理学高等数学下.pptx

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1、多元函数的极限第1页/共50页说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第2页/共50页课内练习 p63,6(6)第3页/共50页确定极限不存在的方法：第4页/共50页多元函数的连续性 定义3.设 二 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称 二元函数连续.连续,第5页/共50页直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面第6页/共50页例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第7页/共50页定理：若 f(

2、P)在有界闭域 D 上连续,则*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)第8页/共50页第二节第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 第9页/共50页偏导数定义及其计算法第10页/共50页一、偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数第11页/共50页二元函数的偏导数关于x的偏增量 f(x,y)对自变量x的偏导数第12页/共50页关于y的偏增量 f(x,y)对自变量y的偏导数第13页/共50页偏导函数：第14页/共5

3、0页偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 第15页/共50页求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数第16页/共50页求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量对自变量x求导数即可。y 视为常量要求偏导数只需将自变量x暂时看成不变的常量对自变量y求导数即可。同理！第17页/共50页解解第18页/共50页课内练习解解第19页/共50页注注也可以先将也可以先将 代入，得一元函数代入，得一元函数然后对然后对x求导：求导：课内练习第20页/共50页例2证证幂函数求导公式指数函数求导公式第21页/共50页例3.求的偏导数.解:同理，由对称性，得第22页/共5

4、0页利用对称性求偏导数的一个小窍门：如果函数f(x,y)关于自变量x和y对称：则例如第23页/共50页偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,第24页/共50页二元函数偏导数的几何意义第25页/共50页导数 反映出曲线 在点P()处的倾斜程度曲线越陡，导数越大。第26页/共50页第27页/共50页第28页/共50页第29页/共50页第30页/共50页第31页/共50页二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的第32页/共50页偏导数存在与连续的关

5、系第33页/共50页、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，第34页/共50页偏导数存在与连续的关系第35页/共50页第36页/共50页高阶偏导数第37页/共50页二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:第38页/共50页类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为第39页/共5

6、0页第40页/共50页例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 第41页/共50页例如,二者不等第42页/共50页则定理.例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证明第43页/共50页例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程第44页/共50页课内练习由对称性第45页/共50页内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)第46页/共50页思考与练习解答提示:P130 题 5P130 题 5,6即 xy0 时,第47页/共50页P130 题6(1)(2)第48页/共50页作业P69 1（偶数），3，4，5第49页/共50页感谢您的观看！第50页/共50页