选修杨辉三角与二项式系数性质.pptx

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1、复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式:二项式系数通 项第1页/共19页计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表，你发现了什么？n (a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有对称性对称性,除此以外还有什么规律呢?第2页/共19页1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:1 7 21 35 35 21 7 1 1 Cn-11

2、Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 第3页/共19页能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:第4页/共19页1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.第5页/共19页杨辉三角 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉126

3、1 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：第6页/共19页二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201第7页/共19页1.对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：二项式系数的性质f（r）r63O615201第8页/共19页2.增减性与最大值增减性与最大值 所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质由：可知，当 时，二项式系数二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,

4、且中间项取得最大值。第9页/共19页f（r）rnOOnf（r）n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值第10页/共19页3.各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质第11页/共19页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，第12页/共19页例1.证明:在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和

5、等于偶数项的二项式系数的和=2n-1在展开式证明:得即所以赋值法赋值法即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和第13页/共19页课堂练习：1）已知 ，那么 =；2）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；第14页/共19页3.在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是().A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项C4.在(ab)10展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A5.在(ab)10展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D

6、第5项和第7项D6.在(ab)11展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项C7.在(ab)11展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项B第15页/共19页例例2、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。第16页/共19页9.若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.解：解：展开式

7、中各项的二项式系数与该项的展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等的系数相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有两个中间项分别为有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x 8.求二项式(2-3x)10展开式所有项系数的和第17页/共19页 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页