第 非线性系统.pptx

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1、7.1.1非线性系统的特征非线性系统的特征 当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。非线性系统。非线性特性普遍存在于控制系统中。非线性是宇宙间的普遍规律，非线性特性普遍存在于控制系统中。非线性是宇宙间的普遍规律，而线性只是对实际情况在一定条件下理想化的近似。而线性只是对实际情况在一定条件下理想化的近似。对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，它对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统的数学模型为非线的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性

2、系统的数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。性微分方程，不能使用叠加原理。第1页/共56页1.稳定性分析复杂稳定性分析复杂 非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性和和响响应应形形式式除除了了与与系系统统的的结结构构和和参参数数有有关关外外，还还与与输输入入信信号号的的大大小小及及系系统统的的初初始始条条件有关。件有关。第2页/共56页 非非线线性性元元件件的的正正弦弦响响应应会会产产生生非非线线性性畸畸变变，输输出出中中除除了了会会有与输入同频率的基波成分外，还有其它各种谐波分量。有与输入同频率的基波成分外，还有其它各种谐波分量。2.2.自持振荡自持振荡 非非线线性性系系统统响响应应除除了

3、了发发散散和和收收硷硷两两种种运运动动状状态态外外，系系统统本本身身还还会会产产生生幅幅值值、频频率率与与自自身身结结构构参参数数有有关关的的自自振振运运动动 3.3.频率响应复杂频率响应复杂第3页/共56页7.1.2 非线性系统的分析与设计方法.相平面法相平面法相平面法是推广应用时域分析法的相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。相平面法适用一种图解分析方法。相平面法适用于分析一、二阶线性或非线性系统。于分析一、二阶线性或非线性系统。l.描述函数法描述函数法描述函数法一种图解分析法，是一种工程近似方法。该方描述函数法一种图解分析法，是一种工程近似方法。该方法对于满足结构要求的一类非线

4、性系统，通过谐波线性化，法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，分析非线性系统将非线性特性近似表示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡的稳定性或自激振荡l.李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法第4页/共56页.逆系统法逆系统法逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的非线性系统

5、的运动方程，是非线性系统控制研究的一个发展方向。一个发展方向。第5页/共56页 常见非线性特性：常见非线性特性：死区死区（不灵敏区）（不灵敏区）特性特性饱和（限幅）特性饱和（限幅）特性 间隙（滞环）特性间隙（滞环）特性 继电器特性继电器特性 7.1.3 常见非线性特性第6页/共56页常见的非线性特性常见的非线性特性 死区（不灵敏区）非线性x xy y0 0k k影响：影响：提高抗扰性能提高抗扰性能 增大稳态误差增大稳态误差 第7页/共56页常见的非线性特性常见的非线性特性 饱和（限幅）非线性饱和（限幅）非线性影响：影响：增益降低稳定性提高增益降低稳定性提高 快速性和稳态精度下降快速性和稳态精度

6、下降y yx x0 0第8页/共56页常见的非线性特性常见的非线性特性 间隙非线性影响：影响：降低稳定裕量降低稳定裕量 稳态精度下降稳态精度下降yb-bxa0-ak第9页/共56页常见的非线性特性常见的非线性特性 继电特性继电特性具具有有滞滞环环的的继电特性继电特性 继电特性继电特性 理想继电特性理想继电特性有死区继电特性有死区继电特性具有死区继电特性具有死区继电特性理想继电特性理想继电特性第10页/共56页7.2描述函数法描述函数法l7.2.1 描述函数的基本概念l7.2.2 典型非线性特性的描述函数l7.2.3 非线性系统的简化l7.2.4 描述函数法分析非线性系统的稳定性第11页/共56

7、页1.1.描述函数的定义 非线性系统可变换为如图所示结构非线性系统可变换为如图所示结构:一般，一般，y(t)y(t)是一个非正弦周期函数。将是一个非正弦周期函数。将y(t)y(t)按傅立叶级数展开：按傅立叶级数展开：当当设非线性环节输入输出描述为：设非线性环节输入输出描述为：7.2.1描述函数的基本概念第12页/共56页其中，其中，A0为直流分量；为直流分量；为第为第n n次谐波分量。次谐波分量。若非线性元件具有中心对称性质，则若非线性元件具有中心对称性质，则 为奇函数，为奇函数，A00；且线性且线性部分的低通滤波性能很好，可略去部分的低通滤波性能很好，可略去y(t)y(t)中的高次谐波后中的

8、高次谐波后其中：其中：AnBn第13页/共56页 由于由于N(A)描述了非线性环节输出量的基波和输入正弦信号的幅值和相描述了非线性环节输出量的基波和输入正弦信号的幅值和相位关系，又称为非线性环节的等效幅相特性。当非线性元件用描述函数表位关系，又称为非线性环节的等效幅相特性。当非线性元件用描述函数表示后，就可用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性了。示后，就可用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性了。又由于描述函数是在只考虑基波分量，忽略高次谐波分量后得到的结又由于描述函数是在只考虑基波分量，忽略高次谐波分量后得到的结果，所以这种近视处理方法又称为果，所以这种近视处理方法又称为“

9、谐波线性化法谐波线性化法”。定义：定义：表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节输出量的为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节输出量的一次谐波分量一次谐波分量和和输输入信号入信号的复数比为非线性环节的的复数比为非线性环节的描述函数描述函数。用。用N(A)表示：表示：用函数描述法分析非线性系统的基本条件：用函数描述法分析非线性系统的基本条件：1 1）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值；）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值；2 2）线性部分的低通滤波性能很好

10、。）线性部分的低通滤波性能很好。第14页/共56页2.描述函数的求取步骤描述函数的求取步骤 1)1)取取输输入入信信号号为为 ，根根据据非非线线性性环环节节的的静静态态特特性性绘绘制制出出输输出出非非正正弦弦周周期期信信号号的的曲曲线线形形式式，根根据据曲曲线线形形式式写写出输出出输出y(t)在一周期内的数学表达式。在一周期内的数学表达式。2 2）据据非非线线性性环环节节的的静静态态特特性性及及输输出出y(t)的的数数学学表表达达式式，求求相相关关系系数数A1、B1。若若非非线线性性特特性性中中心心对对称称，则则y(t)具具有有奇奇次次对对称称性，性，A0=0。输出的基波分量为：输出的基波分量

11、为：3 3）用下式计算描述函数。用下式计算描述函数。第15页/共56页7.2.2 典型非线性特性的描述函数*理想继电器特性理想继电器特性 其输出是一个奇函数，对于任何奇函数，其输出是一个奇函数，对于任何奇函数，A A1 1=0=0。y(t)y(t)的一次谐波分量是：的一次谐波分量是：第16页/共56页*饱和特性饱和特性数学表达式：数学表达式：式中：式中：aA第17页/共56页的波形具有奇次对称性，的波形具有奇次对称性，A1=0,A0=0。饱和特性的描述函数为：饱和特性的描述函数为：第18页/共56页*死区与滞环死区与滞环继电特性继电特性数学表达式：第19页/共56页y y(t t)为奇对称函数

12、，而非奇函数，故为奇对称函数，而非奇函数，故死区滞环继电特性的描述函数为：死区滞环继电特性的描述函数为：第20页/共56页其它典型非线性特性的描述函数见表其它典型非线性特性的描述函数见表7 71 1理想继电特性（理想继电特性（h=0 h=0）死区继电特性死区继电特性(m=1)(m=1)滞环继电特性滞环继电特性第21页/共56页7.2.3 非线性系统的简化非线性系统的简化 当当系系统统由由多多个个非非线线性性环环节节和和多多个个线线性性环环节节组组合合而而成成时时，在在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。1.1.非线性特性的

13、并联非线性特性的并联N(A)N1(A)N2(A)2.2.非线性特性的串联非线性特性的串联其中：其中：第22页/共56页7.2.4非线性系统稳定性分析的描述函数法非线性系统稳定性分析的描述函数法 如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件，如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件，则可利用线性系统的频率响应法，分析非线性系统的稳定性。则可利用线性系统的频率响应法，分析非线性系统的稳定性。1.1.非线性系统的稳定判据非线性系统的稳定判据 当非线性特性采用描述函数当非线性特性采用描述函数N(A)近似近似等效时，如图所示系统的闭环特征方程为：等效时，如图所示系统的闭环特征方程为：

14、即：即：称称 为非线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线为非线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线时，曲线上箭头表示随时，曲线上箭头表示随A A增大的变化方向。增大的变化方向。就是系统线性部分的频率特性，就是系统线性部分的频率特性，相当线性系统的相当线性系统的(-1，j0)点。点。第23页/共56页非线性系统的稳定判据：非线性系统的稳定判据：若线性部分开环频率特性是稳定的，则若线性部分开环频率特性是稳定的，则1)1)如果如果 曲线曲线 不包围不包围 线，则非线性系统是稳定的。线，则非线性系统是稳定的。2)2)如果如果 曲线包围曲线包围 线，则非线性系统是不稳定的

15、。线，则非线性系统是不稳定的。3)3)如果如果 曲线与曲线与 曲线相交，则在非线性系统中产生周曲线相交，则在非线性系统中产生周期运动。期运动。1）2）3）第24页/共56页2.非线性系统存在周期运动时的稳定性分析非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 系系统统处处于于周周期期运运动动时时，如如果果该该周周期期运运动动能能够够维维持持，即即考考虑虑外外界界小小扰扰动动作作用用使使系系统统偏偏离离该该周周期期运运动动，当当该该扰扰动动消消失失后后，系系统统的的运运动动仍仍能能恢恢复复原原周周期期运运动动，则则称称为为稳稳定定的的周周期期运运动动，即即自自持持振振荡荡。振振荡荡的的振振幅幅由由交交点点

16、处处 曲曲线线对对应应的的A值值决决定定，振振荡荡的的频频率率由由交交点点处处 曲曲线线对对应应的的 值值决决定定，该该交交点点称称为为自自振振点点。否则，为不稳定工作点。否则，为不稳定工作点。如图如图7-117-11所示系统，所示系统，N N1010点为不稳定工作点，点为不稳定工作点，N N2020点为自振点。点为自振点。周期运动稳定性判据：周期运动稳定性判据：在在 曲线和曲线和 曲线的交点处，若曲线的交点处，若 曲线沿着振幅曲线沿着振幅A A增加的方向由增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点为自振点。反之，若不稳定区域进入稳定区域时，该交点为自振点。反之，若 曲线沿着振幅曲线沿着振幅

17、A增增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该交点为不稳定工作点。加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该交点为不稳定工作点。第25页/共56页非线性系统周期运动稳定性分析举例非线性系统周期运动稳定性分析举例 例例7-17-1 设具有饱和非线性特性的控制系统如图所示，设具有饱和非线性特性的控制系统如图所示，其中饱和非线性的参数其中饱和非线性的参数k2，a1，试分析：，试分析：1)1)非线性系统的稳定性；非线性系统的稳定性；2)2)若系统有自振，计算自振频率和振幅。若系统有自振，计算自振频率和振幅。解解:非线性部分非线性部分饱和非线性描述函数为：饱和非线性描述函数为：第26页/共56

18、页作负倒描述函数曲线如图。作负倒描述函数曲线如图。负倒描述函数：负倒描述函数：线性部分线性部分可见可见 曲线与实轴有交点，计算交点：曲线与实轴有交点，计算交点：第27页/共56页 由图可见，由图可见，曲线与曲线与 曲线存在交点曲线存在交点 。在该交点处，。在该交点处，曲线沿着振幅曲线沿着振幅A A增加的方向由不稳定增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，故该交点为自振点。区域进入稳定区域，故该交点为自振点。求自振荡振幅：求自振荡振幅：用试探法，可解得：用试探法，可解得：自振荡频率为交点处自振荡频率为交点处 对应的频率，即对应的频率，即 确定稳定性确定稳定性第28页/共56页7.3 相平面法7.3.

19、1 相平面的基本概念7.3.2 绘制相轨迹的方法7.3.3 相平面分析7.3.4 用相平面法分析非线性系统第29页/共56页7.3.1相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面法相平面法是一种二阶微分方程的图解法。是一种二阶微分方程的图解法。此法即可用于线性二阶系统此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统。也可用于线性部分是二阶的非线性系统。来描述，其中来描述，其中 为为 和和 的线性函数或非线性函数。上式所示系的线性函数或非线性函数。上式所示系统的时间解可用统的时间解可用 与与 的关系图来表示，也可以的关系图来表示，也可以 为参变量，用为参变量，用 和和 的关系图来表示。的

20、关系图来表示。当时间当时间 变化时，该点在变化时，该点在 平面上便描绘出一条表征系统状态变平面上便描绘出一条表征系统状态变化过程的相轨迹，化过程的相轨迹，平面称为平面称为相平面相平面，t t作为参变量在相平面上并不作为参变量在相平面上并不出现。出现。设二阶系统用下面的微分方程设二阶系统用下面的微分方程第30页/共56页其对应的在其对应的在相平面上的相平面上的曲线为：曲线为：例：二阶系统的例：二阶系统的和和曲曲线为线为这种曲线称为系统在某一这种曲线称为系统在某一初始条件下的初始条件下的相轨迹相轨迹。由于由于系统的初始条件可有无穷多个系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多因此相应的

21、相轨迹也有无穷多条条,这无穷多条相轨迹构成的这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相轨迹簇叫相平面图相平面图。第31页/共56页7.3.2绘制相轨迹的方法绘制相轨迹的方法 如可通过积分法，直接由微分方程求解如可通过积分法，直接由微分方程求解 和和 的解析关系式。的解析关系式。若可以将若可以将 分解为分解为 则可以两端同时则可以两端同时求定积分求定积分 由此可解得以由此可解得以(，)为初始条件的为初始条件的 和和 的解析关系式，即相的解析关系式，即相轨迹方程。轨迹方程。1.1.解析法解析法因为：因为：解析法解析法根据系统的微分方程求出相轨迹方程根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程然后由相

22、轨迹方程绘制相平面图。此方法仅用于简单的一绘制相平面图。此方法仅用于简单的一二阶线性系统或分段线性系统二阶线性系统或分段线性系统.第32页/共56页例如：二阶系统系统的微分方程为例如：二阶系统系统的微分方程为 可变换成可变换成 对于无阻尼情况（对于无阻尼情况（）上式可变成）上式可变成 分离变量并积分，得分离变量并积分，得 如当如当 时：时：还可以直接解微分方程求解还可以直接解微分方程求解x x，然后求，然后求dx/dtdx/dt，并消去，并消去t t。A A是由初始条件决定的积分常数。对于不同的初始条件，它表示的是由初始条件决定的积分常数。对于不同的初始条件，它表示的运动轨迹是一族同心的椭圆。

23、运动轨迹是一族同心的椭圆。第33页/共56页2.2.等倾线法等倾线法由式由式 可得可得 方程实际给出了相轨迹在相平面上任一点处方程实际给出了相轨迹在相平面上任一点处切线的斜切线的斜率。若取斜率为某一常数率。若取斜率为某一常数，则上式可改写为，则上式可改写为 称为等倾线方程称为等倾线方程 由等倾线方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线，由等倾线方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线，当相轨迹经过当相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。给定不同的给定不同的 可可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为在相平面上绘制出若干条等

24、倾线，在等倾线上各点处作斜率为 的短直的短直线。由给定的初始点线。由给定的初始点 便可沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线便可沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线方向依次画出系统的相轨迹。方向依次画出系统的相轨迹。第34页/共56页 例例7-37-3 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为 当初始条件当初始条件为为 、时，绘制系统的相轨迹。时，绘制系统的相轨迹。解：系统方程可改写为系统方程可改写为 令 可得相轨迹的等倾线方程可得相轨迹的等倾线方程 可见，等倾线方程是一条通过原点且斜率等于可见，等倾线方程是一条通过原点且斜率等于 的直线，的直线，其中其中 是通过等倾线处相轨迹斜率。取是通过等倾线处相轨

25、迹斜率。取为不同的值，有为不同的值，有1 1.2 1.4 1.8 2 2.5 3 6 9 4 2 1 0 5 2.5 1.25 1 0.67 0.5 0.2 0 0.1 0.2 0.33 0.5 1 以此可作出以此可作出 取不同值时的取不同值时的等倾线等倾线，以及等倾线上表示斜率为以及等倾线上表示斜率为的许多的许多短直线。的许多的许多短直线。第35页/共56页 从从A A点出发顺着切线方点出发顺着切线方向将各短直线光滑地连接起向将各短直线光滑地连接起来，就得到了一条从来，就得到了一条从A A点出点出发的相轨迹。如图：发的相轨迹。如图：注意点：注意点：1 1）坐标轴应选用相同；）坐标轴应选用相同

26、；2 2）在相平面的上半平面，）在相平面的上半平面，相轨迹的走向是由左向右；在相相轨迹的走向是由左向右；在相平面的下半平面，平面的下半平面，相轨迹相轨迹的走向是由右向左；的走向是由右向左；3 3）除平衡点外，相轨迹与）除平衡点外，相轨迹与x x轴垂轴垂直相交。直相交。第36页/共56页7.3.3奇点和极限环奇点和极限环1.1.奇点奇点相轨迹上每一点切线的斜率为相轨迹上每一点切线的斜率为若相平面上某点满足若相平面上某点满足即有即有的不定形式，则称该点为相平面的奇点。的不定形式，则称该点为相平面的奇点。相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可

27、以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交。而在相轨迹的非奇点相交。而在相轨迹的非奇点(称为普通点称为普通点)处，相轨迹的切线处，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。由于在奇点处的速度和加速度都为零，故奇点与系统的由于在奇点处的速度和加速度都为零，故奇点与系统的平衡状态相对应。平衡状态相对应。奇点一定位于相平面的横轴上。奇点一定位于相平面的横轴上。第37页/共56页 设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为：设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为：将上列方

28、程改写成：将上列方程改写成：上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。从式中看出在率。从式中看出在 及及 ，即坐标原点，即坐标原点(0,0)(0,0)处的处的斜率斜率 ，这说明，该点二阶系统唯一的，这说明，该点二阶系统唯一的奇点奇点。第38页/共56页 根据特征方程根的不同形式，相平面图将以不同的根据特征方程根的不同形式，相平面图将以不同的型式趋向奇点，或由奇点向外发散出去。有型式趋向奇点，或由奇点向外发散出去。有6种类型：种类型：s1s1，s2s2为共轭复数根，位于为共轭复数根，位于s s平面的左半部，奇点为稳定焦点；平面的左半部，奇点为

29、稳定焦点；s1s1，s2s2为共轭复数根，位于为共轭复数根，位于s s平面的右半部，奇点为不稳定焦点；平面的右半部，奇点为不稳定焦点；s1s1，s2s2一对实根，位于一对实根，位于s s平面的左半部，奇点为稳定节点；平面的左半部，奇点为稳定节点；第39页/共56页s1s1，s2s2为一对实根，位于为一对实根，位于s s平面的右半部，奇点为不稳定节点；平面的右半部，奇点为不稳定节点；s1s1，s2s2为共轭虚根，位于虚轴上，奇点为中心点；为共轭虚根，位于虚轴上，奇点为中心点；s1s1，s2s2为实根，一个位于左半平面，一个位于右半平面，奇点为实根，一个位于左半平面，一个位于右半平面，奇点为鞍点。

30、为鞍点。第40页/共56页2.2.极限环极限环相平面图中孤立的封闭轨迹定义为极限环，或称相平面图中孤立的封闭轨迹定义为极限环，或称“奇线奇线”。极限环。极限环的位置和形式与相平面存在的奇点共同确定了二阶非线性系统的所有运的位置和形式与相平面存在的奇点共同确定了二阶非线性系统的所有运动状态和性能。动状态和性能。根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：(1)(1)稳定极限环稳定极限环具有稳定的周期运动，自振荡具有稳定的周期运动，自振荡第41页/共56页(2)(2)不稳定极限环不稳定极限环(3)(3)半稳定极限环半稳定极限环具有

31、不稳定的周期运动具有不稳定的周期运动第42页/共56页7.3.4 由相平面求时间解由相平面求时间解为了分析与时间有关的系统性能指标，经常需要由相轨迹求出为了分析与时间有关的系统性能指标，经常需要由相轨迹求出系统的时间解。系统的时间解。设系统的相轨迹如图所示。考虑到设系统的相轨迹如图所示。考虑到 的微小增量的微小增量 及时间及时间 ，则状态由，则状态由A A点点转移到转移到B B点的平均速度为点的平均速度为可求得系统的状态由可求得系统的状态由A A转移到转移到B B所需要的时间所需要的时间 1.1.根据相轨迹的平均斜率求时间根据相轨迹的平均斜率求时间 第43页/共56页2.2.用面积法求时间用面

32、积法求时间 由由 即有即有 当图所示系统的状态由当图所示系统的状态由A A转移到转移到B B所需要的时间所需要的时间 如果以如果以 为纵坐标以为纵坐标以 为横坐标，重新绘制相轨迹，则时间间为横坐标，重新绘制相轨迹，则时间间隔隔 等于曲线等于曲线 与与 轴之间包含的面积，如图的阴影部分。轴之间包含的面积，如图的阴影部分。第44页/共56页7.3.5 7.3.5 非线性系统的相平面法分析非线性系统的相平面法分析 大多数非线性系统所含有的非线性特性具有分段特性。大多数非线性系统所含有的非线性特性具有分段特性。用相平面法分析这类系统时，常将整个相平面分成若干用相平面法分析这类系统时，常将整个相平面分成

33、若干个区城，使每一个线性微分方程在相平面上对应着一个区域。个区城，使每一个线性微分方程在相平面上对应着一个区域。这类非线性特性曲线的转折点，构成了相平面区域的分界线，这类非线性特性曲线的转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线称为开关线。只要作出每个区域内的相轨迹后，在开关线上把相应的只要作出每个区域内的相轨迹后，在开关线上把相应的相轨迹依次连接起来，就可得出系统完整的相轨迹图。相轨迹依次连接起来，就可得出系统完整的相轨迹图。对应于每个分区域，如果奇点位于该的区域以内，则该奇对应于每个分区域，如果奇点位于该的区域以内，则该奇点为点为“实奇点实奇点”；如果奇点位于相应区域之外，则表示这个区；

34、如果奇点位于相应区域之外，则表示这个区域内的相轨迹实际上不可能到达该平衡点，称为域内的相轨迹实际上不可能到达该平衡点，称为“虚奇点虚奇点”。一个系统一般只可能有一个实奇点。一个系统一般只可能有一个实奇点。第45页/共56页例例7-57-5 设具有饱和特性的非线性控制系设具有饱和特性的非线性控制系统如图所示。给定参数统如图所示。给定参数T T0.50.5，K K0.250.25。设系统初始状态为零，试用相平面法分设系统初始状态为零，试用相平面法分析系统在阶跃输入作用下的响应特性。析系统在阶跃输入作用下的响应特性。解：解：线性部分的微分方程为线性部分的微分方程为微分方程可表示为：微分方程可表示为：

35、根据饱和非线性特性，有根据饱和非线性特性，有第46页/共56页 线性区系统方程为线性二阶微分方程，其特征根线性区系统方程为线性二阶微分方程，其特征根s1s1，2 2-1-1j j2 2，为，为欠阻尼情况。欠阻尼情况。第47页/共56页负饱和区和正饱和区的等倾向方程为：负饱和区和正饱和区的等倾向方程为：第48页/共56页由零初始条件和输入由零初始条件和输入 ，得，得 设设R0=3可可绘制系统的相轨迹如图绘制系统的相轨迹如图所示，曲线所示，曲线为无限幅时特性为无限幅时特性。第49页/共56页7.4 7.4 非线性特性的利用非线性特性的利用 在控制系统中引入特殊形式的非线性在控制系统中引入特殊形式的

36、非线性元件能使系统的控制性能得到改善。元件能使系统的控制性能得到改善。在某些系统中往往用一些极为简单的在某些系统中往往用一些极为简单的装置便能使系统的控制性能得到大幅装置便能使系统的控制性能得到大幅度的提高，成功地解决了系统快速性度的提高，成功地解决了系统快速性和振荡度之间的矛盾。但若采用线性和振荡度之间的矛盾。但若采用线性补偿装置来达到同样的效果时，其形补偿装置来达到同样的效果时，其形式将十分复杂。式将十分复杂。第50页/共56页非线性补偿控制非线性补偿控制变增益非线性控制变增益非线性控制 第51页/共56页7-5 基于Simulink的非线性系统分析 MATLABMATLAB中的中的Sim

37、ulinkSimulink提供了一些常用的非线性仿真模块，利用这提供了一些常用的非线性仿真模块，利用这些模块可以形象、直观、方便地对非线性系统进行分析。些模块可以形象、直观、方便地对非线性系统进行分析。非线性模块库在非线性模块库在SimulinkSimulink模块库中又称为不连续模块模块库中又称为不连续模块（DiscontinutiesDiscontinuties），模块库的内容如图所示。该模块库中主要），模块库的内容如图所示。该模块库中主要包含常见的非线性模块，如饱和非线性模块（包含常见的非线性模块，如饱和非线性模块（SaturationSaturation），死），死区非线性模块（区非线

38、性模块（Dead ZoneDead Zone），继电非线性模块（），继电非线性模块（RelayRelay），磁滞），磁滞回环模块（回环模块（BacklashBacklash）等）等。第52页/共56页例例7-77-7 具有继电器特性的非线性系统如图具有继电器特性的非线性系统如图7-317-31所示，输入所示，输入为阶跃信号，试利用为阶跃信号，试利用SimulinkSimulink在平面上作出相轨迹。在平面上作出相轨迹。SimulinkSimulink仿真模型为：仿真模型为：第53页/共56页解解 由图由图7-317-31所示系统作出的所示系统作出的SimulinkSimulink仿真模型如图仿

39、真模型如图7-327-32所示。仿真时间取所示。仿真时间取8 8秒，启动仿真后在秒，启动仿真后在X-YX-Y绘图仪将显示出绘图仪将显示出系统在平面的相轨迹。图系统在平面的相轨迹。图7-33a7-33a是输入信号为单位阶跃时是输入信号为单位阶跃时的相轨迹，图的相轨迹，图7-33 b7-33 b是输入信号为是输入信号为 时的相时的相轨迹。轨迹。a)b)第54页/共56页从图中可以看出从图中可以看出，系统存在一个封闭的相轨迹。由，系统存在一个封闭的相轨迹。由于在它外面和里面的相轨迹都逐渐趋近它，所以这于在它外面和里面的相轨迹都逐渐趋近它，所以这条封闭曲线是一个稳定的极限环，它对应一个自持条封闭曲线是一个稳定的极限环，它对应一个自持振荡。不论初始条件如何，该系统都产生自持振荡，振荡。不论初始条件如何，该系统都产生自持振荡，振荡的周期和振幅仅取决于系统的参数而与初始振荡的周期和振幅仅取决于系统的参数而与初始条件无关。条件无关。第55页/共56页感谢您的观看！第56页/共56页