统计学典型相关分析.pptx

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1、两组变量的相关问题 我们知道如何衡量两个变量之间是否相关的问题；这是一个简单的公式就可以解决的问题(Pearson相关系数、Kendalls t t、Spearman 秩相关系数)。公式如果我们有两组变量，如何能够表明它们之间的关系呢？第1页/共30页例子（数据)业内人士和观众对于一些电视节目的观点有什么样的关系呢？该数据是不同的人群对30个电视节目所作的平均评分。观众评分来自低学历(led)、高学历(hed)和网络(net)调查三种,它们形成第一组变量；而业内人士分评分来自包括演员和导演在内的艺术家(arti)、发行(com)与业内各部门主管(man)三种，形成第二组变量。人们对这样两组变量

2、之间的关系感到兴趣。第2页/共30页第3页/共30页寻找代表 如直接对这六个变量的相关进行两两分析，很难得到关于这两组变量之间关系的一个清楚的印象。希望能够把多个变量与多个变量之间的相关化为两个变量之间的相关。现在的问题是为每一组变量选取一个综合变量作为代表；而一组变量最简单的综合形式就是该组变量的线性组合。第4页/共30页14.2 典型相关分析由于一组变量可以有无数种线性组合（线性组合由相应的系数确定），因此必须找到既有意义又可以确定的线性组合。典型相关分析(canonical correlation analysis)就是要找到这两组变量线性组合的系数使得这两个由线性组合生成的变量（和其他

3、线性组合相比）之间的相关系数最大。第5页/共30页典型变量假定两组变量为X1,X2,Xp和Y1,Y2,Yq，那么，问题就在于要寻找系数a1,a2,ap和b1,b2,bq，和使得新的综合变量（亦称为典型变量(canonical variable)）之间的相关关系最大。这种相关关系是用典型 相 关 系 数（canonical correlation coefficient）来衡量的。第6页/共30页典型相关系数 这里所涉及的主要的数学工具还是矩阵的特征值和特征向量问题。而所得的特征值与V和W的典型相关系数有直接联系。由于特征值问题的特点，实际上找到的是多组典型变量(V1,W1),(V2,W2),，

4、其中V1和W1最相关，而V2和W2次之等等，第7页/共30页典型相关系数 而且V1,V2,V3,之间及而且W1,W2,W3,之间互不相关。这样又出现了选择多少组典型变量(V,W)的问题了。实际上，只要选择特征值累积总贡献占主要部分的那些即可。软件还会输出一些检验结果；于是只要选择显著的那些(V,W)。对实际问题，还要看选取的(V,W)是否有意义，是否能够说明问题才行。至于得到(V,W)的计算，则很简单，下面就数据进行分析。数学原理？第8页/共30页计算结果 第一个表为判断这两组变量相关性的若干检验，包 括 Pillai迹 检 验，Hotelling-Lawley迹检验，Wilks l l检验和

5、Roy的最大根检验；它们都是有两个自由度的F检验。该表给出了每个检验的F值，两个自由度和p值（均为）。第9页/共30页计算结果 下面一个表给出了特征根(Eigenvalue)，特征根所占的百分比(Pct)和累积百分比(Cum.Pct)和典型相关系数(Canon Cor)及其平方(Sq.Cor)。看来，头两对典型变量(V,W)的累积特征根已经占了总量的99.427%。它们的典型相关系数也都在之上。第10页/共30页计算结果 对于众多的计算机输出挑出一些来介绍。下面表格给出的是第一组变量相应于上面三个特征根的三个典型变量V1、V2和V3的系数，即典型系数(canonical coefficient

6、)。注意，SPSS把 第 一 组 变 量 称 为 因 变 量(dependent variables)，而 把 第 二 组 称 为 协 变 量(covariates)；显然，这两组变量是完全对称的。这种命名仅仅是为了叙述方便。这些系数以两种方式给出；一种是没有标准化的原始变量的线性组合的典型系数(raw canonical coefficient)，一种是标准化之后的典型系数(standardized canonical coefficient)。标准化的典型系数直观上对典型变量的构成给人以更加清楚的印象。第11页/共30页可以看出，头一个典型变量V1相应于前面第一个（也是最重要的）特征值，主

7、要代表高学历变量hed；而相应于前面第二个（次要的）特征值的第二个典型变量V2主要代表低学历变量led和部分的网民变量net，但高学历变量在这里起负面作用。第12页/共30页计算结果 类 似 地，也 可 以 得 到 被 称 为 协 变 量(covariate)的标准化的第二组变量的相应于头三个特征值得三个典型变量W1、W2和W2的系数：。第13页/共30页第14页/共30页例子结论 从这两个表中可以看出，V1主要和变量hed相关，而V2主要和led及net相关；W1主要和变量arti及man相关，而W2主要和com相关；这和它们的典型系数是一致的。由于V1和W1最相关，这说明V1所代表的高学历

8、观众和W1所主要代表的艺术家(arti)及各部门经理(man)观点相关；而由于V2和W2也相关，这说明V2所代表的低学历(led)及以年轻人为主的网民(net)观众和W2所主要代表的看重经济效益的发行人(com)观点相关，但远远不如V1和W1的相关那么显著（根据特征值的贡献率）。第15页/共30页SPSS的的实现实现对例，首先打开例的SPSS数据，通过FileNewSyntax打开一个空白文件（默认文件名为），再在其中键入下面命令行：MANOVA led hed net WITH arti com man/DISCRIM ALL ALPHA(1)/PRINT=SIG(EIGEN DIM).再点

9、击一个向右的三角形图标(运行目前程序，Run current)，就可以得到所需结果了。还可以把另以其他名字（比如）存入一个文件夹。下次使用时就可以通过FileOpenSyntax来打开这个文件了。第16页/共30页SPSS的的实现实现注意1：典型相关分析是本书内容中唯一不能用SPSS的点击鼠标的“傻瓜”方式，而必须用写入程序行来运行的模型。读者不必要再去研究语法的细节，只要能够举一反三，套用这个例子的程序即可。当然，如果读者愿意学习SPSS的语法，则在处理数据时，肯定会更方便。第17页/共30页SPSS的的实现实现注意2：一些SPSS的输出很长，这时输出窗口截去了一些内容没有显示（这有些随意性

10、）。这时输出窗口(SPSS Viewer)中结果的左下角有一个红色的三角型。如果想要看全部内容，可以先点击鼠标左键，选中输出结果，然后从点右键得到的菜单中选择Export，就可以把全部结果（包括截去的部分）存入一个htm形式的文件了供研究和打印之用。第18页/共30页附录附录 第19页/共30页两个变量时两个变量时,用线性相关系数用线性相关系数研究两研究两个变量之间的线性相关性个变量之间的线性相关性:返回第20页/共30页典型相关分析典型相关分析目的目的:研究多个变量之间的相关性研究多个变量之间的相关性方法方法:利用主成分思想利用主成分思想,可以把多个可以把多个变量与多个变量之间的相关化为变量

11、与多个变量之间的相关化为两个变量之间的相关两个变量之间的相关.即找一组系即找一组系数数(向量向量)l和和m,使新变量使新变量U=lX(1)和和V=mX(2)有最大可能有最大可能的相关关系的相关关系.第21页/共30页数学数学:设两组随机变量设两组随机变量而而的协方差阵的协方差阵S S0,均值向量均值向量m m=0,S S的剖分为的剖分为:对于前面的新变量对于前面的新变量U=lX(1)和和V=mX(2)Var(U)=Var(lX(1)=lS S11lVar(V)=Var(mX(2)=mS S22mCov(U,V)=lS S12m,r rUV=lS S12m/(lS S11l)(mS S22m)我

12、们试图在约束条件我们试图在约束条件Var(U)=1,Var(V)=1下寻求下寻求l和和m使使r rUV=Cov(U,V)=lS S12m达到最大达到最大.第22页/共30页这是这是Lagrange乘数法求下面乘数法求下面f f的极大值的极大值经过求偏导数和解方程经过求偏导数和解方程,得到得到l=nl=n=lS S12m=Cov(U,V),及及因此因此l l2 2既是既是A又是又是B的特征值的特征值,而相应的特征而相应的特征向量为向量为l,m第23页/共30页可得到可得到p1对线性组合对线性组合Ui=l(i)X(1),Vi=m(i)X(2),称每一对变量为称每一对变量为典型变量典型变量.其极大值

13、其极大值称为称为第一典型相关系数第一典型相关系数.一般只取前几个影响一般只取前几个影响大的典型变量和典型相关系数来分析大的典型变量和典型相关系数来分析.A和和B的特征根有如下性质的特征根有如下性质:(1)A和和B有相同有相同的非零特征根的非零特征根,(2)其数目为其数目为p1.A和和B的特征的特征根非负根非负.(3)A和和B的特征根均在的特征根均在0和和1之间之间.我们表示这些称为我们表示这些称为典型相关系数典型相关系数的非零特的非零特征值和相应的特征向量为征值和相应的特征向量为第24页/共30页典型变量的性质典型变量的性质:(1)X(1)和和X(2)中的一切典型变量都不相关中的一切典型变量都

14、不相关.(2)X(1)和和X(2)的同一对典型变量的同一对典型变量Ui和和Vi之间的之间的相关系数为相关系数为l li,不同对的不同对的Ui和和Vj(ij)之间不之间不相关相关.样本情况样本情况,只要把只要把S S用样本协差阵或样本相关阵用样本协差阵或样本相关阵R代替代替.下面回到我们的例子。下面回到我们的例子。第25页/共30页典型相关系数的显著性检验典型相关系数的显著性检验:首先看首先看X(1)和和X(2)是否相关是否相关,如不相关如不相关,就不必讨论就不必讨论.如果如果这是为检验第这是为检验第1个典型相关系数的显著性个典型相关系数的显著性检验统计量为检验统计量为其中其中 为为 的特征根的

15、特征根.第26页/共30页如果如果H0为检验第为检验第r(rk)个典型相关系数的显著性个典型相关系数的显著性检验统计量为检验统计量为第27页/共30页当然在实际例子中一般并不知道S S。因此在只有样本数据的情况下,只要把S S用样本协差阵或样本相关阵代替就行了。但是这时的特征根可能不在0和1的范围，因此会出现软件输出中的特征根（比如大于1）不等于相关系数的平方的情况，这时，各种软件会给出调整后的相关系数。第28页/共30页典型相关和回归分析的关系典型相关和回归分析的关系把把X(1)和和X(2)换成回归中的换成回归中的X和和Y,这就是因变这就是因变量和自变量之间的相关问题量和自变量之间的相关问题.而而Y在在X上的上的投影投影,就是回归了就是回归了.第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页