第八章第六节.pptx

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1、1.椭圆的第二定义第二第二定义定义 平面内当点平面内当点M M与一个与一个_的距离和它到的距离和它到_的的距离的比是常数距离的比是常数e(_)e(_)时，这个点的轨迹是椭圆时，这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的定点是椭圆的_，定直线叫椭圆的，定直线叫椭圆的_，常数是，常数是椭圆的椭圆的_.焦半焦半径径 左焦半径左焦半径MFMF1 1=a+ex=a+ex0 0，右焦半径右焦半径MFMF2 2=a-ex=a-ex0 0 上焦半径上焦半径MFMF2 2=a-ey=a-ey0 0，下焦半径下焦半径MFMF1 1=a+ey=a+ey0 0 准线准线方程方程 x=_x=_y=_y=_通径通径 过焦点垂直于长

2、轴的弦叫通径，其长为过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为_定点一条定直线0ea,故(4)正确.答案:(1)(2)(3)(4)第4页/共68页1.已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为5，则点P到右准线的距离为_.【解析】由已知易得P到椭圆右焦点的距离为10-5=5,答案:第5页/共68页2.设P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，F1是椭圆的右焦点，且 则点P到该椭圆左准线的距离为_.第6页/共68页【解析】由题设易知M是PF的中点，且OMPF，由OM=知，PF=2MF=2 =2，又知椭圆的离心率 由椭圆的第二定义得：点P到椭圆左准线的距离答案:第7页/共68页3.已知A，B为椭圆C：的长轴的两

3、个端点，P是椭圆C上的动点，且APB的最大值是 则实数m的值是_.【解析】P位于短轴的端点时，APB取得最大值，根据题意则有答案：第8页/共68页4.过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_.【解析】将椭圆与直线方程联立 得交点A(0，-2)，故SOAB=OF|y1-y2|=答案:第9页/共68页5.过椭圆 的左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆交于A，B两点，则弦长AB=_.【解析】由已知可得：a2=4,b2=3,c2=4-3=1,椭圆的左焦点为F1(-1，0)，则直线方程为：y=x+1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由得7x2+8x

4、-8=0,故x1+x2=x1x2=第10页/共68页AB=答案:第11页/共68页考向 1 椭圆中的最值与范围问题【典例1】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.(2)如图，已知椭圆C:(ab0)的左顶点，右焦点分别为A,F，右准线为m.圆D：x2+y2+x-3y-2=0.第12页/共68页若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程；若直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围.【思路点拨】(1)由 =0可得出MF1MF2，又点M总在椭圆内部，由此可建立不等式找出a,c的关系，求得e的范围.(2)确定A，F点的坐标a,cb方程；

5、由AFQ不可为等腰三角形FK(K为m与x轴的交点)FAa,c的不等式e的不等式e的范围.第13页/共68页【规范解答】(1)=0，MF1MF2.点M在以O为圆心，以c为半径的圆上.点M总在椭圆内部，c2c2,e=又e0,0e答案：0e 第14页/共68页(2)圆x2+y2+x-3y-2=0与x轴的交点坐标为A(-2,0)，F(1,0)，故a=2,c=1，所以b=所以椭圆C的方程是：设直线m与x轴的交点是K，依题意FKFA，即 -ca+c,a+2c,1+1+2e,2e2+e-10，解得0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆

6、方程.(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P.证明：为定值.(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第24页/共68页【思路点拨】(1)由已知得：a=2,b=c，从而可求出a,b得椭圆方程.(2)设参数，想法把已知条件表达出来，把所求的表达出来，通过减元化为与参数无关的定值即可.(3)假设存在Q的坐标为Q(m,0)，由MQDP列出m的方程，然后转化为此方程是否有解的问题.第25页/共68页【规范解答】(1)a=2，b=c，a2=b2+c2

7、,b2=2,椭圆方程为 =1.(2)C(-2,0)，D(2,0),设M(2,y0)，P(x1,y1)，则 =(x1,y1),=(2,y0).直线CM：即 代入椭圆x2+2y2=4得第26页/共68页x1(-2)=x1=y1=第27页/共68页(3)设存在Q(m,0)满足条件，则MQDP.=(m-2,-y0)，则由 =0得从而得m=0.存在Q(0,0)满足条件.第28页/共68页【拓展提升】解决有关椭圆中的定值问题的策略(1)由于定点、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是选择合适的参数

8、表示变化的量.(2)当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标.第29页/共68页【变式训练】(2013盐城模拟)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=一条准线的方程是第30页/共68页(1)求该椭圆的标准方程.(2)设动点P满足：其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l:x=的距离之比为定值?若存在，求F的坐标;若不存在，说明理由.第31页/共68页【解析】(1)由 解得a=2,c=b2=a2-c2=2,故椭圆的标准方程为：(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x

9、2,y2),则由 得：(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2),即x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点M，N在椭圆上，所以x12+2y12=4,x22+2y22=4,第32页/共68页故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOMkON=因此x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20.第33页/共68页所以P点是椭圆 上的点，该椭圆的右焦点

10、为(0)，离心率e=直线l:x=是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(0)，使得PF与P点到直线l的距离之比为定值.第34页/共68页考向 3 直线与椭圆的位置关系【典例3】设椭圆C1:(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2，下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点.(1)求椭圆C1的方程.(2)设M(0，),N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，求MPQ面积的最大值.第35页/共68页【思路点拨】(1)求出y=x2-1与x轴，y轴的交点坐标得到c,b的值，再根据a2=

11、b2+c2求出a,代入C1的方程.(2)设N(t,t2-1)，建立过点N的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系设而不求，整体代入求得PQ，进而用点到直线的距离公式求出点M到直线PQ的距离d,从而得SMPQ=PQd求解.第36页/共68页【规范解答】(1)由题意可知B(0,-1)，则A(0，-2),故b=2.令y=0得x2-1=0即x=1，则F1(-1,0),F2(1,0)，故c=1.所以a2=b2+c2=5.于是椭圆C1的方程为:第37页/共68页(2)设N(t,t2-1),由于y=x2-1,y=2x,知直线PQ的方程为:y-(t2-1)=2t(x-t),即y=2tx-t2-1.代入椭

12、圆方程 整理得:4(1+5t2)x2-20t(t2+1)x+5(t2+1)2-20=0,其中=400t2(t2+1)2-80(1+5t2)(t2+1)2-4=80(-t4+18t2+3),第38页/共68页设P(x1,y1),Q(x2,y2),则故PQ=设点M到直线PQ的距离为d,则第39页/共68页所以,MPQ的面积S=当t2=9即t=3时取到“=”，经检验此时0，满足题意.综上可知,MPQ的面积的最大值为第40页/共68页【拓展提升】1.直线与椭圆位置关系判断的四个步骤第一步：建立直线与椭圆的方程;第二步：联立直线方程与椭圆方程；第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；第四步：当0时

13、，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.第41页/共68页2.直线与椭圆相交时有关弦长、中点问题的处理方法【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.涉及问题涉及问题处理方法处理方法弦长弦长根与系数的关系、弦长公式根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点中点弦或弦的中点点差法点差法 第42页/共68页【变式训练】(2013盐城模拟)已知椭圆 (ab0)的离心率为 且过点 记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程.(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值.(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭

14、圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点.第43页/共68页【解析】(1)由 解得所以椭圆的方程为x2+2y2=1.(2)设B(m,n),C(-m,n),则SABC=2|m|n|=|m|n|.又1=m2+2n2所以|m|n|当且仅当|m|=时取等号，从而SABC 即ABC面积的最大值为第44页/共68页(3)因为A(-1，0)，所以AD：y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1),由 消去y，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0,解得x=-1或点同理，有 而k1k2=2,直线DE的方程为第45页/共68页即即 所以(2k12+4)y=k1(3x+5),则由

15、得直线DE恒过定点第46页/共68页【满分指导】直线与椭圆相交的规范性解答【典例】(14分)(2012陕西高考)已知椭圆C1:椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程.(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，求直线AB的方程.第47页/共68页已知条件已知条件条件分析条件分析C C1 1:得其长轴长为得其长轴长为4,4,离心率为离心率为C C2 2以以C C1 1的长轴为短轴，的长轴为短轴，且与且与C C1 1有相同的离心率有相同的离心率得到得到C C2 2的短轴长为的短轴长为4,4,即即b=2,b=2,离心率为离心率为 可求出可求出a.a.知知

16、O,A,BO,A,B三点共线且点三点共线且点A A，B B不在不在y y轴上，轴上，从而可设直线从而可设直线ABAB方程为方程为y=kx.y=kx.点点A A，B B分别在椭圆分别在椭圆C C1 1和和C C2 2上上得得A,BA,B为直线为直线ABAB分别与分别与C C1 1和和C C2 2的交点，的交点，且交点适合且交点适合C C1 1和和C C2 2的方程的方程.【思路点拨】第48页/共68页【规范解答】(1)由已知可设椭圆C2的方程为 (a2),2分其离心率为 故 =则a=4,4分故椭圆C2的方程为 5分(2)方法一:A，B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)

17、知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.7分第49页/共68页将y=kx代入 +y2=1中,得(1+4k2)x2=4，所以 .9分将y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以 .又由 得xB2=4xA2，即12分解得k=1，故直线AB的方程为y=x或y=-x.14分第50页/共68页方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA)，(xB,yB)，由 及(1)知，O，A，B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.7分将y=kx代入 +y2=1中，得(1+4k2)x2=4，所以 ,9分由 得将xB2,yB2代入 中，得 即4+k2

18、=1+4k2,12分解得k=1，故直线AB的方程为y=x或y=-x.14分第51页/共68页【失分警示】(下文见规范解答过程)第52页/共68页1.(2012 四川高考)椭圆 的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_.【解析】当直线x=m过右焦点(1，0)时，FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a=8，此时AB=SFAB=23=3.答案:3第53页/共68页2.(2013 徐州模拟)椭圆 (ab0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围为_.【解析】设P(x0,y0),则P

19、F=a-ex0，又点F在AP的垂直平分线上，a-ex0=x0=又-ax0a,-a a,-1又0e1,eb0)的左顶点为A，左、右焦点为F1，F2，D是短轴的一个顶点，若 则该椭圆的离心率为_.【解析】由题意设D(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),A(-a,0),=(-3c,-3b),=(2c-a,-3b),-3c=2c-a,即a=5c,e=同理，当D为(0，-b)时，e=答案:第60页/共68页2.过椭圆C：(ab0)的左顶点A，斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若 则该椭圆的离心率的取值范围为_.【解析】由题意：答案:第61页/共68页3.圆锥

20、曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知点P(x0,y0)，M(m,n)是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0).第62页/共68页(1)试用x0,y0,m,n的代数式分别表示xE和xF.(2)已知“若点P(x0,y0)是圆C：x2+y2=R2上的任意一点(x0y00)，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xExF=R2”.类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为 (ab0)(如图)，则xExF也是与点M，N，P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明.第63页/共68页【解析】(1)因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N(m,-n)，则lMP：y-n=(x-m),令y=0,则xE=同理可得：xF=第64页/共68页(2)由(1)可知：xExF=M,P在曲线C:上，则 =a2(定值).xExF也是与点M,N,P位置无关的定值.第65页/共68页第66页/共68页第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页