理学第二章行列式.pptx

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1、令则方程组(2.1)可表示为A为方程组(2.1)的系数矩阵。一、二阶行列式的引入第1页/共125页用消元法解二元线性方程组第2页/共125页方程组有惟一解，为由方程组的四个系数确定.第3页/共125页由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）得系数矩阵称列）得系数矩阵即即第4页/共125页主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第5页/共125页第6页/共125页则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式.第7页/共125页例例例例1 1 1 1解解第8页/共125页二、

2、三阶行列式记记记记称为矩阵称为矩阵A A 的的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.列标行标第9页/共125页对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式第10页/共125页(2)(2)沙路沙路(Sarrus)(Sarrus)法法 三阶行列式包括3!3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.第11页/共125页 如果三元线性方程组的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组第12页/共125页若记或第13页/共125

3、页记即第14页/共125页第15页/共125页得第16页/共125页得第17页/共125页则三元线性方程组的解为:第18页/共125页例例例例 解解解解按对角线法则，有第19页/共125页例例例例3 3 3 3解解解解方程左端第20页/共125页例例4 4 解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式第21页/共125页同理可得故方程组的解为:第22页/共125页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结第23页/共125页一、排列及其逆序数引例引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位3种放法十位12

4、31个位12 32种放法1种放法种放法.共有第二节 n n阶行列式的定义第24页/共125页问题定义定义1 由 个不同的正整数组成的一个有序数组，称为一个n元排列。个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.由引例同理第25页/共125页 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.定义定义2 我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准排列或自然排列.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如例如 排列32514 中，逆序数为3+1+0+1+0=53+1+0+1+0=5.第26页/共125页计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在 前面比它大的数

5、码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性第27页/共125页分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法2 2例例1 1 求排列32514的逆序数.解解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;第28页/共125页3 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数

6、,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;第29页/共125页定义定义3 3 将一个n n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。对换会改变排列的奇偶性？第30页/共125页定理1 1 一次对换改变排列的奇偶性。证明：（1）对换的两数相邻。设n元排列为其逆序数为 ，将相邻两数i，j对换，得到新排列其逆序数为 ，于是 当 ij 时，当 ij 时，所以，一次相邻对换改变排列的奇偶性。第31页/共125页（2）一般情况。设n元排列为将两数i，j对换，得到新排列（2）可看作是由（1）把i依次和 对换，即作了m

7、次相邻对换得到的排列后，再将（3）中的j依次和 作m1次对换而得。这样由（1）经2m1次相邻对换可得到排列（2），由前面证明可知，排列（2）和（1）奇偶性不同。证毕第32页/共125页2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为排列及其逆序数小结4 一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性第33页/共125页二、n n 阶行列式的定义三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积第34页/共125页（3）每项的正负号

8、都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列.)1(321321333231232221131211-=ppptaaaaaaaaaaaa第35页/共125页定义定义4).或det(ija简记作简记作nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnnLMMMLLL212222111211212.)1(21=-记作记作的代数和的代数和个元素的乘积个元素的乘积取自不同行不同列的取自不同行不同列的阶行列式等于所有阶行列式等于所有个数组成的个数组成的由由第36页/共125页()()nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa

9、DLLLLLLLLLLLLL212121212122221112111-=第37页/共125页说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是 项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为第38页/共125页例例2 2计算行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以 只能等于 ,同理可得解解第39页/共125页即行列式中不为零的项为例例3 3 计算上三角行列式第40页/共125页分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解解第41页/共125页

10、例例4第42页/共125页同理可得下三角行列式下三角行列式第43页/共125页例例5 5 证明对角行列式（主对角线以外全为对角行列式（主对角线以外全为0的行列式）的行列式）和次对角行列式和次对角行列式第44页/共125页证明证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕第45页/共125页定理2 n阶行列式 的一般项可以记为推论 n阶行列式也可以定义为证明略第46页/共125页1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结第47页/共

11、125页性质性质性质性质1 1 1 1定义：行列式 称为行列式 的转置行列式.设第三节 行列式的性质一、行列式的性质第48页/共125页证明证明性质性质性质性质1 1 1 1 第49页/共125页性质1 1说明：v行列式的行与列的地位是对称的，即凡对行成立的的性质对列也成立。v因此，我们下面着重以行来介绍行列式的性质。第50页/共125页性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行互换行列式的两行 ,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明 由行列式定义（列）第51页/共125页交换D的i,k行，得D1第52页/共125页根据定理一，对换一次改变行列式得奇偶性，即：即：D1D。任意互换行列式

12、的两行（列），行列式变号！证毕！第53页/共125页例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，证明证明互换相同的两行，有 则此行列式为零则此行列式为零.第54页/共125页性质性质性质性质3 3 3 3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面的外面，即：推论推论推论推论1 1用数用数k乘行列式乘行列式D等于等于D中某一行（列）中某一行（列）所有元同乘以数所有元同乘以数k。证明证明第55页/共125页例：第56页/共125页推论推论推论推论2 2 行列式中如果有两行（列）对应元素成比例行列式中如果有两行（列）

13、对应元素成比例,证明证明则此行列式为零则此行列式为零第57页/共125页性质性质性质性质4 4 4 4 若行列式的第若行列式的第i i行（列）的每一个元素都可以行（列）的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即：和，即：(1):(1):第58页/共125页(2):(2):(2):(2):第59页/共125页性质性质性质性质5 5 把行列式的第把行列式的第j行（列）元的行（列）元的k倍加到第倍加到第i行（列）行（列）的对应元上，行列式的值不变，即：的对应元上，行列式的值不变，即：第60页/共125页k+第61页/共125页

14、说明：使用行列式性质时，为了使过程清晰醒目，约定如下记号：第62页/共125页例例计算行列式的计算行列式的基本方法基本方法:二、行列式性质应用举例三角化三角化.计算行列式的计算行列式的主要手段主要手段:第63页/共125页解解例例第64页/共125页解解第65页/共125页第66页/共125页第67页/共125页第68页/共125页第69页/共125页第70页/共125页第71页/共125页第72页/共125页例例2 2 计算 阶行列式解解将第 列都加到第一列得第73页/共125页第74页/共125页例例3 3证明证明问题：是不是所有的行列式都可以化为三角行列式？第75页/共125页证明证明第

15、76页/共125页第77页/共125页例例4 4解:第78页/共125页注意注意:行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质利用性质.行列式的行列式的6个性质个性质3个推论个推论三、小结第79页/共125页性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为0。性质3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面。推论1 用数k乘以行列式D

16、等于D中某一行（列）所有元素同乘以数k。推论2 若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为0。性质4 若行列式的第i行（列）的每一个元都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。性质5 把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变。第80页/共125页例如第四节 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式第81页/共125页在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的元按原来的次序构成 阶行列式叫做元素 的余子式余子式，记作叫做元素 的代数余子式代数余子式例如定义5：第82页/共125页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式

17、，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如二、行列式按行(列)展开第83页/共125页证证当 位于第一行第一列时,即有又从而对于一般情形,第84页/共125页得对于一般情形,设第85页/共125页得得第86页/共125页第87页/共125页第88页/共125页第89页/共125页定理定理 n n阶行列式等于它的任一行阶行列式等于它的任一行(列列)的各元素的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证第90页/共125页第91页/共125页说明：计算行列

18、式时，直接利用定理3展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时，应先运用行列式性质，将某一行（列）尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开。第92页/共125页例例1第93页/共125页定理定理4 4 n n阶阶行列式任一行（列）的各元素与另一行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即零，即证证第94页/共125页按 j 行展开：另一条同理可证。证毕！第95页/共125页 关于代数余子式的重要性质:第96页/共125页 证证用数学归纳法例例2证明范德蒙德(Vandermonde

19、)行列式第97页/共125页=第98页/共125页=n-1阶范德蒙德行列式第99页/共125页 解解例例3计算对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得：第100页/共125页 解解例例3计算对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得：第101页/共125页 解解例例3计算对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得：第102页/共125页 解解例例3计算对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得：第103页/共125页 解解例例3计算对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得：第104页/共125页 解解对行列式按第一行展开，得：对行列式按第一行展开，得

20、：递推法第105页/共125页解解计算例例3 最后一行和最后列逐次向上和向左换行和换列最后一行和最后列逐次向上和向左换行和换列,得得第106页/共125页 行列式按行(列)展开是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结第107页/共125页本次课的教学要求1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。2、通过练习巩固行列式的性质和运算。第五节 克拉默法则第108页/共125页设线性方程组则称此方程组为 非齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念第109页/共125页如果线性方程组的系数行列式不等于零，即

21、一、定理5 5 克拉默(Cramer)(Cramer)法则第110页/共125页那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可以表示为其中：证明证明第111页/共125页证明证明在把 个方程依次相加，得第112页/共125页由上一节定理3和定理4可知,于是当 时,方程组 有唯一的一个解第113页/共125页也是方程组的 解.另外，可以证明第114页/共125页第115页/共125页例例1 用克拉默则解方程组解解第116页/共125页第117页/共125页例例2 已知多项式函数解解 将将 代入函数代入函数.由题由题设得到关于设得到关于 的线性方程组的线性方程组:第118页/共125页结论结论1 1

22、 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .结论结论2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.二、重要结论第119页/共125页齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理第120页/共125页必有非零解必有非零解.另外，以后将证明：若系数行列式另外，以后将证明：若系数行列式定理定理6 6 齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零是系数行列式等于零.第121页/共125页例例3 问 取何值时

23、，齐次方程组有非零解？解解因为D=0时，齐次方程组有非零解所以 或 时齐次方程组有非零解.第122页/共125页1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数（方形的）.(2)(2)系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.三、小结3.3.克拉默法则的不足或缺点克拉默法则的不足或缺点:一般来说,其计算量较大.第123页/共125页 第一章 行列式小结1.5 克莱默（克莱默（Cramer）法则）法则 1.1 二阶行列式、三阶行列式二阶行列式、三阶行列式1.2 n阶行列式阶行列式 1.3 行列式的性质行列式的性质1.4 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开返回返回第124页/共125页感谢您的观看！第125页/共125页