第讲 直角坐标系下三重积分的计算.pptx

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1、定义定义.设设存在存在,称为称为体积元素体积元素,若对若对 作作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列下列“乘乘中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在使得使得V 为为 的的体积体积,积和式积和式”极限极限记作记作第1页/共25页思考题思考题第2页/共25页第3页/共25页二、直角坐标系下三重积分的计二、直角坐标系下三重积分的计算算方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截

2、面法(“先二后一先二后一”)先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数的密度函数,方法方法:第4页/共25页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为该物体的质量为细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作记作第5页/共25页得得 ,以以 的边界为的边界为准线母线平行于准线母线平行于z轴轴的柱面把的柱面把 分为下上分为下上两个边界：两个边界：设设 如图如图,将将 向向xoy面投影，面投影，第6页/

3、共25页则则于是，积分区域可表示为于是，积分区域可表示为(先一后二）先一后二）第7页/共25页根据根据D是是X型域或型域或Y型域确定二重积分的型域确定二重积分的积分限，就得到三重积分公式积分限，就得到三重积分公式.若若D为为X型域，则有型域，则有这是先对这是先对z，次对，次对y，最后对，最后对x的三次积分的三次积分第8页/共25页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底为底,d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该物体的质量为面密度面密度记作记作第9页/共25页 设区域 的z值的最大值和最小值为 和 ，过 内任一点z，作水平平面与 交出截面 ，就是二重积分的

4、积分区域.先在先在 上对上对x,y积分然后在积分然后在 上对上对z积分积分.第10页/共25页这样得到这样得到先求出先求出 上的二重积分再求定积分上的二重积分再求定积分.先二后一先二后一此法常用于此法常用于 上的二重积分易求的情形上的二重积分易求的情形第11页/共25页小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”具体计算时应根据具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择.第12页/共25页例例1 计算计算 ,其中其中 为三个坐标面为三个坐标面及平面及平面x2yz1所围成的区域。所围成的区域。解

5、解 在在xoy面上的投影为面上的投影为若若 看成看成X型域，则型域，则第13页/共25页第14页/共25页例例2 计算计算 ，其中，其中 是由椭球是由椭球面面 所围成的空间闭区域。所围成的空间闭区域。解解 z的最小值和最大值为的最小值和最大值为 和和 ，即，即第15页/共25页的面积为的面积为第16页/共25页解解如图，如图，思考：思考：第17页/共25页例例4 将将 化为直角坐标系下的化为直角坐标系下的三次积分，其中三次积分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域。围成的区域。的下底是的下底是xyz1，上底是上底是z1，解解 的投影的投影 是是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域围成的三角形域，第18页/共25页第19页/共25页解解第20页/共25页第21页/共25页解解第22页/共25页第23页/共25页第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页