群的定义学习.pptx

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1、6.2.1 半群定义6.2.1设G是一个非空集合，若为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（G，）为半群。第1页/共97页半群的例例.设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则（S），），（S），）都为半群例.设Z为整数集，+、-、是数的加法、减法和乘法，则（Z，+）、（Z，）都是半群；（Z，-）不是半群。第2页/共97页半群的例例.设A为正整数集，A上的运算“”如下：ab=a+b+ab，问：(A，）是否为半群？解:(1)为A上二元代数运算(2)任取A中a,b,c（ab）c=（a+b+ab）c=（a+b+ab）+c+（a+b+ab）c=a+b+c+ab+

2、bc+ac+abca（bc）=a（b+c+bc）=a+（b+c+bc）+a（b+c+bc）=a+b+c+ab+bc+ac+abc，（ab）c=a（bc）,因此，(A,)为半群第3页/共97页半群的例设S是一个非空集合，规定S上的运算如下：a b=b,其中a，b是S中任意元素。问:(S,)是否为半群?解:(1)为S上的二元代数运算。(2)对S中任意三个元素a，b，c，有：（a b）c=b c=c，a（b c）=a c=c，故，（a b）c=a（b c），满足结合律，因此，（S，）为半群。第4页/共97页6.2.2 群 定义定义6.2.26.2.2设（G,）为半群半群，如果满足下面条件：(1)有壹

3、（单位元）：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a1=a;(2)有逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足aa-1=a-1a=1，则称（G,）为群。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。第5页/共97页6.2.2 群 -群的例设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合,R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、是数的加法和乘法，则:(Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群吗？(Q,)、（R，）、（C，）都是群吗？(Q*,)、（R*，）、（C*，)都是群吗?第

4、6页/共97页6.2.2 群 -群的例设 Z为 整 数 集，+、是 数 的 加 法 和 乘 法，则(Z,+)、(Z,)是否是群？半 群（Z，+）是 群，称 为 整 数 加 法 群。存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a,满足a+（-a）=（-a）+a=0半群（Z，）不是群。有单位元素1，对于Z中任意元素a，都有1a=a1=a，但除了1和-1外,其它元素均无逆元素第7页/共97页6.2.2 群 -群的例设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则半群（S），）不是群，单位元S，除了S，其它元素都不存在逆元素

5、；半群（S），）也不是群，单位元，除了，其它元素都不存在逆元素第8页/共97页6.2.2 群 -群的例设A为正整数集，运算“”如下：ab=a+b+ab，已证(A，）为半群。但不是群。反证：若（A，）是群，则一定有单位元素，设为e，则对A中任意元素a，都应有ea=a，即e+a+ea=a，因此，e=0，但0 A。第9页/共97页6.2.2 群 -群的例例.设S=0，1，2，m-1，规定S上的运算如下：ab=其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则（S，）是群，称为模m的整数加法群。第10页/共97页6.2.2 群 -群的例例：S=0,1,2,3,4,运算是模5加运算，（S，）为模m的整数加

6、法群：则单位元:为00的逆元素是0；1的逆元素是4；2的逆元素是3；3的逆元素是2；4的逆元素是1。第11页/共97页6.2.2 群 -群的例设S=a,b，使用乘法表定义S上的运算如下：abaabbba问:（S,）是否为群。解：是第12页/共97页6.2.2 群 -群的例G=1,-1关于普通乘法运算是否构成一个群？G=1,-1,i,-i关于普通乘法运算是否构成一个群？其中i=(-1)1/2.解：是是第13页/共97页理解群的定义例：单位元是群中唯一的幂等元。证明：设(G,*)是群，其单位元是1，显然，1是幂等元。设x是G中的幂等元，即x*x=x，则：x=1*x=（x-1*x）*x=x-1*（x

7、*x）x-1*x=1（或由x*x=x，得x-1*x*x=x-1*x，即x=1）第14页/共97页理解群的定义例：群中消去律一定成立。证明：设(G,*)是群，其单位元是1，对于G中任意三个元素a，b，c，（1）若a*b=a*c，则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即1*b=1*c，故b=c。（2）同理可证：若b*a=c*a，则b=c第15页/共97页理解群的定义例：元数为1的群仅有1个元数为2的群仅有1个*eee*eaeeaaae第16页/共97页理解群的定义元数为3的群仅有1个*eabeeabaabebbea第17页/共97页6.2.3 群 的

8、 性 质-(1)定理6.2.1设(G,)是一个群，则G中恰有一个元素1适合1a=a1=a,而且对于任意a恰有一个元素a-1适合aa-1=a-1a=1。证明：若1和1都是单位元素，则 1=11=1，故1=1。若b和c都是a的逆元素,则 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c故b=c.群的单位元素是唯一的。任意元素的逆也是唯一的。第18页/共97页结论v（a-1）-1=a因为aa-1=a-1a=1v(ab)-1=b-1a-1因为abb-1a-1=1b-1a-1ab=1v1-1=1因为11=1问：第19页/共97页6.2.3 群 的 性 质-(2)定理6.2.2:群定义中的条件（1）和（2）可以

9、减弱如下：(1)G中有一个元素左壹适合1a=a;(2)对于任意a,有一个元素左逆a-1适合a-1a=1。证明：只需证明a1=a和aa-1=1。第20页/共97页证法一：先证aa-1=1。因为(a-1a)a-1=1a-1=a-1，故(a-1a)a-1=a-1。由(2)，a-1也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是：一方面 b(a-1a)a-1)=ba-1=1 另一方面：b(a-1a)a-1)=(ba-1)(aa-1)=1(aa-1)=aa-1因此，aa-1=1。第21页/共97页再证a1=a。a1=a(a-1a)=(aa-1)a=1a=a证毕。注：把（1 1），（2 2）中对于左边的要求一律改成

10、对于右边的要求也是一样。但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。例：第22页/共97页证法二往证a1=a.由（1）知有11=1，由（2）知a-1a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1a）1=a-1a，由（2）知a-1有左逆,令其为b，并用b左乘上式两端得到b（a-1a）1=b(a-1a),即（ba-1）（a1）=（ba-1）a，亦即1（a1）=1a由（1）a1=a。往证aa-1=1.同证法一。第23页/共97页证法三往证a1=a.同证法二。往证aa-1=1.由（2）知a-1有左逆，令其为b，于是ba-1=1，用a右乘等式两端得到(ba-1）a=1a，即b（a-1a）=1

11、a，亦即b=a，故aa-1=1。证毕第24页/共97页习题6.2-3举例说明定理6.2.2中的(1)和(2)分别改成：G中有一个元素1适合1a=a；对于任意a有一个a-1适合aa-1=1，则G不见得是一个群。解：G=有左壹：有右逆：但G不是群。第25页/共97页习题6.2-3因为当b 0时因此，G中无单位元。第26页/共97页6.2.3 群 的 性 质-(3)定理6.2.3群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件：对于任意a，b，有x使xa=b，又有y使ay=b。第27页/共97页定理定理6.2.3证明：首先证明在任一群中可除条件成立。取x=ba-1，y=a-1b，即得x a=b，ay=b

12、，故由(1)和(2)可以推出可除条件成立。再证明由可除条件也可以推出(1)、(2)，因而可以推出(1),(2)。任取c G，令1为适合x c=c的x，则1c=c。对于任意a G，有y使cy=a，故1a=1(cy)=(1c)y=cy=a，即(1)成立。关于(2),令a-1为适合x a=1的x,则a-1a=1.即(2)成立。第28页/共97页例例:根据可除条件判断以下乘法表是否为群根据可除条件判断以下乘法表是否为群？*abcabbbca第29页/共97页习题6.2-22、举例说明不要求可除条件而要求消去条件，即要求由ax=ay可推出x=y，由xa=ya可推出x=y，则G不见得是一个群，若G有限怎么

13、样？解:(1)例如，全体正整数在普通乘法下，适合消去律，但不是群。第30页/共97页第31页/共97页(2)往证有限半群，满足消去条件，一定是往证有限半群，满足消去条件，一定是群群解：解：若若G=a1，a2，an，任取，任取G中元素中元素a，用，用a右乘右乘G中各元素得中各元素得a1a，a2a，ana，先证这，先证这n个元素必不相同。反证法，个元素必不相同。反证法，若若aia=aja(i j)，由消去条件有，由消去条件有ai=aj，矛盾。矛盾。设设G1=a1a，a2a，ana,因任意因任意aia G.而而aia aja(i j)，故，故G=G1.则则对任意对任意b G，必有，必有ai，使，使a

14、ia=b，因之方，因之方程程xa=b有解。同理可知有解。同理可知ay=b有解。故有解。故G是是群。群。第32页/共97页6.2.3 群 的 性 质-(4)定理6.2.4设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。证明：只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积(a1a2)a3)an-1)an（1）对n用归纳法,(1)式对于n=1，2，3显然成立。假定对少于n个因子的乘积（1）式成立.试证对n个因子的乘积（1）式也成立。第33页/共97页定理6.2.4设a1an任意加括号而得到的乘积A，求证A等于(1)式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘：A=（B）（C）

15、今C的因子个数小于n，故由归纳假设,C等于按次序自左而右加括号所得的乘积（D）an。由结合律，A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。第34页/共97页定理6.2.4但（B）（D）的因子个数小于n，故由归纳假设，（B）（D）等于按次序由左而右加括号所得的乘积(B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1因而A=(B)(D)an=(a1a2)a3)an-2)an-1）an即A等于（1）式。注：本定理对有结合律的一切代数系统成立。第35页/共97页6.2.3 群 的 性 质-(5)n个a连乘积为a的n次方，记为an。我们规定a0=1，a-n=(an)-1=(a-1)n对于任意整

16、数m、n，第一指数律 aman=am+n第二指数律(am)n=amn。但一般群中第三指数定律(ab)n=an bn不成立第36页/共97页天才的挪威数学家Abel（1802-1829）第37页/共97页研究了二项级数的性质、阿贝尔积分和阿贝尔函数。在与雅可比的竞赛中共同完成了椭圆函数论的基础工作。柏林大学聘任其为教授的通知到时，他已病逝死后才被认为现代数学之先驱。法国数学家Hermit:“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌500年。第38页/共97页Abel群定义若群(G,)的运算适合交换律，则称(G,)为Abel群或交换群。例.(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是无限

17、Abel群例.(Q*,),(R*，),(C*，)都是无限Abel群 例.实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合在矩阵的乘法下不是Abel群。例.元数为1、元数为2的群都是有限Abel群第39页/共97页Abel群例判断判断G=1，3，4，5，9在模在模11的乘法下是否群的乘法下是否群?是否是否为为Abel群？群？第40页/共97页Abel群例例.设设(G,)是一个群，则是一个群，则(G,)是是Abel群的群的充要充要条件是对条件是对 a,b G,有有(ab)2=a2b2证明证明：必要性。：必要性。若若(G，)是是Abel群，即对群，即对 a，b G，ab=ba。故，。故，(ab)2=(ab)(ab)

18、=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充充分分性性。对对 a,b G,由由(ab)2=a2b2，得，得a-1(ab)(ab)b-1=a-1(aa)(bb)b-1故，故，ba=ab，因此，因此，(G，)是是Abel群。群。第41页/共97页定理6.2.5 在一个Abel群(G，)中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。证明：考虑一个乘积a1an。设是1，n上的一个一对一变换，欲证a(1)a(n)=a1an对n用归纳法，n=1时只有一个a1,显然成立，n=2时a1a2=a2a1定理显然成立，假定n-1时定理成立，试证n时定理亦成立。6.2.3 群的性质6-Abel群性质第42

19、页/共97页定理6.2.5设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式P=a(1)a(n)因子an必在P中某处出现，因而P可以写成P=（P）an（P）P或P中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由结合律、交换律，P=P(anP)=P(Pan)=(PP)an，第43页/共97页证明：证明：现在现在PP中只有中只有n-1个元素个元素a1,an-1,只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，PP=a1an-1。因此因此,P=（PP）an=a1an-1an，从而归纳法完成，定理得证。从而归纳法完成，定理得证。定理6.2.5第44页/共97页6.2.3 群的性质6-Abel群性质在

20、Abel群中，有第三指数律：(ab)m=ambm，m为任意整数。第45页/共97页6.2.3 群的性质6-Abel群性质加法群:(G,+)永远假定加法群是一个Abel群乘法群乘法群加法群 1 0：a+0=aa-1-a:a+(-a)=0an naa0=10a=0a-n=(an)-1(-n)a=-(na)第46页/共97页6.2.3 群的性质6-Abel群性质加法群中三个指数定律：加法群中三个指数定律：(m+n)a=ma+na,m(na)=(mn)a,m(a+b)=ma+mb思考：乘法群中思考：乘法群中ab-1在在Abel群中写作？群中写作？第47页/共97页群的其它结论：消去律成立消去律成立其运

21、算表中每一行或每一列中元素互不相同。其运算表中每一行或每一列中元素互不相同。存在唯一的幂等元存在唯一的幂等元1（单位元）。（单位元）。一元群、二元群、三元群是唯一的，且都是一元群、二元群、三元群是唯一的，且都是 交换群交换群有限半群中必存在幂等元有限半群中必存在幂等元。第48页/共97页习题1、给定正整数给定正整数m，令，令G=km|kZ，证明：，证明：(G,+)是一个群。是一个群。证明：(1)G非空，至少0G(2)对于任意x,yG,存在k,l，使得x=km,y=lm,由于k+lZ，因此，x+y=km+lm=(k+l)mG,封闭(3)由整数运算性质，+满足结合律。(4)有左壹：0=0mG,使得

22、对任意xG，有0+x=x(5)有左逆：对任意xG，存在kZ，使x=km，因-kZ,故-x=(-k)mG,且(-x)+x=0.因此，(G,+)为群。第49页/共97页2、设(G,.)是一个群，x,yG,k是一个正整数.证明:(x-1yx)k=x-1yx的充要条件是yk=y证明：(x-1yx)k=(x-1yx)(x-1yx)(x-1yx)=(x-1y)(xx-1)y(xx-1)(xx-1)yx=x-1ykx由上述等式，显然有(x-1yx)k=x-1yxiffx-1ykx=x-1yxiffyk=y第50页/共97页3、在整数Z上定义运算如下：对任意a，bZab=a+b-2。证明：(Z,)是一个群。证

23、明：(1)Z非空(2)任意a，bZ，ab=a+b-2Z，封闭(3)任取a,b,cZ,有(ab)c=a+b-2+c-2=a+b+c-4a(bc)=a+(bc)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4结合律(4)有左壹2Z：对任意aZ，有2a=2+a-2=a(5)有左逆4-aZ:对任意aZ，有(4-a)a=(4-a)+a-2=2因此，(Z,)是一个群第51页/共97页4.设设(S,*)是一个半群，且是一个半群，且S是有限集合。试证明是有限集合。试证明存在存在aS,使使a2=a。证明：证明：任取任取bS，则，则b2，b3皆属于皆属于S。而。而S有有限，必存在限，必存在ij,使使bi=bj。令令p

24、=i-j1,于是于是bi=bj*bp=bi*bp 从而，从而，qi时，恒有时，恒有bq=bq*bp因因p1，故存在正整数，故存在正整数k,使使kpi,于是于是 bkp=bkp*bp=(bkp*bp)*bp =bkp*b2p=(bkp*b2p)*bp=bkp*b3p=bkp*bkp取取a=bkp,则有则有a2=a。第52页/共97页5、设(G,)是一个群，若群G的每一个元素都满足方程x2=1（1为单位元），那么G是Abel群。证法一：对任意a，bG，ab=a1b=a(ab)2b=a(abab)b=a2(ba)b2=1(ba)1=ba即，ab=ba，所以G是Abel群。证法二：对任意的xG，由x2

25、=1可得x-1=x，因此，对任意的a，bG，有ab=(ab)-1=b-1a-1=ba第53页/共97页6.证明：在偶数元的有限群证明：在偶数元的有限群G中，方程中，方程x2=1（1为单位元），有偶数个解。证明：证明：由由x2=1可得x-1=x。因若x-1x，由群中任意元素的逆唯一，知x与x-1必在G中成对出现，其总的个数为偶数。即不满足满足x2=1的元素个数为偶数。而G又为偶数元群，因此G中满足方程方程x2=1的解有偶数个.第54页/共97页习题习题6.2-54.4.设集合G=a，b，c上的二元运算表如下：则（G，）是否为半群？是否为群？为什么？解：（G，）是半群，但（G，）不是群，因为元素c

26、没有逆元素。abcaabcbbaccccc第55页/共97页6.2.4 置 换 群第56页/共97页6.2.4 置换的定义置换的定义集合A到A上的映射称为变换。设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一变换称为一个置换。设M=a1，a2，an，则M的置换可以简记为 bi=(ai),i=1,2,n第57页/共97页6.2.4 置换的定义置换的定义结论：M的置换共有n！个。M上的置换称为n元置换。Sn:n！个置换作成的集合。若(ai)=ai,i=1,2,n,则为n元恒等置换第58页/共97页置换的例设M=1，2，3，写出M的所有置换第59页/共97页置换的乘法对M中任意元素a及M的任意两个置换、，(

27、a)=(a)。例6.3.2 设 ，求=？,=？第60页/共97页1.满足结合律:()=(),Sn。2.n元恒等置换是Sn中的单位元素，设为0，有：0=0，Sn。置换乘法性质3.每个n元置换在Sn 中都有逆元素。第61页/共97页例=求2，-1，-1。并解方程x=,y=.解：2=第62页/共97页例=求2，-1，-1。并解方程x=,y=.解：-1=-1=x=-1=y=-1=第63页/共97页注意！由于一般情况下置换相乘不满足交换律，当n3时，Sn不是交换群。定理6.2.6-n次对称群n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成一个群，称为n次对称群。（n次对称群的任一子群称为n次置换群）第64页

28、/共97页n次对称群n=1，M=a，S1=在置换的乘法下作成1次对称群，为Abel群n=2,M=a，b,S2=在置换的乘法下作成2次对称群，为Abel群。第65页/共97页n次对称群当n3时，Sn不是Abel群。第66页/共97页定义6.3.2设是M的置换，若可取到M的元素a1,ar使(a1)a2,(a2)=a3,(ar-1)=ar,(ar)=a1，而不变M的其余的元素，则称为一个轮换，记为（a1a2ar）6.2.5 置换的轮换表法例6.3.3 将轮换 写成轮换表示 第67页/共97页6.2.5 置换的轮换表法当然，也可以把a1,ar中的任意元素ai排在头一位而改写成（aiai+1ara1ai

29、-1）第68页/共97页结论：设（a1a2ar）是M的轮换，则（a1a2ar）-1=（ara2a1）证明：往证（ara2a1）（a1a2ar）=I命为M的任意元若a1,ar-1，设=ai，则(ara2a1)(a1 a2ar)(ai)=(ara2a1)(ai+1)=ai若=ar,则(ara2a1)(a1 a2ar)(ar)=(ara2a1)(a1)=ar第69页/共97页证明：a1,ar，则(ara2a1)(a1a2ar)(x)=x总之，(ara2a1)(a1a2ar)(x)=I(x)=x即，（ara2a1）（a1a2ar）=I同理，（a1a2ar）（ara2a1）=I第70页/共97页不相杂轮

30、换定义:M的两个轮换=(a1ar)和=(b1bs)说是不相杂或不相交，如果a1,ar和b1,bs都不相同。即a1,arb1,bs=)例.设M=1,2,3,4,5,6,7，（134）与（637）是相杂轮换，（134）（637）=（13764），（637）（134）=（17634）;（134）与（25）是不相杂轮换，（134）（25）=（25）（134）第71页/共97页例：令M=1,2,3，M上共有6个置换，分别是1=I，2=（23），3=（13），4=（12），5=（123），6=（132），则S3=1,2,3,4,5,6,S3在置换乘法下构成3次对称群，其运算表如下：123456112345

31、622156343361542445612355423616634215第72页/共97页不相杂轮换结论：若和是M的两个不相杂的轮换，则=.证明：设=(a1ar),=(b1bs)，和不相杂令x为M的任意元素，(1)若x在a1ar之内，不妨设x=ai,则(x)=(ai)=(ai)=ai+1,(x)=(ai)=(ai+1)=ai+1，若i=r，则ai+1应为a1，总之(x)=(x)。第73页/共97页不相杂轮换(2)同样可以说明，若x在b1bs之内，也有(x)=(x)。(3)设x不在a1ar，b1bs之内。于是,(x)=(x)=x，(x)=(x)=x。因此,在所有情况下，(x)=(x),故=。第7

32、4页/共97页定理6.2.7任意置换恰有一法写成不相杂轮换的乘积。即，任意置换可以写成不相杂轮换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺序，则写法是唯一的(唯一性)。例：=(1352)(4)(68)(7)=(3521)(7)(86)(4)置换的这种表法称为置换的轮换表法去掉单轮换的省略形式：(1352)(68)第75页/共97页例：将下列置换写成不相杂轮换的乘积(1)=(152)(364)(2)=(14)(265)(3)(3)=(13654)(2)第76页/共97页定理6.2.7任意置换恰有一法写成不相杂的轮换乘积。证明:先证可以写成不相杂的轮换的乘积(存在性)任取a1M。（1）若(a1)=a1,

33、则a1自己就作成一个轮换。（2）设(a1)=a2,(a2)=a3，这样下去，由于M有限，故到某一个元素ar,其(ar)必然不再是新元素即这(ar)必在a1,ar之内。由于是一对一的，我们已有(ai)=ai+1，i=1,2,r-1，所以(ar)只能是a1。于是我们得到一个轮换(a1ar)。第77页/共97页若M已经没有另外的元素，则就等于这个轮换，（3）否则设b1不在a1，ar之内，则同样作法又可得到一个轮换（b1bs）.因为a1，ar各自已有变到它的元素，所以b1，bs中不会有a1，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于

34、M有限，最后必得=(a1ar)(b1bs)(c1ct)(1)即表成了不相杂轮换的乘积。第78页/共97页证明：再证唯一性.设又可表为不相杂的轮换的乘积如下：=(a1ar)(b1bs)(c1ct)(2)考虑(1)式中任意轮换(a1ar)。不妨设a1a1ar，且a1a。于是，a2=（a1）=（a1）=a2，a3=（a2）=（a2）=a3，第79页/共97页证明：可见，（a1ar）必和（a1ar）完全相同。这就是说，（1）中的任意轮换必出现在（2）中，同样（2）中的任意轮换必出现在（1）中，因之，（1）和（2）一样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次序本来是可以任意颠倒的。

35、证毕。第80页/共97页例6.2.7设M的元数为4，于是M的24个置换可以写成下面的形式：I(12),(13),(14),(23),(24),(34)；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)，(12)(34),(13)(24),(14)(23)；(1234),(1243),(1324),(1432),(1342),(1423)。第81页/共97页对换定义：设（a1a2ar）为一轮换，我们称r为该轮换的长度-轮换的长度也就是其中所含的元素个数。对换：长度为的轮换称为对换。结论：任意轮换可以写成对换的乘积。例如：(a1a2ar)(a1ar)(

36、a1ar-)(a1a3)(a1a2)证明：对r进行归纳，当r=2时命题显然成立。假设r=t时结论为真，考虑=(a1a2atat+1)的情况。第82页/共97页往证(a1a2atat+1)=(a1at+1)(a1a2at)令1=(a1at+1)，2=(a1a2at)，下面证明=12。任取lM,若l a1,a2,at-1，不妨设l=am,则(l)=(am)=am+1，12(l)=1(am+1)=am+1；若l=at，则(l)=at+112(l)=12(at)=1(2(at)=1(a1)=at+1；第83页/共97页若l=at+1，则(l)=(at+1)=a112(l)=1(2(at+1)=1(at

37、+1)=a1；若l a1,a2,at+1，则(l)=l12(l)=1(2(l)=1(l)=l。因此，=12=(a1at+1)(a1a2at)。由归纳假设，(a1a2at)=(a1at)(a1at-1)(a1a2)，所以=(a1at+1)(a1at)(a1at-1)(a1a2)，归纳完成。注：还可以采用直接证明的方法进行证明。第84页/共97页推论对任意n元置换(n1)，有一法（但未必只有一法）可将其写成一些对换的乘积。这里，诸对换已非不相杂。而且，表法也不唯一(12)=(12)(13)(13)=(23)(13)(23)。第85页/共97页置换的奇偶性设表为k个不相杂的轮换的乘积(包括长度为1的

38、轮换在内)，长度分别为r1，r2，rk。若=n-k为奇数（偶数），则称为奇置换（偶置换）。第86页/共97页置换的奇偶性因每个长度为r的轮换可写成r-1个对换的乘积：(a1a2ar)(a1ar)(a1ar)(a1a3)(a1a2)于是可写成=n-k个对换的乘积结论：奇置换可表为奇数个对换之积，偶置换可表为偶数个对换之积。第87页/共97页置换的奇偶性每个置换都能分解为对换的乘积,但偶置换只能分解为偶数个对换的乘积,奇置换只能分解为奇数个对换的乘积。偶偶=偶奇奇=偶偶奇=奇奇偶=奇第88页/共97页结论：设M的元数为n,若n1，则奇置换的个数和偶置换的个数相等，因而都等于n!/2。例：写出S3中

39、所有的置换，并指出奇、偶置换写出S4中所有的置换，并指出奇、偶置换置换的奇偶性第89页/共97页写出S3中所有的置换，并指出奇、偶置换S3=I，(12),(13),(23),(123),(132)奇置换:(12),(13),(23)偶置换:I,(123),(132)第90页/共97页写出S4中所有的置换，并指出奇、偶置换S4=I,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)，(12)(34),(13)(24),(14)(23)；(1234),(1243),(1324),(1432),(

40、1342),(1423)奇置换:(12),(13),(14),(23),(24),(34),(1234),(1243),(1324),(1432),(1342),(1423)偶置换:I,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)，(12)(34),(13)(24),(14)(23)第91页/共97页作业P187页习题6.2-2，5,99.证明n个元素的所有偶置换作成群(n次交代群).写出4次交代群中的元素。n次交代群的元数为多少？第92页/共97页习题6.21.设（G,）是代数系统,则（GG,*）是代数系统，这里GG的运算“*”规定如下：（a

41、，b）*（c，d）=（ac，bd），其中:a,b,c,d为G中任意元素。证明：当（G,）是半群时,（GG,*）是半群；（G,）有单位元素时,（GG,*）有单位元素；（G,）是群时,（GG，*）是群；第93页/共97页证明：u设（G,）是半群,a,b,c,d,e,f为G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)属于GG，则有(a,b)*(c,d)*(e,f)=(a,b)*(ce,df)=(a(ce),b(df)=(ac)e,(bd)f)=(ac),(bd)*(e,f)=(a,b)*(c,d)*(e,f)这就证明了当（G,）是半群时,（GG,*）是半群.第94页/共97页设（G,）有单位元素1，(a,b)是（GG,*）中任意元素,则有(a,b)=(a1,b1)=(a,b)*(1,1)且(a,b)=(1a,1b)=(1,1)*(a,b),故(1,1)就是（GG，*）的单位元素。第95页/共97页设（G,）是群，往证（GG，*）是群。我们来证明（GG，*）中的任意元素(a，b)有逆元素。(1，1)=(aa，bb)=(a，b)*(a，b)，其中a和b分别是a和b在群（G，）中的逆元素。同样有(1，1)=(aa，bb)=(a，b)*(a，b)，这就证明了(a，b)是(a，b)的逆元素，从而说明（GG，*）是群。第96页/共97页感谢您的观看！第97页/共97页