时间序列ARMA模型的特性.pptx

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1、后移算子的性质:第1页/共36页二、线性差分方程差分方程的通解为：可写成这里这里，C(t)是齐次方程通解，I(t)是特解。第2页/共36页三、齐次方程解的计算假定G1，G2，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：其中Ai为常数（可由初始条件确定）。无重根考虑齐次差分方程第3页/共36页重根设有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，因此，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰减正弦项，以及这些函数的组合混合生成的。齐次方程解便是第4页/共36页请看例题第5页/共36页定义：设零均值平稳序列第二节 格林函数(Greens function)和平稳性(Stationarity)一、格林函数(Greensf

2、unction)能够表示为则称上式为平稳序列的传递形式，式中的加权系数称为格林（Green）函数，其中第6页/共36页格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦即系统对 的“记忆”。第7页/共36页二、AR（1）系统的格林函数由AR（1）模型即：则AR(1)模型的格林函数第8页/共36页例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对扰动的记忆情况。（演示试验）比较前后三个不同参数的图，可以看出：取正值时，响应

3、波动较平坦。取负值时，响应波动较大。越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。第9页/共36页三、格林函数与AR（n）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式，如果系统是平稳的，则预示随着j，扰动的权数对于AR(1)系统即这要求上述条件等价于AR(1)系统的特征方程的根在单位圆内(或方程的根在单位圆外).第10页/共36页AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）AR(1)的结论可以推广到AR

4、(n)第11页/共36页第12页/共36页图示如右图几个例题第13页/共36页ARMA模型格林函数的通用解法ARMA(n,m)模型且则令则化为第14页/共36页比较等式两边B的同次幂的系数，可得由上式，格林函数可从开始依次递推算出。例：求AR(2,1)系统的格林函数。第15页/共36页是零均值平稳序列，如果白噪声序列第三节 逆函数和可逆性（Invertibility）能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列式中的加权系数称为逆函数。可逆。第16页/共36页ARMA（n,m）模型逆函数通用解法对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。令二、ARMA模型的逆函数的逆转形

5、式则平稳序列可表示为由ARMA(n,m)模型可得第17页/共36页仍由先前定义的和，则上式可化为比较上式两边B的同次幂的系数，得到即可从由此开始推算出。第18页/共36页对于MA（m）模型的可逆性讨论与AR（n）模型平稳性的讨论是类似的，即：MA（m）模型的可逆性条件为其特征方程的特征根满足ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系在格林函数的表达式中，用代替，代替代替，即可得到相对应的逆函数。第19页/共36页理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数第四节 自相关函数与偏自相关函数自相关函数样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一

6、个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：一、自相关函数第20页/共36页则相应的自相关函数为在通常情况下，我们采用第一种算法。第21页/共36页 1 1、AR(n)AR(n)过程自相关函数过程自相关函数ACFACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+at的k阶滞后自协方差为：011)(gjjgajgkkttktkXXE=+=-=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数为=1,2,由AR(1)的稳定性知|1，因此，k k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinitememory）。注意，0时，

7、呈振荡衰减状。第22页/共36页Xt=1Xt-1+2Xt-2+at该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为阶自回归模型AR(2)222110asgjgjg+=类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：22112211)(-+=+=kktttktkrXXXEjgjajjg(K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数为：(K=2,3,)其中:1=1/(1-2),0=1如果如果AR(2)AR(2)平稳，则由平稳，则由 1 1+2 211知知|k k|衰减趋于零，呈拖尾状。衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性，特征根的实虚性，

8、若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。若为虚根，则呈正弦波型衰减。第23页/共36页一般地，n阶自回归模型AR(n)Xt=1Xt-1+2Xt-2+nXt-n+atk期滞后协方差为:nknkktntnttKtkXXXXE-+=+=gjgjgjajjjgLL22112211)(从而有自相关函数:可见，无论无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到n n阶滞后的自相关函数有关阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。如果如果AR(n)AR(n)是平稳的，则是平稳的，则|k k|递减且趋于零递减且趋于零。第24页/共36页其中

9、：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，|zi|1时，k k0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)MA(1)自相关函数是截尾自相关函数是截尾的。的。第26页/共36页其自协方差系数为一般地，m阶移动平均过程MA(m)相应的自相关函数为可见，当km时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当km时，k k=0是MA(m)的一个特征。于是：可可以以根根据据自自相相关关系系数数是是否否从从某某一一点点开开始始一一直直为为0 0来来判判断断MA(m)MA(m)模模型型的的阶。阶。第27页/共36页二、二、偏自相关函数偏自相关函数 自相关函数ACF(k)给出了X X

10、t t与X Xt-1t-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，X Xt t与X Xt-kt-k间的偏自相关函数偏自相关函数(partial autocorrelation(partial autocorrelation，简记为，简记为PACF)PACF)则是消除了中间变量X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1的条

11、件下，X Xt t与X Xt-kt-k间关系的度量。第28页/共36页 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为 在AR(1)中，0),(2*2=-ttXCorrar 同样地，在AR(n)过程中，对所有的kn，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(n)的一个主要特征是:kn时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即 k*在n以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在n n以以后后截截尾尾，即即kn时时，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关

12、函函数数 k是拖尾的，则此序列是自回归是拖尾的，则此序列是自回归AR(n)AR(n)序列。序列。第29页/共36页对于一个k阶AR模型，有：由此得到Yule-Walker方程，记为：已知时，由该方程组可以解出。遗憾的是，用该方程组求解时，需要知道自回归过程的阶数。因此，我们可以对连续的k值求解Yule-Walker方程。第30页/共36页对k=1，2，3，依次求解方程，得上述序列为AR模型的偏自相关函数。第31页/共36页偏自相关性是条件相关，是在给定 的条件下，和的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对和所解释的相关的度量。之间未被由最小二乘原理易得，是作为关于线性回归的回归系数。如果自回归过

13、程的阶数为n，则对于kn应该有kk=0。第32页/共36页 MA(1)过程可以等价地写成a at t关于无穷序列X Xt t，X Xt-t-1 1，的线性组合的形式：L+=-221ttttXXXqqa或ttttXXXaqq+-=-L221 这是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。注意:上式只有当|1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把|mkm）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移

14、动平均MA(m)MA(m)序列。序列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当km时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当km时，rk服从如下渐近正态分布:rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的如果计算的r rk k满足：满足：我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在m m之后截尾之后截尾。第34页/共36页ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。当n=0时，它具有截尾性质；当m=0时，它具有拖尾性质；当n、m都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：ARMA(n，m)过程的偏自相关函数（PACF）可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。ARMA(n,m)ARMA(n,m)过程过程 第35页/共36页谢谢您的观看！第36页/共36页