例6零点靠近极点时的情况零点靠近极点时的情况(例例3)3)虚轴交点虚轴交点：

22、稳定的稳定的 范围范围：稳定的稳定的 范围范围：第66页/共85页67绘制根轨迹法则小结绘制根轨迹法则小结法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角第67页/共85页684.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1818）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解.(1

23、)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-0.5,1.75（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。出射角：出射角：与虚轴交点：与虚轴交点：第68页/共85页694.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1919）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解.(2)分析：分析：（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。开环稳定开环稳定 闭环稳定闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能负反馈未必一

24、定能改善系统性能第69页/共85页704.4 4.4 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（2020）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上：实轴上：-,-2,-1,0，选定，选定K*值，绘制值，绘制 分离点：分离点：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：当当T变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。第70页/共85页714.4 4.4 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（2121）虚轴交点：虚轴交点：第71页/共85页72自动控制原理自动控制原理（第 16 讲）4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的基

25、本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法第72页/共85页73自动控制原理自动控制原理（第（第 16 讲）讲）4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 第73页/共85页744.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹例例2 系统开环传递函数系统开环传递函数解解.(1)渐近线：渐近线：实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,0-,0，a=0 变化，绘制根轨迹；变化，绘制根轨迹；x=1x=1时，时，F(F(s)=?)=?分离点：分离点：整理得：整理得：与虚轴交点：与虚轴交点：参数根轨迹参数根轨迹 除除 K*之外

26、之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹构造构造“等效开环传递函数等效开环传递函数”第74页/共85页75参数根轨迹参数根轨迹（1 1）解解.(2)x=1 x=1 时，对应于分离点时，对应于分离点 d ，ad=2/27第75页/共85页76参数根轨迹参数根轨迹（2 2）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解 I.出射角：出射角：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-587.7,-27.7,0 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：第76页/共85页77参数根轨迹参数根轨迹（3 3）例例3

27、单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解II.入射角：入射角：实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,-587.7,-27.7,0 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：虚轴交点：虚轴交点：第77页/共85页784.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 模值条件模值条件 相角条件相角条件零度根轨迹零度根轨迹 系统实质上处于正反馈时的根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹第78页/共85页79绘制绘制零度零度根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分

28、支数，对称性和连续性 法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角第79页/共85页80零度根轨迹零度根轨迹（1 1）例例4 系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，K*=0,变化变化,试分别绘制试分别绘制 0、180根轨迹。根轨迹。解解.实轴轨迹：实轴轨迹：-,-1 出射角：出射角：分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：(1)(1)180180 根轨迹根轨迹(2)(2)0 0 根轨迹根轨迹-1,第80页/共85页81零度根轨迹零度根轨迹（2

29、2）例例5 系统开环传递函数系统开环传递函数 ,分别绘制分别绘制 0 0、180180根轨迹根轨迹。解解.渐近线渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：-3,-1 出射角出射角：(1)绘制绘制 180 根轨迹根轨迹第81页/共85页82零度根轨迹零度根轨迹（3 3）解解.渐近线：渐近线：实轴轨迹：实轴轨迹：-,-3,-1,-出射角：出射角：(2)绘制绘制 0 0 根轨迹根轨迹 分离点：分离点：整理得：整理得：第82页/共85页83零度根轨迹零度根轨迹（4 4）0 0根轨迹根轨迹渐近线：渐近线：出射角：出射角：分离点：分离点：演示演示第83页/共85页84作业：4-6(1)4-8第84页/共85页85感谢您的观看。第85页/共85页