物理二阶电路.pptx

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1、本章内容概述含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线性、常系数二阶微分方程来描述,故称为二阶电路二阶电路。本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输入响应和在直流电源激励下的全响应。为了简单起见，本章只讨论RLC串联和并联电路的响应，响应是否出现振荡取决于特征根的值。本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程。学习重点为：电路微分方程的建立；特征根的意义，微分方程解答的物理含义等。第1页/共40页C+uC=U0i=0L7-1LC 电路的正弦振荡电路的正弦振荡 uL=uC=L didtu uCC(0)=(0)=U U0 0i iL L(0)=0(0)=0 uL=uC=U00

2、uC=U0iL=0didt0电流开始上升i,电容开始放电uC(1 1)初始时刻初始时刻C+uCiL+uL1.1.LC LC 电路的物理分析电路的物理分析 设电容的初始储能为：第2页/共40页电流最大i=Im(2)(2)当当u uCC=0 0，u uL L=0 0时，时，didt=0电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量,因为电感电流不能跃变。电感开始输出能量i，电容开始反向充电|uC|(3)(3)当当 i i=0 0 时时,u uC C=-U U0 0磁场能量全部转成电场能量因为uC不能跃变，电容放电|uC|，|i|duCdt0uC=0i=ImuL=0C+L+uC=-U0i=0uLC+

3、L+第3页/共40页(4)(4)当当u uC C=00时，时，i i=I I电场能量全部转成磁场能量|uC|，|i|(5)(5)当当u uC C=U U0 0 时时,i i=0 0磁场能量全部转为电场能量，电路回到初始时刻的状态。C+uC=0Li=-IuC=U0i=0C+L设L=1H，C=1FuC(0)=1ViL(0)=0初始状态列出描述电路的两个联立一阶微分方程。2.2.LCLC电路的数学分析电路的数学分析第4页/共40页设L=1H，C=1FuC(0)=1ViL(0)=0i=C =duCdtduCdtit0i=sint LC LC 电路的零输入响应是按正弦规电路的零输入响应是按正弦规律变化的

4、等幅振荡，称为自由振荡。律变化的等幅振荡，称为自由振荡。初始状态 列出描述电路的两个联立一阶微分方程：解微分方程，得i=sintuC=costuC=cost0tuCuC=L=dididtdtC+uCiL+uL2.2.LCLC电路的数学分析电路的数学分析第5页/共40页it0i=sintuC=cost0tuCC+uCiL+uLCiLR解微分方程，得i=sintuC=cost电容元件中的电场能量一电容元件中的电场能量一部分转化为磁场能量，存储在部分转化为磁场能量，存储在电感元件中；另一部分被电阻电感元件中；另一部分被电阻元件消耗掉。元件消耗掉。2.2.LCLC电路的数学分析电路的数学分析3.3.R

5、LCRLC电路的能量分析电路的能量分析第6页/共40页7-2RLC串联电路的零输入响串联电路的零输入响应应求零输入响应uS=0KVL：uL+uR+uC=uSdidtL +Ri+uC=uS uC(0)=?两个初始条件两个初始条件duCdtt=0=i(t)Ct=0=i(0)C=?LiR+uS-C+uC-1.1.列出列出RLCRLC电路的微分方程电路的微分方程i=CduCdtuL=LdidtVCR：有整理+RCRCd d2 2u uC Cd dt t 2 2 LCLCd du uCCd dt t+u uCC=u uS S+RCRCd d2 2u uC Cd dt t 2 2 LCLCd du uCC

6、d dt t+u uCC=0 0第7页/共40页R、L、C取值不同，根号里的值有四种不同情况。设解为uC(t)=Kest代入微分方程LCs2Kest+RCsKest+Kest=0(LCs2+RCs+1)Kest=0特征方程的根（固有频率）2 2L L R R=2 2L L R R()2 2LCLC11 s s1,21,2=RCRC (RCRC)2 2 4 4LCLC2 2LCLC+RCRCd d2 2u uC Cd dt t 2 2 LCLCd du uCCd dt t+u uCC=0 0特征方程LCsLCs2 2+RCsRCs+1+1=0 02.2.解解RLCRLC电路的二阶微分方程电路的二

7、阶微分方程LiR+uS-C+uC-第8页/共40页根号里数值的四种不同情况的比较过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼s1、s2 为两个为两个不相等的负实数不相等的负实数临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼s1、s2 为两个为两个相等的负实数相等的负实数欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼s1、s2 为为一对共轭复数一对共轭复数无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼R=0s1、s2 为为一对共轭虚数一对共轭虚数 称为阻尼电阻2LR()2LC1令=02 2L L R R=2 2L L R R()2 2LCLC11 s s1,21,2=RCRC (RCRC)2 2 4 4LCLC2 2LCLC 第9页/共40页3.3.RLCRLC串联电路零

8、输入响应分析串联电路零输入响应分析阻尼状况阻尼状况阻尼状况阻尼状况s s1 1、s s2 2通解的形式通解的形式通解的形式通解的形式过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼不相等的负实数不相等的负实数s1=1、s2=2临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼相等的负实数相等的负实数s1=s2=欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼一对共轭复数一对共轭复数无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼一对共轭虚数一对共轭虚数通解中的系数K1、K2，由电路的初始条件确定。第10页/共40页s1=2LR=1+2LR()2LC1s2=2LR=22LR()2LC1 1 1 2 2uC(t)=K1es1t+K2es2t=K1e-1t+K2e-2t通解的形式解出K1

9、、K2，得uC C(t)=K1 e 1 1t+K2 e 2 2ts1,s2为两个不相等的负实数(1)(1)过阻尼情况过阻尼情况 由初始条件uC(0)、iL(0)确定系数。=1K1e 1t2K2e 2tduCdt电路响应电路响应 u uC C(t t)为非振荡性的衰减。为非振荡性的衰减。3.RLC串联电路零输入响应分析第11页/共40页解：解：(1)(1)若以若以 u uC C(t t)为求解变量为求解变量例例1 1：已知图示电路中t 0时uS=0R=3L=12HC=14FuC(0)=2ViL(0)=1A求：uC(t)及iL(t)t0+RCd2uCdt 2LCduCdt+uC=0+d2uCdt2

10、duCdt+uC=01834+6d2uCdt 2duCdt+8uC=0s2+6s+8=0s1,2=-636-3222-62=s1=-2s2=-4过阻尼情况阻尼电阻Rd=2=2.828LCR RdLiR+uS-C+uC-第12页/共40页uC(t)=K1e-2t+K2e-4tuC(0)=K1+K2=2解得K1=6，K2=4uC(t)=6e-2t4e-4tVt0iL(t)=iC(t)=CduCdt=3e-2t+4e-4tt004t-31iLuC06t-42uC(0)=2V iL(0)=1AK1+K2=22K14K2=4联立duCdt|t=0=2K14K2=4CiL(0)s1=-2s2=-4第13页

11、/共40页s1,2=-2LR2LR()2LC1-=-39-8=-31s1=-2s2=-4uC(t)=K1e-2t+K2e-4t=6e-2t-4e-4tVt0iL(t)=CduCdt=-3e-2t+4e-4tAt0解解:（2 2）不列微分方程）不列微分方程 过阻尼情况阻尼电阻Rd2 =2.828LCR RdLiR+uS-C+uC-已知图示电路中t 0时uS=0R=3L=12HC=14FuC(0)=2ViL(0)=1A求:uC(t)及iL(t)t0例例1 1：K1=6，K2=4第14页/共40页+d2idt2didt+i=01834+6d2idt2didt+8i=0s2+6s+8=0s1=-2s2

12、=-4iL(t)=K1e-2t+K2e-4t(3)(3)若以若以i iL L(t t)为求解变量为求解变量 uR+uL+uC=0等式两边微分+RCd2idt2LCdidt+i=0已知图示电路中t 0时uS=0R=3L=12HC=14FuC(0)=2ViL(0)=1A求:uC(t)及iL(t)t0解：解：LiR+uS=0-C+uC-例例1 1：第15页/共40页iL(t)=K1e-2t+K2e-4t+2V-1A+uL(0+)-3t=0+时电路iL(0)=K1+K2=1didt|t=0=2K14K2=LuL(0)由右图 uL(0+)=312=5V解解:-2K1-4K2=-10得K1=3,K2=4i

13、L(t)=3e-2t+4e-4tAt0=2+4(32e-2te-4t12)=6e-2t4e-4tVt0LiR+uS-C+uC-已知图示电路中t 0时uS=0R=3L=12HC=14FuC(0)=2ViL(0)=1A求:uC(t)及iL(t)t0例例1 1：uC(t)=uC(0)+1Cidt0t=2+4(32e-2te-4t)|0t第16页/共40页无振荡衰减无振荡衰减s1=s2=2LR=解的形式uC(t)=K1e-t+K2te-t=(K1+K2t)e-tK K1 1=u uCC(0)(0)duCdt|t=0=K2e-t(K1+K2t)e-t|t=0=K2 K1=CiL(0)K K2 2=C C

14、i iL L(0)(0)+u uC C(0)(0)s1,s2为两个相等的负实数：(2)(2)临界阻尼情况临界阻尼情况 即即 R R =2=2L LC C2 2L L R R()2 2LCLC11=第17页/共40页解解：例例2:2:已知RLC串联联电路中t0时C=1FL=1HR=2uS=0iL(0)=1AuC(0)=0求uC(t)t0s1,2=-2LR2LR()2LC1-=-1-1=-1221uC(t)=(K1+K2t)e-tK1=0K2=1duCdt|t=0=K2K1=CiL(0)=1uC(t)=te-tVt00tuCLiR+uS-C+uC-临界阻尼情况第18页/共40页s1=2LR=+jw

15、d+j2LR()2LC1(s2=2LR=jwdj2LR()2LC1(解的形式uC(t)=e-t(K1coswdt+K2sinwd t)K1=uCC(0)CiL(0)=K1+wdK2=duCdt|t=0=e-t(K1coswdt+K2sinwdt)+e-t(wdK1sinwdt+wdK2coswd t)|t=0 u uC C(0)(0)K K2 2=w wd dC Ci iL L(0)(0)+w wd ds1,s2为共轭复数(3)(3)欠阻尼情况欠阻尼情况 即即 R R 2 2L LC C2 2L L R R)2LCLC11(第19页/共40页uC(t)=e-t(K1coswdt+K2sinwd

16、t)K1=K12+K22e-t(K12+K22coswdt+K2K12+K22sinwdt)K2K12+K22sinq=K1K12+K22cosq=q=arctanK1K2利用公式coscos(b b)=coscos coscosb b+sinsin sinsinb bu uC C(t t)=K K1 12 2+K K2 222e e-t t (coscosq q coscosw wddt t+sinsinq q sinsinw wd d t t )=K12+K22e t cos(wdt-q)=Ke-t cos(wdt+)K12+K22K2K1q qK=K12+K22=-q=-arctanK1

17、K2式中第20页/共40页 u uC C(t t)=K Ke e-t t coscos(w wddt t+)也可直接写成用初始条件确定K和结论：u uCC(t t)是衰减振荡，是衰减振荡，R R比较小，称为欠阻尼。比较小，称为欠阻尼。衰减因子wd衰减振荡角频率0uCtKe-t-Ke-tK=K12+K22K K1 1 =u uCC(0)(0)K1K2=-arctan u uC C(0)(0)K K2 2=w wd dC Ci iL L(0)(0)+w wd d第21页/共40页解：解：由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为uC(t)=e t(K1coswd t+

18、K2sinwd t)=22LR解得：L=1H，C=F71固有频率例例3 3：已知:R=4，RLC串联电路的零输入响应为求：L 和C。第22页/共40页4.4.R R=0=0无阻尼无阻尼特征根s1,s2为共轭虚数s1=j=jw0LC1s2=-j=-jw0LC1解的形式u uCC(t t)=K K1 1coscosw w0 0 t t+K K2 2sinsinw w0 0 t tK1=uC(0)uC(t)=Kcos(w0t+)K=K12+K22=-arctanK1K2无衰减等幅振荡！无衰减等幅振荡！Cw0 iL(0)K2=CL(0)duCdt|t=0=w0K2=i第23页/共40页uC(t)=K1

19、cosw0 t+K2sinw0 tK1=K12+K22 K12+K22cosw0t+K2K12+K22sinw0tK1K12+K22cosq=K2K12+K22sinq=q=arctanK1K2利用公式利用公式cos(cos(-b b)=coscos coscosb b+sinsin sinsinb buC(t)=K12+K22cosq cosw0t+sinq sinw0t=K12+K22cos(w0t-q)=K cos(w0t+)K12+K22K2K1q qK=K12+K22=-arctanK1K2式中第24页/共40页设L=1HC=1FuC(0)=1ViL(0)=0i=C=duCdtduC

20、dtLCLC电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。初始状态描述电路的两个联立一阶微分方程解微分方程，得i=sintuC=costit0i=sintuC=cost0tuCuC=L=dididtdtC+uCiL+uL第25页/共40页7-3RLC 串联电路的全响应串联电路的全响应+RCd2uCdt2LCduCdt+uC=USuC(0)=?duCdt|t=0=?uC(t)=uch+ucp+RCd2uchdt2LCduchdt+uch=0s1=-1s2=-2设电路为过阻尼uch(t)=K1e-1t+K2e -2tuC(t)=K1e-1t+K2e-2t+

21、US设ucp(t)=Q与激励形式一样若为直流激励，则Q=USK1，K2由初始条件确定根据特征根的四种不同情况，写出齐次方程解的形式LiR+uS-C+uC-第26页/共40页例：例：求图示电路中uC(t)t0已知uC(0)=0iL(0)=0+RCd2uCdt2LCduCdt+uC=US+d2uCdt 2duCdt+uC=2设ucp(t)=Q代入原方程s2+s+1=0s1,2=-11-42=-12j23uch(t)=eK1cos-12t23t+K2sint23+K2sint+223uC(t)=eK1cos-12t23tuC(0)=K1+2=0解：解：为欠阻尼情况1Hi1+US=2V-1F+uC-t

22、0第27页/共40页CiL(0)duCdt|t=0=-12K1+23K2=23K1=-2K2=-3uC(t)=e-2cos-12t23t-t+223233sin=-2.3ecos(-12t23t-30)+2Vt0例：例：求：图示电路中uC(t)t0已知：uC(0)=0iL(0)=01Hi1+US=2V-1F+uC-t0解：解：uC(0)=K1+2=0uC(t)=eK1cos-12t23t+K2sint+223确定系数第28页/共40页7-4GCL并联电路的分析并联电路的分析iC+iG+iL=iSCduCdt+GuC+iL=iS+GLd2iLdt2LCdiLdt+iL=iS如果是零输入响应i i

23、S S=0 0+GLd2iLdt2LCdiLdt+iL=0iL(0)=?diLdt|t=0=?LCs2+GLs+1=0s1,2=-GL(GL)2-4LC2LC2CG=-2CG()2LC1-根据固有频率四种情况写出解的形式阻尼电导阻尼电导Gd=2 LCiS+-iCiGiLCGLuC特征方程第29页/共40页+GLd2iLdt2LCdiLdt+iL=ISGCLGCL并联电路并联电路2CGs1,2=-2CG()2LC1-RLCRLC串联电路串联电路s1,2=-2LR2LR()2LC1-+RCd2uCdt2LCduCdt+uC=US阻尼电导Gd=2 LC阻尼电阻Rd=2 CL利用对偶规则可得利用对偶规

24、则可得 GCL GCL 并联二并联二阶电路的解。阶电路的解。互为对互为对偶关系偶关系第30页/共40页例：例：图示电路中，欲使电路产生临界阻尼响应，则C 应为何值？解：解：Gd=2 LC阻尼电导欲使电路产生临界阻尼响应，应满足G=Gd由于 G=1S2 =1LC故得C=0.5FiS12HCRL第31页/共40页解：解：例：例：RLC并联电路的零输入响应为uc(t)=100e-600t cos400t，若电容初始贮能是130J，求R，L，C以及电感的初始电流。uC(0)=100V130wC(0)=130CuC2(0+)=12C=230uC2(0+)=2301002=6.67F由零输入响应的形式可知

25、，电路应为欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为零输入响应的一般形式为 u uC C(t t)=e e-t t(K K1 1coscosw wd d t t+K K2 2sinsinw wd d t t)=-jwd2CGs1,2=-2CG()2LC1-K1=100,K2=0,=600,wd=400rad/siRiLRL+-iCCuC第32页/共40页=-jwd2CGs1,2=-2CG()2LC1-=2CG=600G=60026.6710-6=80.0410-4SR=G1=124.9w wd d=400=400=LCLC11-2 2LC1=4002+6002L=0.288HiL(0+)=-iR(0+

26、)-iC(0+)=-uC(0+)R-CduCdt|t=0=-100124.9-6.6710-6dtd(100e-600tcos400t)|t=0=-0.8+0.4=-0.4AiRiLRL+-iCCuCC C=6.67F6.67FK K11=100=100K K22=0=0 =600=600w wd d =400rad/s=400rad/s第33页/共40页互为对互为对偶关系偶关系二阶电路分析方法总结a0dXdtd2Xdt2+a1+a2=AX(0)=?dXdt|t=0=?X(t)=Xh(t)+Xp(t)Xh(t)=Kest 代入齐次方程a0s2+a1s+a2=0特征方程s1,2=-a1a12-4

27、a0a12a0固有频率RLC串联串联GCL并联并联列出非齐次二阶微分方程给定初始条件解的形式第34页/共40页s1,s2为两个不相等的负实数s1=-1s2=-2无振荡衰减Xh(t)=K1e-1t+K2e-2t过阻尼过阻尼s1,s2为两个相等的负实数s1=s2=-临界阻尼临界阻尼Xh(t)=(K1+K2t)e-t无振荡衰减衰减因子wd衰减振荡角频率欠阻尼欠阻尼衰减振荡s1,s2为共轭复数s1=-+jwd s2=-jwdXh(t)=e-tK1coswdt+K2sinwdt(1)(2)(3)无阻尼无阻尼等幅振荡s1,s2为共轭虚数s1=jw0 s2=-jw0Xh(t)=K1cosw0t+K2sinw0t(4)R=0第35页/共40页求Xp(t)设Xp(t)=Q代入原方程Q=A如果是直流激励的渐近稳定电路,稳态解即是特解X(t)=Xh(t)+Xp(t)用初始条件确定K1和K2第36页/共40页第37页/共40页第38页/共40页第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页