现代控制理论第3章.pptx

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1、二：能观测性判据1 线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵 证明:充分性设第1页/共76页二：能观测性判据1 线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵 证明:必要性设系统能观测,但是奇异的,即存在非零初态,使第2页/共76页二：能观测性判据1 线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵 定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1t0，使得mn型矩阵C(t)(t,t0)的n个列在t0，t1上线性无关。定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连

2、续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得 则系统在t0时刻能观测的，其中（充分条件）第3页/共76页2：线性定常系统定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是 满秩,或 定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即 的列线性无关.第4页/共76页定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)n型矩阵 对A的每一个特征值i之秩为n。（PBH判别法）定理三：线性定常连续系统，若A的特征值互异，经非奇异变换后为 系统能观测的充分必要条件是阵中不包含全为零的列定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换

3、后为：系统能观测的充分必要条件是 阵中与每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。非奇异变换不改变系统的能观测性 第5页/共76页3-4 离散系统的能控性和能观测性 线性定常离散系统方程为 一：能控性定义 对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k0，在有限时间区间0，k内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的 二：能控性判据线性定常离散系统能控的充分必要条件是nnr型矩阵Qc满秩，即 rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n 证明 令 对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：krn且系数矩阵满秩 若系统能控，对于任意的初始

4、状态，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r）第6页/共76页例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性 解 系统是能控的 第7页/共76页系统是能控的 令若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。第8页/共76页例 双输入线性定常离散系统的状态方程为：试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性 解 系统是能控的 令x(1)=0若 若 则可以求出u(0)，使x(1)=0 则不存在u(0)，使x(1)

5、=0 第9页/共76页三：能观测性定义 对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的 四：能观测性判据 设n维离散系统的动态方程为 其解为 在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1)第10页/共76页定义 为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n 因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n 第11页/共76页五：连续系统离散化后的能控性与能观测性定理一：

6、如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的 证明：用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则 rankH、GH、G2H、Gn-1H=n故 容易验证 为可交换阵，故 第12页/共76页由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故 连续系统是能控的，矛盾 本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的 第13页/共76页定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是 不是A的特征值。其中k为非零

7、整数 证明 设A的特征值为1、2、n则 的特征值为：如果i=0，则如果i0，则可见当（k为非零整数）为A的特征值时 的特征值中出现0 不可逆,由于第14页/共76页定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使 成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。第15页/共76页3-5 对偶原理若系统S1描述为 系统S2描述为 则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测性）矩阵等于对偶系统S2（S1）的能观测性（能控性）矩阵转置，或者说，原

8、系统的能控性（能观测性）等价与其对偶系统的能观测性（能控性）对偶系统有两个基本特征:1)传递函数阵互为转置2)系统特征值相同第16页/共76页3-6 能控标准形和能观测标准形一：能控标准形一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形 具体做法是：设A的特征多项式为 引入非奇异线性变换 则 为能控标准形 第17页/共76页例已知能控的线性定常系统动态方程 试将其变换成能控标准形 解 系统是能控的 第18页/共76页解 系统是能控的 第19页/共76页二：能观测标准形

9、一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式 则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形 第20页/共76页定理：若n维单输出线性定常系统能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形 具体做法是：设A的特征多项式为 引入非奇异线性变换 则 为能观测标准形 可利用对偶原理来证明 第21页/共76页3-7能控性、能观测性与传递函数的关系定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|

10、与分子之间不发生因子相消 定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明 单输入、单输出系统动态方程为 如果A的特征值互不相同，则可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即 此式即为传递函数的部分分式 若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存

11、在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的 第22页/共76页例 设单输入、单输出系统的传递函数 由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的 例 已知系统的动态方程如下，试求传递函数，判断其能控性、能观测性 三个系统的传递函数均为 系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的 定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的 第23页/共76页定理四：如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 的各行在

12、复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）定理五：如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）第24页/共76页例 试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性 解：（1）令 说明 的三个行向量线性无关，系统是能控的。第25页/共76页说明 的三个列向量线性无关，系统是能观测的 例 试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性 解：（1）令 第26页/共76页（2）由于 的三个行向量线性相关，系统不能控 令 存在非零解 系统是不能观测的。第27页/共76页3-8 控制系统的结构分解 一：系统按能控性分解

13、设不能控系统的动态方程为 其能控性矩阵的秩为rn，即 rankQc=r令 则 其中 选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异矩阵T,令T-1 第28页/共76页经非奇异变换后，系统的动态方程写为 于是可得能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 系统传递函数矩阵为 第29页/共76页例 已知 试按能控性进行规范分解 解 系统不完全能控，取 则 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 第30页/共76页二：系统按能观测性分解设不能观测系统的动态方程为 其能观测性矩阵的秩为r0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是正定的 2：负定性 设有标量函数V（

14、x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 第52页/共76页例 设 则 三：二次型函数的正定性设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵：3：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值

15、均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。第53页/共76页4-2李雅普诺夫意义下的稳定性概念赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。1：系统 设所研究的系统为 式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下，方程有唯一解 2：平衡状态 满足 的状态即 对于线性定常系统 当A可逆时，有唯一平衡状态 第54页/共76页3：稳定性 以S（k）表示平衡状态周围半径为k的球域 设对应于每一个球域S（），都存在球域S（），使得当t t0时，从初始条件S（）出发的轨迹都超出不了S（），

16、则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态 线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的 第55页/共76页4：渐近稳定性 如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（）出发的任意一个解，当t时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的 线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的 5：大范围稳定性 不管初始偏差有都大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳

17、定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 6：不稳定性 如果对于某个实数0和任一实数0，不管它们有多小，在球域S（）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（），这时的平衡状态是不稳定的 第56页/共76页4-3李雅普诺夫直接法（第二法）主要理论 1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的 2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统

18、在原点处是不稳定的 李雅普诺夫第一法-间接法李雅普诺夫第二法-直接法第57页/共76页例在讨论稳定性时,设系统稳定第58页/共76页定理一：设系统的动态方程为 原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的（2）是负定的则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的 如果当 时 则系统是一致大范围渐近稳定的。如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其 恒为零，则条件（2）可改为是负半定的 第59页/共76页定理二：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的（2）是负

19、半定的则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的 如果当 时 则系统是一致大范围稳定的。第60页/共76页例 设系统状态方程为 坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 为一正定的标量函数 为一负定的标量函数，且 系统是一致大范围渐近稳定的。第61页/共76页例 系统动态方程为 坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 为一正定的标量函数 为负半定的，系统是稳定的 定理三：设系统的动态方程为 原点为一个平衡状态，即：如果在平衡状态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件：（1）是正定的 （2）是正定的则系统在原点处的平衡状态是不稳定

20、的 类似地，若 除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。第62页/共76页例 设有如下系统 试判断系统的稳定性 解：x=0为系统的平衡状态，取 为一正定的标量函数 为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上 不恒为零，系统是不稳定的 第63页/共76页4-4 线性连续系统的稳定性分析 一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法设线性定常系统 若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 P为正定实对称矩阵 令 若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。第64

21、页/共76页例 试确定系统平衡状态的稳定性解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，由：ATP+PA=-Q 设 P为正定矩阵 系统是一致大范围渐近稳定的 推论：如果 沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵 第65页/共76页例 设系统状态方程为：求系统稳定时K的取值范围 解 令u=0，detA0，故原点是系统的平衡状态。取 由于只有在原点处才有 故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得 第66页/共76页二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法设线性时变系统系统的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 P（t）为正定实对称矩阵，令 若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理

22、：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程 成立 第67页/共76页三：线性系统稳定性的几个结论 设线性系统 系统的平衡状态x=0状态方程的解为 四：线性定常系统稳定性的特征值判据 定理：线性定常系统 渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即 Rei0 （i=1、2、n）i为A的特征值 第68页/共76页4-5线性定常离散系统的稳定性取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P为正定实对称矩阵。令 定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使G

23、TPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。设 x(k+1)=G x(k)，x=0为平衡状态。第69页/共76页例 设 试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得 根据P为正定实对称矩阵的要求，得 第70页/共76页4-6 外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)K1 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 定理：对零初始条件的连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正

24、常数K3，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式 证明考虑SISO情形充分性1.有界输入、有界输出稳定(BIBO)外部稳定第71页/共76页必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使可以取有矛盾推论：对零初始条件r维输入和m维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数K3，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 定理：对零初始条件的连续时间线性时不变系统，系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。第72页/共76页例线性定常系统分析系统是否BIBO稳定解传递函数

25、脉冲响应系统BIBO稳定的充要条件是等价于传递函数的极点位于左半复平面第73页/共76页定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：定理：对n维连续时间线性时不变自治系统 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。2.外部稳定与内部稳定性之间的关系定理：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。第74页/共76页例系统方程为分析系统的内部稳定性与外部稳定性解系统位于原点的平衡状态不是渐近稳定的传递函数系统是BIBO稳定的容易判断,系统是能观测、不能控的第75页/共76页感谢您的观看！第76页/共76页