线性空间及线性变换.pptx

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1、 (5)若 是线性空间V的一组基,则其中 表示由 生成的子空间.(6)若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1V2.上面的结论可推广到多个子空间的情况.(7)设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A的不变子空间的直和V=V1 V2Vs,其中:是A属于 的根子空间.第1页/共69页 2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数.(1)设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2).(2)设V1,V2,Vm是线性空间V的真子空间,则必存在 ,使 ,(3)设V1=L(u1,u2,um),v1,v2,vr是V1中的r个线性无关的向

2、量,且r0,且 的首项系数为1.).若 =1,那么 ,于是f(A)=An=0,知A必为幂零矩阵,导致矛盾.可见 ,于是将 分解为一次因式的乘积,可得A的所有的初等因子,将A的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵B,显然B是个幂零矩阵,而将A的所有的对应于非零特征值的Jordan块组成对角矩阵C,由于上三角阵C第37页/共69页 显然J为A的Jordan标准形那么存在可逆矩阵P,使得:的主对角线上没有零元,显然C可逆,令 例6.3.3(浙江大学,2004年)设V=Pnn是P上的线性空间.取定A,B,C,DPnn,对任意XPnn,令 (X)=AXB+CX+XD.求证:(1)是V的线性

3、变换.(2)当C=D=0,可逆的充要条件是|AB|0.第38页/共69页 (2)充分性 证明:(1)显然有 (X)V,知 是V上的线性变换,下面证明它必是线性的.即 为V上的线性变换.若|AB|0,那么有|A|0且|B|0,则矩阵A,B都可逆.若令Y=AXB,那么有X=A-1YB-1,于是可令 -1(X)=A-1XB-1,易验证 ,即有 可逆.第39页/共69页 特别地,取Y=In代入(I)式并在两边取行列式有|AXB|=10,显然可得|AB|0.证明:必要性.必要性:若 可逆,那么显然有 为V上的双射,且是满射,那么任取YV,存在XV使得AXB=Y (I)例6.3.4(华中科技大学,2006

4、年)设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换,W1,W2是V的子空间,并且V=W1W2,证明:有逆变换的充分必要条件是:若 有逆变换,那么 是个V上的双射,显然也是V上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线性相关性那么显然有:第40页/共69页 .即有 ,由 是个单射知 ,即有 ,由V是W1与W2的直和知 .即有 ,知 ,于是比较维数有:而若 ,那么存在 使得:也即有:充分性:若 且V=W1W2,下面证明 必可逆.由V=W1W2,不妨设dimW1=r,取W1的一组基 和W2的一组基 合起来构成V的一组基.若一个空间中的一组向量线性相关,那么这组向量在 下的象也必线性相关,那么显然有 .若

5、或 ,将导致 的矛盾,于是必有 .第41页/共69页 例6.3.5(武汉大学,2003年)设V1和V2是向量空间V的子空间,且V=V1V2(即V是V1与V2的直和),若定义映射：注意到 张成了空间 ,由 知 必线性无关,那么就构成了 的一个基.同理 构成了 的一个基,由V=W1W2 知这两组基合起来就构成了V的一组基,于是取V上的变换 如下:将V上的基 依次映射到基 显然易验证 .即有 是 的逆变换.第42页/共69页 证明:(1)f1,f2是V的线性变换.(2)f12=f1,f22=f2.(3)f1f2=f2f1=0(零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换).知f1,f2都是V的线性变换

6、.证明:(1)对 V和常数k有:第43页/共69页即知f12=f1,f22=f2.即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV.(2),有：(3),有：且有：第44页/共69页 下面证这个线性变换是唯一的.可见有S=T,即得唯一性.例6.3.6(重庆大学,2003年)设e1,e2,en是n维线性空间Vn的一组基,对任意n个向量 ,证明:存在唯一的线性变换T使得 .证明:显然 ,由于e1,e2,en是它的一组基,那么 可写为 =l1e1+l2e2+lnen (I)作Vn上的线性变换T为 ,那么显然有T()=l1T(e1)+l2T(e2)+lnT(en)若还有一个线性变换S满足 ,那么对于(I

7、)中任取的 有S()=l1S(e1)+l2S(e2)+lnS(en)第45页/共69页 例6.3.7(重庆大学,2004年)已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+k(k-1)/2a2)(1)求V的一组基.(2)定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证明:/A是一个线性变换,并求/A在V的一组基下的矩阵表示.解:(1)显然dimV=2,那么只要找到V中的两个线性无关的向量即可组成V的一组基,考查V中的两个向量:e1=(1,0),e2=(0,1).下面证明它们是线性无关的,令它们的线

8、性组合为零,有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).于是有:(k1,k1(k1-1)/2+k2)=(0,0).第46页/共69页即有e1,e2线性无关,并组成V的一组基.(2)任取(a,b),(c,d)V,kR,有/A(a,b)+(c,d)=/A(a+c,b+d+ac)=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d)=(a+c,a+b+c+d+ac)即知/A(a,b)+(c,d)=/A(a,b)+/A(c,d).那么有:易推得:而第47页/共69页 显然有:/A(k(a,b)=k/A(a,b).即知/A是个线性变换.由(1)知e1,e2

9、是V的一组基,下面求线性变换/A在这组基下的矩阵表示.由/A(e1)=/A(1,0)=(1,1),不妨设(1,1)=l1e1+l2e2 解得:l1=l2=1.而显然:/A(e2)=/A(0,1)=(0,1)=1(0,1),那么可得 于是有:即为/A在基e1,e2下的矩阵表示.第48页/共69页 例6.3.8(北京科技大学,2004年)如果 都是幂等 的线性变换.证明:(1)如果 ,则 也是幂等变换.(2)如果 是幂等变换,则 .证明:(1)若 ,那么 即 也是幂等变换.(2)(大连理工大学,2007年考过)第49页/共69页 如果 是幂等变换，则 .设全空间为V,且不妨设 为 的某个特征值,且

10、对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为 ,那么由 ,有 .也即有 ,于是 ,那么 或 .于是 的特征值只能为1或0,那么记V1和V0分别为线性变换 的对应于特征值1和特征值0的特征子空间,那么 ,有:由知于是V=V1+V0.而若 ,那么有第50页/共69页 于是有V=V1V0.即有 ,那么V1V0=0.由 易得 ,存在 ,使得 等式(I)两边同时作用 有 注意到 ,且(I)式两边同时作用 有 那么由(II)易推得 注意到 的特征值只能有1和0,那么必有 (否则 就有特征值为-1,导致矛盾),于是就有:即有:.第51页/共69页 例6.3.9(华东师范大学,2002年)设/A为数域K上的

11、n维线性空间V的一个线性变换,满足/A2=/A,C为/A在V的某组基下的矩阵,且有r(C)=r.(1)证明:(i)A+E为V的可逆线性变换;(ii)r(C)=tr(C).(2)试求|2E-C|.(E为单位矩阵或恒等变换)证明:(1)(i)显然只要证明C+I是个可逆阵即可.由/A2=/A可知C2=C.由对矩阵 作分块矩阵的初等变换可得r(C)+r(I-C)=n.若设r(C)=r,那么矩阵C对应于特征值1的线性无关的特征向量的个数为r个,对应于特征值0的线性无关的特征向量的个数为n-r个,将这些特征向量合并成可逆矩阵P,有:第52页/共69页 即知C+I可逆,那么/A+/E为V上的可逆线性变换.(

12、ii)显然由(I)式可得:(2)由(I)知:那么有:显然有:第53页/共69页考点4:特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的幂考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利用对角化形式计算矩阵的幂的考查,包含了将矩阵看成是线性变换的情形.例6.4.1(上海交通大学,2004年)对于数域P上的n维线性空间V,假设存在V上的线性变换 ,满足(1);(2)的秩小于 的秩.试证明:与 至少有一个公共的特征向量.分析:注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件.第54页/共69页 那么由题目条件可知:CB=0,r(A)r(B).下面找出A和C的一个公共的特征向量.

13、由条件CB=0知,B的列向量全属于线性方程组Cx=0的解空间,那么显然有B的列秩满足r(B)n-r(C).由r(A)r(B)知r(A)+r(C)n.证明:取定V中的一组基e1,e2,en,不妨设 在这组基下的矩阵表示分别为A,B,C.注意到V1+V2 V,显然有dim(V1+V2)dimV=n.第55页/共69页 利用维数公式 dim(V1V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)0 证明:必要性显然,下证充分性.即存在非零向量 V1V2,显然 就是属于A和C的特征值为零的公共的特征向量.那么以e1,e2,en为基,以 为坐标的V中的向量即为 与 的一个公共的特征向量.例6.4.2(

14、浙江大学,2006年)设A为实矩阵,证明存在正交矩阵G,使得G-1AG为上三角矩阵的充要条件是A的特征值均为实数.若A的特征值全为实数,对A的阶数n使用数学归纳法.n=1时结论显然成立.第56页/共69页 假设在n-1时结论成立,那么在A的阶数为n时,取A的一个特征值为 所对应的一个单位特征向量 ,显然有 ,那么将 扩充为n维列向量空间V的一组标准正交基为 ,将A看成是V上的线性变换,有:令正交阵 ,那么 .显然有矩阵 与矩阵A相似,那么它们有着相同的特征值,于是n-1阶矩阵A1的特征值必全为实数.利用归纳假设,存在正交矩阵P1使得P1-1A1P1=D为上三角矩阵,若令 ,显然G-1AG为上三

15、角矩阵.第57页/共69页 例6.4.3(北京航空航天大学,2004年)设T是n维线性空间V的一个线性变换,是T的一个特征值,是T的关于特征值 的特征子空间,证明:的维数的 重数 分析:也即特征值 的几何重数不超过其代数重数,在一般的高代书上都有解答.证明:设dim =t,且有e1,e2,et是 的一组基,由于 中的元素都是T的关于 的特征向量,那么有:将e1,e2,et扩充为V的一组基,记为e1,et,et+1,en,那么T在这组基下的矩阵表示为:第58页/共69页 注:几何重数和代数重数的定义:显然n维空间V上的线性变换 有完全的特征向量系当且仅当 有n个线性无关的特征向量.设 是V上的线

16、性变换,是 的一个特征值,V0是关于 的特征子空间,则称dimV0为 的度数(或几何重数),作为 的特征多项式根的重数称为 的重数(或代数重数).若 的任一特征值的重数等于度数,则称 有完全的特征向量系.其中,B是一个n-t阶的方阵,而A的特征多项式为:这表明 的重数至少为t,即 的维数 的重数第59页/共69页 例6.4.4(北京航空航天大学,2005年)设A,B为n阶矩阵,且A有n个互异的特征值,则A的特征向量恒为B的特征向量的充要条件是AB=BA.解:(1)必要性 注意到A有n个互异的特征值,那么意味着A有完全的特征向量系,不妨设A的一个完全特征向量系为e1,e2,en,那么由题知e1,

17、e2,en也为B的特征向量,那么不妨设:若令P=(e1,e2,en),可得:显然有:第60页/共69页 (2)充分性 若AB=BA,不妨设A的某个特征值 的某个特征向量为 ,那么显然A的特征子空间可写为 ,下面证明 必是B的一个特征向量 由AB =BA =B =B 知必有 ,注意到 是个一维的空间,那么存在某个数 使得即 必为B的一个特征向量.例6.4.5(武汉大学,2006年)设矩阵A=,其中 是n维列向量,是 的转置.又已知 .(1)证明:A2=A.(2)证明:B=E+A+A2+An是可逆矩阵,并求B-1,这里E是n阶单位矩阵.第61页/共69页 (2)显然可求得A为对称阵,且A的全部特征

18、值为0(n-1重),1(一重).那么不妨设可逆阵P使得A=Pdiag1,0,0P-1.于是有B=E+A+A2+An=Pdiagn+1,1,1P-1 显然B为可逆阵,且有:证明:(1)显然有:第62页/共69页 例6.4.6(中山大学,2007年)设A是一个nn实对称矩阵,是A的最大特征值.证明:证明:不妨设对称阵A的n个特征值为 由题知,而由A是对称阵显然存在正交矩阵Q使得:AQ=Q 设Q=,并取 显然有 构成n维列向量空间的一组基,那么向量 可由它线性表出,不妨设为:第63页/共69页 注意到:那么有:把 代入上式可得:第64页/共69页 即有:考点4:线性变换的值域、核与逆考点点拨：对线性

19、变换的值域、核的概念和性质,以及线性变换的逆变换的考查,包括对直和、可交换性、不变子空间及特征子空间等一系列概念的综合考查.例6.5.1(上海交通大学,2005年)(1)假设V是数域P上的n维线性空间,而 是V上的线性变换,且满足 ,(其中IV是V的恒等变换,i,j=1,2,3,4).求证:是 的核 与 的核 的直和.第65页/共69页 (2)假设n阶方阵A,B,C,D关于矩阵乘法相互可以交换.如果AC+BD=In,试证明:r(AB)=r(A)+r(B)-n.解:(1)首先证明是和.然后证明是直和.即是直和.,由 可得:显然由 ,且 和 可交换,有:若 ,由可交换的条件可知:第66页/共69页 (2)把A,B,C,D看成是空间Rn上的线性变换,那么利用第(1)问中直和的结果,可得dimker(AB)=dimker(A)+dimker(B)于是:n-r(AB)=n-r(A)+n-r(B).即有:r(AB)=r(A)+r(B)-n.于是V=V1+V2.例6.5.2(浙江大学,2004年)设 是线性空间V的线性变换且 .令V1=,V2=.证明:V=V1V2且对每个aV1有 .证明:有 知:而 ,由第67页/共69页 即有V1V2=0,于是V=V1V2.而若 V1V2,那么有 V使得:那么:若aV1,那么存在bV使得:于是:第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页