算法案例时学习.pptx

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1、第1页/共18页1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）第2页/共18页2.思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.第3页/共18页1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出8256和6105的最大公约数.第4页/共18页辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和61

2、05的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=61051+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。第5页/共18页完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例2 用辗转相除法求22

3、5和135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成 除数S3：重复S1，直到余数为0第6页/共18页 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+

4、0m=n q r用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否第7页/共18页1 1、辗转相除法（欧几里得算法）、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。第8页/共18页（2 2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.第9页/共1

5、8页（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND开始输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是否 n=r 输出m结束第10页/共18页九章算术更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最

6、大公约数。第11页/共18页2、更相减损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。第12页/共18页（2）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.第13页/共18页（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a

7、,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND开始输入a,bab?是否 输出b结束 b=ra=br=a-brb?a=r否是第14页/共18页例例3 3 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公

8、约数等于的最大公约数等于7 7 用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272的最大公约数的最大公约数 练习：练习：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4第15页/共18页例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。第16页/共18页比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到差相等而得到小结小结第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页