理学导数与微分.pptx

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1、记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,第1页/共74页二、高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.第2页/共74页例例2 2解第3页/共74页例例3 3解解注意注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)第4页/共74页例例4 4解解同理可得第5页/共74页例例5 5解解第6页/共74页2.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式第7页/共74页例例6 6解解第8页/共74页3.3.间接法间接法:常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公

2、式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.第9页/共74页例例7 7解解第10页/共74页例例8 8解解第11页/共74页三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.第12页/共74页思考题思考题设 连续，且 ，求 .第13页/共74页思考题解答思考题解答可导不一定存在故用定义求第14页/共74页练练 习习 题题第15页/共74页第16页/共74页第17页/共74页练习题答案练习题答案第18页/共74页第19页/共74页第20页/共74页第五节：隐函数及参数方程求导第21页/共74页一、隐函数的导数定义定义:隐函数的显化问

3、题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第22页/共74页例例1 1解解解得第23页/共74页例例2 2解解所求切线方程为显然通过原点.第24页/共74页例例3 3解解第25页/共74页二、对数求导法观察函数方法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:第26页/共74页例例4 4解解等式两边取对数得第27页/共74页例例5 5解解等式两边取对数得第28页/共74页一般地第29页/共74页三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导

4、?第30页/共74页由复合函数及反函数的求导法则得第31页/共74页第32页/共74页例例6 6解解第33页/共74页 所求切线方程为第34页/共74页例例8 8解解第35页/共74页四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?第36页/共74页五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第37页/共74页思考

5、题思考题第38页/共74页思考题解答不对第39页/共74页练练 习习 题题第40页/共74页第41页/共74页第42页/共74页练习题答案练习题答案第43页/共74页第44页/共74页第七节：函数的微分第45页/共74页一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.第46页/共74页再例如,既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?第47页/共74页二、微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)第48页/共74页由定义知由定义知:第49页/共74页三、可微的条件定理定理证证(1)必要性第50页/共74页(2)充分

6、性第51页/共74页例例1 1解解第52页/共74页四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图)P 第53页/共74页五、微分的求法求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式第54页/共74页2.函数和、差、积、商的微分法则第55页/共74页例例2 2解解例例3 3解解第56页/共74页例例4 4解解例例3 3解解第57页/共74页例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.第58页/共74页小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科

7、学,叫做微分学.导数与微分的联系:第59页/共74页导数与微分的区别:第60页/共74页思考题思考题第61页/共74页思考题解答思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.第62页/共74页练练 习习 题题第63页/共74页第64页/共74页练习题答案练习题答案第65页/共74页第66页/共74页六、微分在近似计算中的应用第67页/共74页一、计算函数增量的近似值例例1 1解解第68页/共74页二、计算函数的近似值例例1 1解解第69页/共74页第70页/共74页常用近似公式常用近似公式证明证明第71页/共74页例例2 2解解第72页/共74页小结近似计算的基本公式第73页/共74页感谢您的观看！第74页/共74页