线性代数子空间.pptx

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1、例4.4.1 若 则 是 的子空间.对任意 有证明：零向量显然在H中.任取H中两个向量有由定义，H是 的子空间。第1页/共11页定理4.4.1 若是 的子空间.一般地，我们有命题：等价向量组生成相同的子空间.第2页/共11页例4.4.2 过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间.例4.4.3 在（欧式）空间中，设均是的子空间.XY平面XZ平面YZ平面一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述.两个特殊的子空间：第3页/共11页例：判别下列集合是否为向量空间.解：所以，是向量空间。(2)不是向量空间。第4页/共11页下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间.定义4.4.2 设A是mn矩阵

2、，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合.易知因此，ColA也称为A的值域空间Range(A).定理4.4.2 mn矩阵A的列空间ColA是 的子空间.记 则第5页/共11页例4.4.4因此，方程组 相容，b在ColA中.判断b是否在ColA中.解：b在ColA中当且仅当方程组 有解.第6页/共11页定义4.4.3 设A是mn矩阵，A的零空间NulA是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成的集合.即第7页/共11页定理4.4.3 矩阵A的零空间NulA是 的子空间.等价地，m个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解集是 的子空间，称为Ax=0的解空间.证明：显然，0在NulA中.所以NulA是 的子空间.任意实数k，任取NulA中两个向量第8页/共11页例4.4.5 求NulA的一个生成集.解：首先，利用初等变换可化A为行最简形取 为自由变量，则解为：第9页/共11页然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：则 是NulA的生成集.第10页/共11页感谢您的观看！第11页/共11页