计量经济学第七章.pptx

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1、引言（续1）若Yt波动的原因是无法解释的因素如气候、消费者偏好的变化等则用结构式模型解释Yt变动就较为困难或不可能要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的即使估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难因此，因果关系模型及其预测技术就不适用了1第1页/共70页引言（续2）采用另一条预测途径通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论进而对时序未来行为进行推断2第2页/共70页引言（续3）ARMA模型的提出由Box、Jenkins创立，亦称B-J方法是一种精度较高的时序预测方法ARMA模型基本思想某些

2、时序是依赖于时间t 的一簇随机变量，构成该时序的单个序列值虽然不具有确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述通过对该数学模型的分析研究，能够更本质的认识时序的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测3第3页/共70页第一节 ARMA模型概述自回归模型移动平均模型自回归移动平均模型4第4页/共70页5ARMA模型模型自回归自回归(AR:Auto-regressive)模型模型移动平均移动平均(MA:Moving Average)模型模型自回归移动平均自回归移动平均(ARMA:Auto-regressive Moving Average)模型模型第5页/共70页自回归

3、模型自回归模型若时序yt 是它的前期值和随机项的线性函数 则称该时序yt 是自回归序列，(1)式为p阶自回归模型，记为AR(p)实参数 称为自回归系数，是待估参数随机项ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为 的正态分布随机项与滞后变量yt-1,yt-2,yt-p不相关不失一般性，在(1)式中假定序列yt 均值为0若 ，则令可将 写成(1)式的形式6第6页/共70页自回归模型（续）AR(p)模型记Bk为k步滞后算子，即则(1)式可表示为 令 则模型可简写为 AR(p)过程平稳的条件滞后多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于17第7页/共70页移动平均模型移动平均模型若时序yt 是它

4、的当期和前期的随机误差项的线性函数 则称该时序yt 为移动平均序列，(3)式为q阶移动平均模型，记为MA(q)实参数 为移动平均系数，是待估参数MA(q)模型引入滞后算子，并令 则模型(3)可简写为8第8页/共70页移动平均模型（续1 1）MAARMA过程无条件平稳但通常希望AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆则要求滞后算子 的根都在单位圆外MA(q)模型的逆转形式 其中，其他权重 可递推得到其等价于无穷阶的AR过程9第9页/共70页移动平均模型（续2 2）ARMAAR(p)模型的逆转形式(2)式满足平稳条件时，可改写为 其中，其等价于无穷阶的MA过程10第10页/共70页自回归移动平均模

5、型自回归移动平均模型若时序式它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数 则称该序列是自回归移动平均序列，(4)式为(p,q)阶的自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数11第11页/共70页自回归移动平均模型（续）ARMA(p,q)模型AR(p)和MA(q)都是ARMA(p,q)的特例若q=0，则ARMA(p,q)AR(p)若p=0，则ARMA(p,q)MA(q)引入滞后算子B，模型(4)可简写为 ARMA过程平稳的条件滞后多项式 的根均在单位圆外ARMA过程可逆的条件滞后多项式 的根都在单位圆外12第12页/共70页第二节 随机时序的特性

6、分析时序特性的研究工具时序特性分析13第13页/共70页时序特性的研究工具自相关构成时序的每个序列值yt,yt-1,yt-k之间的简单相关关系称为自相关自相关程度由自相关系数rk 度量表示时序中相隔k期的观测值之间的相关程度 其中，n是样本量；k为滞后期；代表样本数据的算术平均值 ，且|rk|越接近1，自相关程度越高14第14页/共70页时序特性的研究工具（续1 1）偏自相关指对于时序yt，在给定yt-1,yt-k+1的条件下，yt 与yt-k 之间的条件相关关系相关程度用偏自相关系数度量 其中，rk 是滞后k期的自相关系数15第15页/共70页时序特性的研究工具（续2 2）自(偏自)相关分析

7、图实际应用中，应综合考察序列的自相关与偏自相关将时序的自(偏自)相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，称为自(偏自)相关分析图是对时序进行自(偏自)相关分析的主要工具16第16页/共70页时序特性的研究工具（续3 3）操作最大滞后阶数k的选择一般，k取n/10或n/4考察季节数据时，取季节周期长度的整数倍输出结果左半部分是序列的自相关和偏自相关分析图右半部分包括五列数据第一列的自然数表示滞后期kAC是自相关系数，PAC是偏自相关系数最后两列是对序列进行独立性检验的Q统计量和相伴概率17第17页/共70页时序特性分析随机性概念若时序是纯随机的，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，

8、即序列为白噪声序列其自相关系数应该与0没有显著差异判断方法利用自相关分析图，其中给出了显著性水平=0.05时的置信带自相关系数落入置信区间内表示与0无显著差异若几乎所有自相关系数都落入随机区间，可认为序列是纯随机的18第18页/共70页时序特性分析（续1 1）平稳性概念若时序yt 满足对任意时间t，其均值恒为常数对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关则该时序称为平稳时序直观的讲平稳时序的各观测值围绕其均值上下波动且该均值与时间t无关，振幅变化不剧烈判断方法若序列的自相关系数很快的(滞后阶数k大于2或3时)趋于0，即落入随机区间，则时序是平稳的19第19页/

9、共70页时序特性分析（续2 2）季节性概念指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性一般的，月度资料的时序，其季节周期为12个月；季度资料的时序，其季节周期为4个季度判断标准月度数据，考察k=12,24,36,时的自相关系数是否与0有显著差异季度数据，考察k=4,8,12,时的自相关系数是否与0有显著差异20第20页/共70页时序特性分析（续3 3）注意只有平稳时序才能建立ARMA模型否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求若原序列yt 非平稳，经过d 阶逐期差分后平稳，则新序列zt 称为齐次(homogeneous)序列，记为 平稳序列zt 可建立ARMA模型，原序列yt 可表示为ARI

10、MA(p,d,q)模型 21第21页/共70页时序特性分析（续4 4）注意（续）差分法并非万能的，且存在明显的缺点存在很多时序不能通过差分而平稳差分虽能消除某些序列的趋势而易于建模，但同时也消除了原序列的长期特征，会丢失某些信息实际的经济时序差分阶数d 一般不超过2季节性和趋势同时存在时必须事先剔除序列趋势性再识别序列的季节性否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误22第22页/共70页时序特性分析（续5 5）例7-1 下表中，序列zt表示1994年1月至1998年12月经居民消费价格指数调整的中国城镇居民可支配收入时间序列。用自相关分析图识别序列的季节性为减小序列波动，对序列zt作自然对数

11、变换，记新序列为lzt23第23页/共70页时序特性分析（续6 6）作序列lzt的折线图由图可知，1994-1998年我国城镇居民人均可支配收入水平总体呈上升趋势，且每年二月的观测值都远大于相临月份，表现出明显的季节波动24第24页/共70页时序特性分析（续7 7）绘制序列lzt的自相关分析图由图可知，序列的自相关系数没有很快趋于0，说明序列是非平稳的正好与折线图显示的上升趋势一致则由自相关图很难看出序列是否具有季节性，需对原序列进行逐期差分，以消除趋势经过差分的新序列为dlzt25第25页/共70页时序特性分析（续8 8）绘制序列dlzt的自相关分析图与上图相比，经过一阶逐期差分的序列趋势已

12、基本消除但滞后期k=12时序列自相关系数是0.597，大大超出了随机区间的范围，与0有显著差异表明序列有周期为12个月的季节波动26第26页/共70页时序特性分析（续9 9）一般的包含季节性的时序也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致上例中，对dlzt 进行一阶季节差分可表示为 若序列yt 经过D阶周期长度为s 的差分，季节性基本消除，新序列wt 可表示为 27第27页/共70页时序特性分析（续1010）ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型若序列在季节差分之前还进行了d阶的逐期差分才平稳，则可对原序列建立ARIMA(p,d,q)(P,D,Q

13、)s模型 其中，P是季节自回归阶数，Q是季节移动平均阶数，且分别称 和 为季节P阶自回归算子和Q阶移动平均算子28非季节AR(p)季节AR(P)d阶逐期差分D阶季节差分非季节MA(q)季节MA(Q)第28页/共70页时序特性分析（续1111）例7-2续例7-1，绘制一阶逐期差分和一阶季节差分后的城镇居民人均可支配收入序列sdlzt 的自相关分析图29第29页/共70页第三节 模型的识别与建立自相关函数与偏自相关函数模型的识别模型的参数估计模型的检验30第30页/共70页自相关函数与偏自相关函数MA(q)的自相关与偏自相关函数模型自相关函数的截尾性 自相关函数的截尾性序列的自相关函数k在kq以后

14、全部是0有利于识别移动平均过程的阶数q偏自相关函数的拖尾性序列的偏自相关函数随着滞后期k的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于031第31页/共70页自相关函数与偏自相关函数（续1 1）AR(p)的自相关与偏自相关函数模型偏自相关函数的截尾性 序列的偏自相关函数kk 是p步截尾的，即当kp时，kk 的值是0有利于识别自回归模型和确定阶数p自相关函数的拖尾性序列的自相关函数呈现指数或者正弦波衰减32第32页/共70页自相关函数与偏自相关函数（续2 2）ARMA(p,q)的自相关和偏自相关函数较为复杂可证明，它们均是拖尾的33第33页/共70页模型的识别例7-3序列pt是某国1960-1993年G

15、NP平减指数的季度时间序列，要求对平稳序列iilpt()进行模型识别将序列命名为p对序列取对数后进行逐期差分，新序列命名为iilp，即 34第34页/共70页模型的识别（续1 1）绘制序列iilp的线图由上图可知，序列基本已平稳，且均值为035第35页/共70页模型的识别（续2 2）绘制序列iilp的自相关(偏自相关)分析图由图可知偏自相关系数在k=2后很快趋于0，则取p=2自相关系数在k=3时似乎也与0有显著差异，可考虑q=1或q=2则序列iilp可建立ARMA(2,1)或 ARMA(2,2)模型36第36页/共70页模型的参数估计参数估计采用非线性方法MA模型的参数估计相对困难尽量避免使用

16、高阶的移动平均模型或包含高阶移动平均项的ARMA模型37第37页/共70页模型的参数估计（续1 1）例7-4续例7-3，对序列iilpt建立ARMA(2,1)和ARMA(2,2)模型可利用窗口菜单或命令方式建立模型ar(i)(i=1,2,)代表模型中的自回归部分ma(j)(j=1,2,)代表模型中的移动平均部分选择模型的重要标准对参数t检验显著性水平的要求不像回归方程中那么严格，更多的是考虑模型整体拟合效果则调整后的决定系数、AIC和SC准则都是选择模型的重要标准38第38页/共70页模型的参数估计（续2 2）建立模型ARMA(2,1)模型滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求

17、调整后的决定系数为0.387795AIC和SC值分别为-7.769828和-7.704310ARMA(2,2)模型滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求调整后的决定系数为0.384768，小于上模型AIC和SC值分别为-7.7575和-7.6702，大于上模型则可以认为ARMA(2,1)模型更合适39第39页/共70页模型的检验残差序列et的白噪声检验残差序列不是白噪声序列意味着残差序列还存在有用信息没被提取，需要进一步改进模型一般侧重于检验残差序列的随机性滞后期k1，残差序列的样本自相关系数应近似为040第40页/共70页模型的检验（续1 1）检验方法残差序列的2检验零假设H

18、0：残差序列et相互独立残差序列的自相关函数 其中，n是计算rk的序列观测量，m是最大滞后期若观测量较多，m可取n/10或 若样本量较小，则m一般取n/441第41页/共70页模型的检验（续2 2）检验方法残差序列的2检验（续）当 时，检验统计量 在零假设下，Q服从 分布42 第42页/共70页模型的检验（续3 3）例7-5续例7-4，对ARMA(2,1)模型的残差序列进行检验该残差序列的样本n为132，最大滞后期可取132/10=13 或从k=13一行或k=11一行找到检验统计量Q值为8.7502或7.9992，检验的p值大于显著性水平(0.05或0.01)则不能拒绝序列相互独立的原假设，检

19、验通过表明序列是纯随机的43第43页/共70页第四节 模型的预测预测值的计算预测实例44第44页/共70页预测值的计算L步预测B-J方法采用L步预测即根据已知n个时刻的序列观测值y1,y2,yn，对未来的n+L个时刻的序列值做出估计常用的方法：线性最小方差预测主要思想是使预测误差的方差达到最小令 表示用模型做的L步平稳线性最小方差预测预测误差 并使下式达到最小 45第45页/共70页预测值的计算（续1 1）AR(p)序列的预测模型 的L步预测值为 其中 46第46页/共70页预测值的计算（续2 2）MA(q)序列的预测对模型当Lq时 即所有白噪声的时刻都大于n，则与历史取值无关 当Lq时，各步

20、预测值可写成矩阵形式递推时，初值 取值为047第47页/共70页预测实例例7-6下表是我国1990年1月至1997年12月工业总产值的月度资料(1990年不变价格)，记作yt，共有96个观测值，对序列yt建立ARMA模型48第48页/共70页预测实例（续1 1）时序特征分析绘制序列yt的线图序列具有明显的增长趋势，并包含周期为12个月的季节波动49第49页/共70页预测实例（续2 2）时序特征分析（续1）绘制序列yt的自相关与偏自相关图由图可知，序列是非平稳的对原序列做一阶自然对数逐期差分目的在于消除趋势，同时减小序列的波动差分后的序列为ilyt绘制序列的自相关与偏自相关图由图可知，序列的趋势

21、基本消除，但当k=12时，样本的自相关系数和偏自相关系数显著不为0，表明存在季节性50第50页/共70页预测实例（续3 3）时序特征分析（续2）对序列ilyt做季节差分，得到新序列silyt绘制序列的自相关与偏自相关图序列的趋势已基本消除，但在k=12时取值仍较大，即季节性依然比较明显尝试对序列进行二阶季节差分，但序列的季节性未得到明显改善，则只做一阶季节差分即可为检验模型的预测效果，将1997年12个观测值留出，作为评价预测精度的参照对象建模的样本期：1990.01-1996.1251第51页/共70页预测实例（续4 4）模型的识别选用ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s经过一阶逐期差分

22、，序列趋势消除，则d=1经过一阶季节差分，季节性基本消除，则D=1观察序列silyt的自相关与偏自相关图偏自相关图显示，p=2或p=3较为合适自相关图显示，q=1较为合适AR模型是线性方程估计，相对于MA和ARMA模型的非线性估计容易，且参数意义便于解释则实际建模时常希望用高阶的AR模型替换相应的MA或ARMA模型本例可供选择的(p,q)组合：(3,1)、(4,0)、(2,1)和(3,0)52第52页/共70页预测实例（续5 5）模型的建立差分算子 表示对序列y做n次一阶逐期差分和一次步长为s的季节差分后的新序列本例可将序列silyt记为分别建立以下模型ARIMA(3,1,1)(1,1,1)1

23、2ARIMA(4,1,0)(1,1,1)12ARIMA(2,1,1)(1,1,1)12ARIMA(3,1,0)(1,1,1)1253第53页/共70页预测实例（续6 6）模型的选择与评价各个模型的参数估计结果如下54(p,q)(p,q)1 1 2 2 3 3 4 4 1 11 12 2(3,1)(3,1)-0.2585-0.2585-0.2543-0.2543-0.3413-0.3413-0.0994-0.0994-0.0486-0.0486-0.8775-0.8775(4,0)(4,0)-0.3792-0.3792-0.2918-0.2918-0.3625-0.3625-0.0079-0.0

24、079-0.0131-0.0131-0.8847-0.8847(2,1)(2,1)-0.0848-0.0848-0.1927-0.1927-0.1823-0.1823-0.0670-0.0670-0.8415-0.8415(3,0)(3,0)-0.3743-0.3743-0.2736-0.2736-0.3513-0.35130.00520.0052-0.8804-0.8804第54页/共70页预测实例（续7 7）模型的选择与评价（续1）各个模型的检验结果如下55(p,q)(p,q)Adjusted RAdjusted R2 2AICAICSCSCp-Qp-QMAPEMAPE(3,1)(3,1)

25、0.53200.5320-3.17-3.17-2.95-2.950.8020.8029.159.15(4,0)(4,0)0.53740.5374-3.16-3.16-2.94-2.940.9720.9729.979.97(2,1)(2,1)0.48290.4829-3.10-3.10-2.92-2.920.1280.12810.2510.25(3,0)(3,0)0.53210.5321-3.18-3.18-3.00-3.000.9260.9269.679.67第55页/共70页预测实例（续8 8）模型的选择与评价（续2）经计算，四个模型都满足ARMA过程的平稳条件及可逆条件，模型设定合理残差序

26、列白噪声检验的相伴概率(p-Q)(k=11)显示，各模型残差都满足独立性假设比较检验结果第四个模型的AIC和SC值较小，试预测的MAPE值略高于第一个模型，但仍显示其预测精度较高，调整后的样本决定系数略低于第二个模型预测模型应力求简洁、有效，因而选择第四个模型ARIMA(3,1,0)(1,1,1)12较为适合，展开式为 56第56页/共70页预测实例（续9 9）预测利用ARIMA(3,1,0)(1,1,1)12模型对我国1998年工业总产值进行预测，结果如下5798.01-0498.01-044277.9554277.9553801.4833801.4835062.9365062.936519

27、3.7185193.71898.05-0898.05-085408.5715408.5715647.6505647.6504879.0164879.0164939.8304939.83098.09-1298.09-125237.0095237.0095371.5105371.5105679.6165679.6166320.5936320.593第57页/共70页第五节 序列相关与ARMA模型序列相关理论与检验残差序列的ARMA模型58第58页/共70页序列相关理论与检验残差序列自相关在时间序列的回归模型中很常见模型形式 其中，Xt是t时刻所观测的解释变量向量；ut为随机扰动项，称为非条件残差；

28、t 为改进的随即扰动项，称为一期提前(one-period-ahead)预测误差；zt-1是前期已知变量向量，可包括u和的滞后项；和为参数向量一般的当非条件残差ut存在自相关时，通过(6)式能得到显著改善，使一期提前误差成为白噪声序列59第59页/共70页序列相关理论与检验（续1 1）检验相关图与Q统计量即前述的残差序列独立性检验当序列任意滞后期的自相关和偏自相关系数与0无显著差异，即Q统计量与0无显著差异时，残差序列诸项之间是独立的否则存在自相关60第60页/共70页序列相关理论与检验（续2 2）检验LM检验与DW检验的区别LM(Lagrange Multiplier)检验可对包含ARMA误

29、差项的模型残差序列进行高阶的自相关检验且允许存在因变量的滞后项检验假设H0：残差序列不存在小(等)于p阶的自相关H1：存在ARMA(r,q)形式的误差项其中，61第61页/共70页序列相关理论与检验（续3 3）检验LM检验（续）对(5)式中的非条件残差建立辅助回归方程 Breusch-Godfrey利用上式的决定系数R2构造了LM检验统计量LM=nR2其中，n是计算辅助回归时的样本数据个数在零假设下，LM统计量有渐进的 分布62第62页/共70页序列相关理论与检验（续4 4）例7-7续例7-4，对模型ARMA(2,1)的残差进行LM检验模型的残差二阶自相关检验结果如下(p=2)其中，第一行的F

30、统计量在有限样本情况下的精确分布未知，其结果一般作为参考；第二行 Obs*R-squared后的数值是LM统计量值及其检验的相伴概率LM检验的p值0.87大于显著性水平0.05，则不能拒绝原假设，即残差项不存在小于或等于二阶自相关63F-statistic 0.149590 Probability0.861212Obs*R-squared0.270861 Probability0.873340第63页/共70页残差序列的ARMA模型模型的建立若对某个线性回归模型残差序列进行LM检验，发现序列存在自相关，可考虑对残差序列建立ARMA模型若非条件残差包含季节性，应考虑引入季节自回归和移动平均项模型

31、的形式、定阶、参数估计、检验及预测都可利用前述方法，只是处理对象为序列ut对于非线性回归模型，只能采用AR(p)形式对非条件残差建模不能包含季节自回归与移动平均项64第64页/共70页残差序列的ARMA模型（续1 1）模型的基本形式AR(p)MA(q)ARMA(p,q)65第65页/共70页残差序列的ARMA模型（续2 2）例7-8续例3-3已知1950-1981年间美国机动车汽油消费量和影响消费量的变量数值，其中QMG-机动车汽油消费量（单位：千加仑）CAR-汽车保有量PMG-机动车汽油零售价格POP-人口数RGNP-按1982年美元计算的GNP（单位：十亿美元）PGNP-GNP指数（198

32、2年为100）66第66页/共70页残差序列的ARMA模型（续3 3）建立回归模型(模型1)经过尝试，建立的回归模型如下 对模型的残差进行LM检验，结果如下 即残差项存在二阶自相关67F-statistic13.25588 Probability0.000107Obs*R-squared 16.15593 Probability0.000310第67页/共70页残差序列的ARMA模型（续4 4）对残差项建立ARMA模型(模型2)经尝试，可对残差项建立AR(1)模型 对模型的残差进行LM检验，结果如下 即残差序列已不存在二阶自相关68F-statistic0.714240Probability0.499678Obs*R-squared 1.741468Probability0.418644第68页/共70页残差序列的ARMA模型（续5 5）比较两个模型的评价结果 由上表可知，模型2的各个评价指标均优于模型1模型模型Adjusted RAdjusted R2 2AICAICSCSCMAPEMAPE模型模型1 10.99160.991632.0232.0232.2032.202.482.48模型模型2 20.99620.996231.1931.1931.4231.421.881.8869第69页/共70页70感谢您的观看。第70页/共70页