线性代数5习题课.pptx

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1、定义定义向量内积的定义及运算规律第1页/共86页第2页/共86页定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度第3页/共86页第4页/共86页定义定义向量的夹角第5页/共86页所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质第6页/共86页施密特正交化方法施密特正交化方法第7页/共86页第一步正交化第一步正交化第8页/共86页第二步单位化第9页/共86页定义定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的

2、充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交第10页/共86页定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变第11页/共86页定义定义方阵的特征值和特征向量第12页/共86页第13页/共86页有关特征值的一些结论第14页/共86页定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论第15页/共86页定义定义矩阵之间的相似具有矩

3、阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵第16页/共86页有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同第17页/共86页(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似第18页/共86页实对称矩阵的相似矩阵第19页/共86页定义定义二次型第20页/共86页二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的第21页/

4、共86页定义定义二次型的标准形第22页/共86页化二次型为标准形第23页/共86页第24页/共86页定义定义正定二次型第25页/共86页惯性定理第26页/共86页注意注意第27页/共86页正定二次型的判定第28页/共86页第29页/共86页一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值第30页/共86页五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特

5、征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形第31页/共86页一、证明所给矩阵为正交矩阵第32页/共86页证明证明第33页/共86页第34页/共86页将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组第35页/共86页解一解一先正交化，再单位化第36页/共86页第37页/共86页第38页/共86页解二解二同时进行正交化与单位化第39页/共86页第40页/共86页第41页/共86页第三步将每一

6、个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步计算的特征多项式；第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；第42页/共86页解解第一步计算的特征多项式第43页/共86页第三步求出的全部特征向量第44页/共86页第45页/共86页第46页/共86页第47页/共86页解解四、已知的特征值，求与相关 矩阵的特征值第48页/共86页第49页/共86页第50页/共86页解解五、求方阵的特征多项式第51页/共86页第52页/共86页解解六、关于特征值的其它问题第53页/共86页方法一方法一第54页/共86页方法二方法二第55页/共86页方法三方法三

7、第56页/共86页解解第57页/共86页第58页/共86页七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值第59页/共86页第60页/共86页第61页/共86页第62页/共86页解解第一步求A的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵第63页/共86页第64页/共86页第65页/共86页第66页/共86页第67页/共86页第68页/共86页九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第69页/共86页第70页/共86页第71页/共86页第72页/共86页解解第73页/共86页第74页/共86页第75页/共86页第五章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共3232分分)第76页/共86页第77页/共86页二、计算题（共二、计算题（共40分）分）第78页/共86页第79页/共86页三、证明题（共三、证明题（共2020分）分）第80页/共86页四、（四、（8 8分）设二次型分）设二次型经正交变换经正交变换 化成化成第81页/共86页第82页/共86页测试题答案第83页/共86页第84页/共86页第85页/共86页感谢您的观看！第86页/共86页