球的表面积与体积.pptx

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1、第1页/共22页假设将圆假设将圆n等分，则等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾：圆面积公式的推导第2页/共22页 延伸阅读：割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。思考：能否也采取“分割”与“极限”思想，推导球的体积公式？第3页/共22页把半球分割成n个薄片 当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。第4页/共22页OR当n时

2、，每个薄片近似于圆柱设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层（由下而上），如右图。厚度：下底面半径：体积：第5页/共22页球的体积公式第6页/共22页用“祖暅原理祖暅原理”得到球体积公式R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比第7页/共22页球的表面积公式推导球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?从球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。第8页/共22页则球的体积为：O OO O球的表面积公式推

3、导第9页/共22页基本计算问题1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O O2.(1)把球的半径扩大为原来的把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的倍，则体积扩大为原来的_倍倍.(2)把球队表面积扩大到原来的把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来倍，那么体积扩大为原来的的_倍倍.(3)三个球的表面积之比为三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为，则它们的体积之比为_.(4)三个球的体积之比为三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为，则它们的表面积之比为_.第10页/共22

4、页用一个平面去截一个球O，截面是圆面O球的截面的性质：球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则截面问题第11页/共22页截面问题1.一球的球面面积为256cm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积.两种情况2.过球面上三点过球面上三点A、B、C的截面和球心的截面和球心O的距离等于球的距离等于球的半径的一半，且的半径的一半，且ABBCCA3，求球的体积，求球的体积.变式

5、：在半径为变式：在半径为13cm的球面上有的球面上有A、B、C三点，三点，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求经过，求经过A、B、C三点三点的截面与球心的截面与球心O之间的距离之间的距离.要点：准确画图，利用基本三角形第12页/共22页“接”与“切”：两个几何体相（内）切相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题第13页/共22页球与正方体的“接切”问题典型典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶

6、点,求这三个球的体积之比.画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面找准数量关系第14页/共22页球与正方体的“接切”问题第15页/共22页四面体与球的“接切”问题典型典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法第16页/共22页四面体与球的“接切”问题此页不讲，留给以后专题课此页不

7、讲，留给以后专题课第17页/共22页球与旋转体的“接切”问题1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D点，将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台侧面积的比为3:4，求球的体积与圆台体积之比.2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？轴截面第18页/共22页球堆问题1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的距离.2.四个半径为R的大球上层一个，下层三个两两相切叠放

8、在一起，在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个大球都内切，求小球的半径r和更大球的半径R.化归为以各球球心为顶点的多面体问题此页此页2 2不讲，留给以后专题课不讲，留给以后专题课第19页/共22页平行于底面的截面与底面相似，且平行于底面的截面与底面相似，且SS1当平行于底面的截面过棱锥高当平行于底面的截面过棱锥高的中点时，这个截面常被称为的中点时，这个截面常被称为中截面，思考：中截面，思考：锥体截面性质第20页/共22页锥体截面问题1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1:3，这截面把圆锥母线分成为两段的比是多少？变式：棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截面面积为54cm2，若底面和截面的距离为14cm，求这个棱锥的高第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页