理学D单调性与极值.pptx

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1、一、单调性的判定定理定理1第1页/共62页证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得第2页/共62页例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性第3页/共62页例例2 讨论函数讨论函数 f(x)=xsinx在在0,2 上的单调性上的单调性.解解 因为在因为在(0,2)内有内有所以函数所以函数 f(x)=xsinx 在在0,2 上是单调增加的上是单调增加的.一般讲，一般讲，在定义域内未必单调在定义域

2、内未必单调,但可用适当但可用适当在每一个区间上都是单调函数一个区间上都是单调函数.的一些点把定义域分为若干个区间，便得的一些点把定义域分为若干个区间，便得第4页/共62页导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点二、单调区间求法问题问题:如例如例1，函数在定义区间上不是单调的，但在，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的该区间称为函数的单调区间单调区间.方法方法:第5页/共62页例例3 3解解单调区间为单调

3、区间为第6页/共62页例例4 4解解单调区间为单调区间为注意注意:单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点.第7页/共62页证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,例例5 5第8页/共62页例例6 6证证第9页/共62页例例7 证明证明时,成立不等式证:令从而因此且证第10页/共62页练练 习习 题题单调单调增加增加,单调减少单调减少 增加增加第12页/共62页三、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,极大值点与极大值点与极小值点统称为

4、极小值点统称为极值点极值点.第13页/共62页第14页/共62页注意注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值 是极小值 为极小点,第15页/共62页四、函数极值的求法定理定理1(1(必要条件必要条件)()(费马费马)定义定义:注意注意:例如例如,极值点可能在驻点第16页/共62页定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)第17页/共62页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)第18页/共62页例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值

5、值第19页/共62页图形如下图形如下第20页/共62页例例2 求函数求函数的极值.解:1)求导数2)令得令得3)列表讨论如下是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为极大值 极小值第21页/共62页二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证:(1)存在由第一充分条件知(2)类似可证.定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)第22页/共62页例例3 3解解图形如下图形如下第23页/共62页注意注意:例如例如,例如例如,第24页/共62页例例4 求函数求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一充分条件第25页/共62页解解例例5 5第26页/共6

6、2页例例6 6解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值第27页/共62页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)小结小结第28页/共62页练练 习习 题题局部第29页/共62页五、最值的求法驻点驻点端点端点端点和不可导点端点和不可导点第30页/共62页则其最值只能在极值点或端点处达到 .求函数最值的方法:(1

7、)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值第31页/共62页特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)第32页/共62页应用举例解解例例1 1计算计算比较得比较得,第33页/共62页例例2 2解解第34页/共62页例例3 3解解 如图如图,第35页/共62页第36页/共62页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;第37页/共62页例例4 4某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出

8、租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为第38页/共62页（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为第39页/共62页例例5 5解解如图如图,第4

9、0页/共62页解得解得第41页/共62页小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第42页/共62页练练 习习 题题区间端点及极值点区间端点及极值点 106第43页/共62页试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为备用题备用题 1.求出该极值,并指出它是极大第44页/共62页试求解:2.故所求最大值为第45页/共62页六、曲线凹向的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?第46页/共62页曲线弧段位于任意曲线弧段位于任意点的切线的下方点的切

10、线的下方曲线弧段位于任意曲线弧段位于任意点的切线的上方点的切线的上方上凹上凹上凸上凸凹凹凸第47页/共62页七、曲线凹向的判定定理定理4 4第48页/共62页例例1 1解解注意到注意到,第49页/共62页八、曲线拐点的判定及其求法定理定理4 4注注:拐点的与二阶导数的关系拐点的与二阶导数的关系第50页/共62页例例2 2解解凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点第51页/共62页例例3 3解解凹凹凸凸拐点拐点第52页/共62页例例4 4解解凸凸凹凹拐点拐点第53页/共62页例例5.解:故曲线第54页/共62页说明:1)若在某点二阶导数为 0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:或不存在,则点第55页/共62页练练 习习 题题上凸与下凹的分界无拐点第56页/共62页内容小结内容小结1.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点第57页/共62页练习练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在第58页/共62页 ;.2.曲线曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及第59页/共62页有位于一直线的三个拐点.3.求证曲线 证明：第60页/共62页令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页