概率论复习学习教案.pptx

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1、会计学1概率论复习概率论复习(fx)第一页，共176页。教学教学(jio xu)安排：安排：教材与参考书：教材与参考书：吴群英等，应用数理统计，天津大学吴群英等，应用数理统计，天津大学(tin jn d xu)出版社出版社邰淑彩等，应用数理统计（第二版），武汉邰淑彩等，应用数理统计（第二版），武汉大学出版社，大学出版社，2005张忠占等，应用数理统计，机械工业出版社张忠占等，应用数理统计，机械工业出版社茆诗松茆诗松,概率论与数理统计概率论与数理统计,中国统计出版社中国统计出版社 共共54学时学时(xush)第1页/共175页第二页，共176页。内容内容(nirng)概率论的基本概念概率论的基本

2、概念随机随机(su j)变（向）量及其分布变（向）量及其分布随机变量函数随机变量函数(hnsh)的分布的分布数字特征及其特征函数数字特征及其特征函数大数定理及中心极限定理大数定理及中心极限定理概概率率论论第一章第一章 概率论知识概率论知识第2页/共175页第三页，共176页。第二章第二章 数理统计数理统计(sh l tn j)的基本概念的基本概念第三章第三章 参数估计参数估计 第四章第四章 假设检验假设检验数数理理统统计计(sh l tn j)第五章第五章 方差分析方差分析第六章第六章 回归回归(hugu)分析分析 第七章第七章 正交实验设计法正交实验设计法 第3页/共175页第四页，共176

3、页。第一章第一章 概率论补充概率论补充(bchng)(bchng)知识知识1.1.概率空间概率空间2.2.随机变（向）量及其分布随机变（向）量及其分布3.3.随机变量的独立性随机变量的独立性4.4.随机变量函数随机变量函数(hnsh)(hnsh)的分的分布布5.5.数字特征与特征函数数字特征与特征函数(hnsh)(hnsh)6.6.多元正态分布极其性质多元正态分布极其性质7.7.极限定理极限定理第4页/共175页第五页，共176页。第一节第一节 概率概率(gil)(gil)空间空间一、样本空间与事件一、样本空间与事件(shjin)(shjin)域域例如在几何概型中就不能把不可度量例如在几何概型

4、中就不能把不可度量(dling)(dling)的子的子集作为事件。集作为事件。定义定义1 1 设设 是样本空间，是样本空间，F是由是由 的一些子的一些子 集构成的集类，如果满足下列条件：集构成的集类，如果满足下列条件：因此我们可以理解，事件是因此我们可以理解，事件是 中满足某些条件的子中满足某些条件的子集。为此下面介绍集。为此下面介绍事件域事件域的概念。的概念。事件是样本空间事件是样本空间 的一个子集，反之未必成立。的一个子集，反之未必成立。第5页/共175页第六页，共176页。则称则称F为事件为事件(shjin)域，域，F中的元素称为事件中的元素称为事件(shjin)，称为必然事件称为必然事

5、件(shjin)。一般对满足上述条件一般对满足上述条件(tiojin)的集类称为的集类称为 -域，域，所以所以(suy)事件域是一个事件域是一个 -域。域。第6页/共175页第七页，共176页。它具有它具有(jyu)下列性下列性质：质：第7页/共175页第八页，共176页。第8页/共175页第九页，共176页。二、概率的定义二、概率的定义(dngy)及性质及性质定义定义(dngy)2(dngy)2(可列可加性可列可加性)设设 是给定是给定(i dn)(i dn)的样本空间，的样本空间，个事件域，个事件域，是定义在是定义在 F F上一个实值集上一个实值集函数函数,如果它满足条件：如果它满足条件：

6、F F是是 中的一中的一则有（非负性）（非负性）（规范性）（规范性）则称则称P(A)是事件是事件A的概率（简称为概率）的概率（简称为概率）.第9页/共175页第十页，共176页。描述一个随机实验描述一个随机实验(shyn)的三个基本组成部分：的三个基本组成部分：事件(shjin)域F概率(gil)P概率空间概率空间第10页/共175页第十一页，共176页。设设 是概率是概率(gil)空间，概率空间，概率(gil)P有如下性质：有如下性质：则第11页/共175页第十二页，共176页。这个结论这个结论(jiln)可推广为：可推广为：第12页/共175页第十三页，共176页。定义定义(dngy(dn

7、gy)性质性质(xngzh)(xngzh)为在事件为在事件 发生的条件下发生的条件下,事件事件2 2）3)3)设设 互不相容，互不相容，B B发生发生(fshng)(fshng)的条件概率的条件概率.设设 是两个随机事件是两个随机事件,且且 则称则称1)1)对于任一事件对于任一事件 ,4)4)三、条件概率与事件的独立性三、条件概率与事件的独立性1、条件概率、条件概率第13页/共175页第十四页，共176页。得得推广推广(tugung)（1）乘法）乘法(chngf)公式公式由由第14页/共175页第十五页，共176页。(2)(2)全概率全概率(gil)(gil)公公式式定理定理(dngl)(dn

8、gl)为为 的一个的一个划分划分,设随机试验设随机试验 的样本空间为的样本空间为 为为 的任意一事件的任意一事件,理论和实用意义：在较复杂理论和实用意义：在较复杂(fz)(fz)情况下直接计算情况下直接计算P(A)P(A)不易，不易，但但A A总是伴随着某些总是伴随着某些 出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组 往往往往可以使问题简化。可以使问题简化。第15页/共175页第十六页，共176页。（3 3）贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)(gngsh)引例引例(yn l)(yn l)2 23 31 11 1红红4 4白白?任取一箱子任取一箱子(xing zi)(xing zi)，再从，

9、再从 中任取一球中任取一球,发现是红球，发现是红球，求该球取自一号箱的概率求该球取自一号箱的概率.解解 设设=“=“球取自球取自 号箱号箱”=“=“取得红球取得红球”求求 运用全概率公式运用全概率公式 计算计算已知已知“结果结果”求求“原因原因”贝叶斯公式贝叶斯公式 第16页/共175页第十七页，共176页。贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)(gngsh)则则为为 的一个划分的一个划分,设随机试验设随机试验 的样本空间为的样本空间为 ,它是在观察到事件它是在观察到事件(shjin)A(shjin)A已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致A A发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率

10、。第17页/共175页第十八页，共176页。2 2 事件事件(shjin)(shjin)的相互的相互独立性独立性1 1）掷一颗均匀）掷一颗均匀(jnyn)(jnyn)的骰子两次的骰子两次,可知可知(k zh)(k zh)2 2）掷甲乙两枚掷甲乙两枚骰子骰子,可知可知 =甲掷出偶数点甲掷出偶数点 =乙乙掷出掷出偶数点偶数点=第一次掷出第一次掷出6 6 点点=第二次第二次掷出掷出6 6点点 一般地一般地第18页/共175页第十九页，共176页。定义定义定义定义(dngy)(dngy)(dngy)(dngy)例例1 1 从一副从一副(y f)(y f)不含大小王的扑克牌中任取一不含大小王的扑克牌中任

11、取一张，张，解解 设设 是两个事件是两个事件,如果如下等式成立如果如下等式成立则称则称事件事件 相互独立相互独立。记记 =抽到抽到 ,=,=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 问事件问事件(shjin)A,B(shjin)A,B是否相互独立？是否相互独立？即即事件事件A,B相互独立相互独立第19页/共175页第二十页，共176页。多个多个(du)(du)事件的事件的独立性独立性若下面四个等式若下面四个等式(dngsh)(dngsh)同时成立同时成立实质实质(shzh):(shzh):任何事件发生的概率都不受其它事件发任何事件发生的概率都不受其它事件发 生与否的影响生与否的影响两两独立两两独立相互

12、独立相互独立第20页/共175页第二十一页，共176页。定义(dngy)成立，则称n个事件相互独立.若它们之中的任意(rny)有限个事件独立(dl)，则称事件序列独立.包含等式总数为：包含等式总数为：第21页/共175页第二十二页，共176页。事件独立事件独立(dl)的性的性质质第22页/共175页第二十三页，共176页。一、随机变量一、随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)及其分布及其分布 二、随机向量二、随机向量(xingling)(xingling)及及其分布其分布 三、边际三、边际(binj)(binj)分布分布 四、四、条件分布条件分布第二节第二节 随机变（向

13、）量及其分布随机变（向）量及其分布第23页/共175页第二十四页，共176页。为了更方便地从数量方面研究随机为了更方便地从数量方面研究随机(su(su j)j)现象的统计规律，引入随机现象的统计规律，引入随机(su j)(su j)变量变量的概念，即将随机的概念，即将随机(su j)(su j)试验的结果与实试验的结果与实数对应起来，将随机数对应起来，将随机(su j)(su j)试验的结果数试验的结果数量化量化一、随机变量一、随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)及其分布及其分布 第24页/共175页第二十五页，共176页。定义定义(dngy)(dngy)设随机试验的

14、样本空间设随机试验的样本空间例例1 1 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币,观察观察(gunch)(gunch)正反面情正反面情况。况。设设 一、随机变量一、随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的定义的定义出现结果为反面出现结果为反面,称称 为为随机变量随机变量。上的上的实值单值函数实值单值函数，是定义在样本空间是定义在样本空间试验结果的出现是随机的试验结果的出现是随机的,故故 的取值也是随机的。的取值也是随机的。第25页/共175页第二十六页，共176页。2 2）随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的取值在试验函数的取值在试验之前无

15、法确定之前无法确定,且且取值有一定的概率取值有一定的概率(gil)(gil)；而普通函数却没有。；而普通函数却没有。随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)和普通函数的区别和普通函数的区别1 1）定义域不同定义域不同e e.也可以不是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上。；而普通函数是定义在实数域上。随机变量定义在样本空间随机变量定义在样本空间 上上,定义域定义域可以是数可以是数第26页/共175页第二十七页，共176页。随机变量通常随机变量通常(tngchng)(tngchng)用大写字母用大写字母X,Y,ZX,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示

16、而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母 等等.第27页/共175页第二十八页，共176页。随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的的分类分类 例如：例如：“抽验一批产品中次品的个数抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间电话交换台在一定时间(shjin)(shjin)内收到的呼叫内收到的呼叫次数次数”等等1 1）离散）离散(lsn)(lsn)型型随机变量随机变量2 2）连续型随机变量）连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举所有取值可以逐个一一列举例如：例如：“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中常遇到的实际中

17、常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值有无穷多，全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间充满一个或几个区间第28页/共175页第二十九页，共176页。二、分布二、分布(fnb)(fnb)函数的概念函数的概念定义定义(dngy(dngy)1)1设设 是一个随机变量，是一个随机变量，是任意实数是任意实数,称函数称函数为为 的的分布函数分布函数。上的概率上的概率(gil).(gil).分布函数分布函数的值就表示的值就表示 落在区间落在区间第29页/共175页第三十页，共176页。分布函数分布函数(hnsh)(hnsh)的性的性质质 单调(dndio)不减性：右（左）连续性：，且，则上述三条性

18、质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。第30页/共175页第三十一页，共176页。4.4.几个几个(j)(j)常用的概率常用的概率公式公式1.1.2.2.3.3.4.4.（2 2）分布函数）分布函数(hnsh)(hnsh)是一个普通实值函数是一个普通实值函数(hnsh)(hnsh)（1 1）分布函数完整描述了随机变量）分布函数完整描述了随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的统计规律性的统计规律性第31页/共175页第三十二页，共176页。定义定义(dngy)(dngy)若随机变量(su j bin lin)X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个可列无限

19、多个(du),(du),则称此随机变量是离散型随则称此随机变量是离散型随机变量。机变量。例例 (1)(1)扔一均匀硬币三次，出现正面的次数扔一均匀硬币三次，出现正面的次数 (2)(2)某一时间段进入商场的人数某一时间段进入商场的人数离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量灯泡的寿命灯泡的寿命非离散型随机变量非离散型随机变量 1、离散型随机变量及其分布、离散型随机变量及其分布第32页/共175页第三十三页，共176页。分布律也可用如下表格的形式分布律也可用如下表格的形式(xngsh)(xngsh)表示表示定义定义 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为满足满足kp

20、判断分布律判断分布律的条件的条件则称则称pkpk为离散为离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量X X的概率分布或分布律。的概率分布或分布律。第33页/共175页第三十四页，共176页。二、常用二、常用(chn yn)(chn yn)的离散型随的离散型随机变量机变量1.(01)1.(01)分布分布(fnb)(fnb)定义定义 若随机变量若随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X 的分布律为的分布律为（0101）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成第34页/共175页第三十五页，共176页。注意注意 服从服从(0-1)(0-1)分布的随机变量分布的随机变量(

21、su j bin lin)(su j bin lin)很多。如果涉及的很多。如果涉及的试验只有试验只有(zhyu)(zhyu)两个互斥的两个互斥的结果：结果：都可在样本空间上都可在样本空间上定义定义(dngy)(dngy)一个服从一个服从(0-1)(0-1)分布的随机变分布的随机变量：量：例如例如 检查某产品的质量是否合格；检查某产品的质量是否合格；抛一枚硬币观察其正反面；抛一枚硬币观察其正反面；一次试验是否成功。一次试验是否成功。第35页/共175页第三十六页，共176页。容易容易(rngy)验验证证由二项式定理由二项式定理(dngl)2 2 二项分布二项分布第36页/共175页第三十七页，

22、共176页。二项分布描述二项分布描述(mio sh)(mio sh)的是的是 n n 重贝努里试重贝努里试验中出现验中出现“成功成功(chnggng)”(chnggng)”次数次数X X 的概率分布的概率分布.第37页/共175页第三十八页，共176页。3.3.泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)称称服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布,记为记为其中其中 是常数是常数,若随机变量若随机变量 的分布律的分布律第38页/共175页第三十九页，共176页。泊泊松松分分布布在在管管理理科科学学、运运筹筹学学以以及及自自然然科科学学的的某某些些(mu(mu xi)xi)问题中都占有重要的地位。问题中

23、都占有重要的地位。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的应用的应用 排队排队(pi du)(pi du)问题：在一段时间内窗口等待服务的问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客人数顾客人数 生物存活的个数生物存活的个数 放射的粒子数放射的粒子数第39页/共175页第四十页，共176页。思考题：思考题：两个两个(lin)(lin)分布函数之和仍为分布函数吗？分布函数之和仍为分布函数吗？不是不是(b shi)(b shi)设设为两个分布函数，为两个分布函数，则则第40页/共175页第四十一页，共176页。2 2 连续型随机变量连续型随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)及其分布

24、及其分布一、定义一、定义(dngy)(dngy)其中被积函数其中被积函数 ,称称 为为概率密度函数概率密度函数 或或 概率密度概率密度。如果随机变量如果随机变量 的分布函数为的分布函数为则称则称 为为连续型连续型随机变量随机变量第41页/共175页第四十二页，共176页。二二.概率密度的性质概率密度的性质(xngzh)(xngzh)1.1.2.2.面积面积(min(min j)j)为为1 1o o3.3.第42页/共175页第四十三页，共176页。4.4.在在 的连续点的连续点 处，则处，则 第43页/共175页第四十四页，共176页。对连续型对连续型 r.v X,有有第44页/共175页第四

25、十五页，共176页。几种几种(j zhn)(j zhn)常见的分布常见的分布一、均匀分布一、均匀分布分布分布(fnb)(fnb)函数为函数为:1.1.若若X的概率密度为的概率密度为 则称则称 服从服从(a,b)上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作第45页/共175页第四十六页，共176页。二、指数分布二、指数分布若若 随机变量随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.记为记为 的分布函数的分布函数第46页/共175页第四十七页，共176页。三、正态分布三、正态分布的的正态分布正态分布,或或高斯分布高斯分布.所确定的曲线称为所确定的曲线称为正态曲线正

26、态曲线若若X X具有具有(jyu)(jyu)概率密度概率密度 则称则称 服从参数为服从参数为记为记为第47页/共175页第四十八页，共176页。条关于条关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线.特点特点(tdin)(tdin)是是:正态分布的密度正态分布的密度(md)(md)曲线是一曲线是一正态分布的图形正态分布的图形(txng)(txng)特特点点决决定定了了图图形形决决定定了了图图形形中中峰峰的的陡陡峭峭程程度度的的中中心心位位置置“两头小两头小,中间大中间大,左右对称左右对称”第48页/共175页第四十九页，共176页。正态分布正态分布正态分布正态分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)的

27、分布的分布的分布的分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)函数函数函数函数 标准标准(biozhn)(biozhn)正态分正态分布布的正态分布称为的正态分布称为(chn wi)(chn wi)标准正标准正态分布态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示表示 的分布函数是的分布函数是第49页/共175页第五十页，共176页。若若 ,第50页/共175页第五十一页，共176页。则则 N(0,1)设设 ,定理定理(dngl(dngl)若若第51页/共175页第五十二页，共176页。二二 随机随机(su j)向量及其分布向量及其分布 有些随机实验的结果同时涉及有些随机实验

28、的结果同时涉及(shj)若干个随机变量，若干个随机变量，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，还要研究它们之间的联系还要研究它们之间的联系(linx)，即要研究随机向，即要研究随机向量及其分布。量及其分布。定义定义1是定义在这个概率空间上的n个随机变量，称第52页/共175页第五十三页，共176页。所以(suy)它的概率是有意义的。定义定义(dngy)2第53页/共175页第五十四页，共176页。二维随机变量二维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的联合分布的联合分布定义定义(dngy)3(dngy)3 设设是二维随机变量是二维

29、随机变量,对于对于(duy)(duy)任任意实数意实数 ,称称为为 的的分布函数分布函数。第54页/共175页第五十五页，共176页。分布分布(fnb)(fnb)函数的几何意函数的几何意义义 将二维随机变量将二维随机变量看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标落在矩形落在矩形(jxng)(jxng)区域区域中的概率中的概率(gil)(gil)为为第55页/共175页第五十六页，共176页。分布分布(fnb)(fnb)函数的函数的性质性质 当当 时时，对于任意固定的对于任意固定的 ，对于任意固定的对于任意固定的 ，1.1.关于关于x 和和y 单调单调不减不减当当 时时，第56页/共175页第

30、五十七页，共176页。2.2.第57页/共175页第五十八页，共176页。3.即即关于关于x右连续右连续关于关于y右连续右连续即即第58页/共175页第五十九页，共176页。1、离散、离散(lsn)型随机型随机向量向量只取有限(yuxin)个或可列个不同的向量值，则称概率(gil)第59页/共175页第六十页，共176页。这时，这时，第60页/共175页第六十一页，共176页。二维离散二维离散(lsn)(lsn)型型随机变量随机变量设设 所有可能取值为所有可能取值为 ，则，则称称定义定义(dngy)5(dngy)5定义定义(dngy)4(dngy)4是是有限多对或可列无限多对有限多对或可列无限

31、多对，则称则称 为二维为二维离散型随机变量离散型随机变量.为随机变量为随机变量 的的分布律分布律。性质性质：若二维随机变量若二维随机变量的所有可能取值的所有可能取值),(YX第61页/共175页第六十二页，共176页。分布律的表格分布律的表格(biog)表示表示 Y X 1y 2y jy 1x 11p 12p jp1 2x 21p 22p jp2 M ix 1 ip 2ip ijp M 第62页/共175页第六十三页，共176页。离散型随机变量离散型随机变量 的分布函数具有形式的分布函数具有形式其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足 的的 求和求和 第63页/共175页第六十四页，共176页

32、。它满足条件反之，若有满足反之，若有满足(mnz)这两条性质的这两条性质的n元函元函数数则它一定是某一个则它一定是某一个(y)n维随机向量的分布密度。维随机向量的分布密度。2、连续型随机、连续型随机(su j)向量向量第64页/共175页第六十五页，共176页。多元正态分布是多元连续型分布中的一个多元正态分布是多元连续型分布中的一个(y)重要的分布。重要的分布。第65页/共175页第六十六页，共176页。为密度为密度(md)函数的概率分布，称为函数的概率分布，称为n元正态分布，元正态分布，简记简记(jin j)为为上式的向量上式的向量(xingling)形式形式为为当当n=1时，和以前所述的一

33、元正态分布完全一致；时，和以前所述的一元正态分布完全一致；第66页/共175页第六十七页，共176页。的二维的二维正态分布正态分布，记为，记为 当当 n=2 n=2 时时的概率密度为的概率密度为其中其中(qzhng(qzhng)都是常数都是常数(chngsh),(chngsh),且且，则称，则称服从服从(fcng)(fcng)参参数为数为第67页/共175页第六十八页，共176页。二维连续型随机变量二维连续型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)对于任意的对于任意的 ，有，有 定义定义(dngy)(dngy)设二维随机变设二维随机变量量的分布的分布(fnb)(fnb)函

34、数函数若存在若存在非负函数非负函数 ，则称则称 f(x,y)为为(X,Y)的的概率密度概率密度。第68页/共175页第六十九页，共176页。2)2)3)3)若若在点在点处连续处连续,则有则有概率密度的性质概率密度的性质(xngzh)(xngzh)1)1)第69页/共175页第七十页，共176页。4)4)设设 是是 平面上的任意一个区域，则有平面上的任意一个区域，则有 (表示以表示以 为底，以曲面为底，以曲面 为顶面的曲顶柱体的体积为顶面的曲顶柱体的体积(tj)第70页/共175页第七十一页，共176页。三三 边缘边缘(binyun)(binyun)分布分布（一）（一）定义定义(dngy)(dn

35、gy)设设是二维随机变量是二维随机变量,同理可得同理可得几何几何(j h)(j h)表示表示:称为称为关于关于 的的边缘分布函数边缘分布函数。第71页/共175页第七十二页，共176页。（二）边缘(binyun)分布律（离散型）设设的分布律为的分布律为记为记为 则则 关于关于 的的边缘分布律边缘分布律为为则有则有:第72页/共175页第七十三页，共176页。则有则有:称为称为 关于关于 的的边缘分布律边缘分布律 记为记为 同理同理通常用以下通常用以下(yxi)表格表格表示表示的分布的分布(fnb)律和边缘律和边缘分布分布(fnb)律律第73页/共175页第七十四页，共176页。第74页/共17

36、5页第七十五页，共176页。（三）边缘(binyun)概率密度（连续型）若若是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为则则同理同理第75页/共175页第七十六页，共176页。的边缘的边缘(binyun)(binyun)概率概率密度密度例例 设二维随机变量设二维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)试求试求的边缘的边缘(binyun)(binyun)概率密度概率密度.解解令令第76页/共175页第七十七页，共176页。即即同理，同理，Y Y 的边缘的边缘(binyun)(binyun)概率密概率密度为度为即即故二维正态分布的两个故二维正态分布的

37、两个(lin)边际分布都是一维正边际分布都是一维正态分布，这是一个重要的结论。态分布，这是一个重要的结论。第77页/共175页第七十八页，共176页。结结结结 论论论论 （一）（一）（一）（一）结结结结 论论论论 （二）（二）（二）（二）第78页/共175页第七十九页，共176页。结结结结 论论论论 （三）（三）（三）（三）第79页/共175页第八十页，共176页。在前面我们曾经定义过事件的条件在前面我们曾经定义过事件的条件(tiojin)概概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件率，同样也可以考虑一个随机变量的条件(tiojin)分布，其条件分布，其条件(tiojin)与另一随机变量的取值有关

38、。与另一随机变量的取值有关。离散离散(lsn)型型四四 条件条件(tiojin)分布分布第80页/共175页第八十一页，共176页。连续型连续型第81页/共175页第八十二页，共176页。定义定义(dngy)第82页/共175页第八十三页，共176页。例例 第83页/共175页第八十四页，共176页。其中第一个参数是其中第一个参数是x x的线性函数，第二个参数与的线性函数，第二个参数与x x无关，此结论无关，此结论(jiln)(jiln)在一些统计问题中很重要。在一些统计问题中很重要。第84页/共175页第八十五页，共176页。例例1 1 设设 的联合的联合(linh)(linh)分布密度为分

39、布密度为 解解 关于关于 的边缘密度为的边缘密度为 第85页/共175页第八十六页，共176页。于是于是(ysh(ysh)第86页/共175页第八十七页，共176页。第三节第三节 随机变量随机变量(su j bin lin)的独立性的独立性第87页/共175页第八十八页，共176页。成立，则称随机变量成立，则称随机变量 与与 是是相互独立相互独立的。的。二维随机变量二维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的相互独立性的相互独立性定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)对任意实数对任意实数x,y

40、,x,y,都有都有即即第88页/共175页第八十九页，共176页。2)2)对于对于(duy)(duy)连续型的随机变量连续型的随机变量几乎几乎(jh)(jh)处处处成立处成立1)1)对于对于(duy)(duy)离散型随机变量离散型随机变量可直接推广至两个以上随机变量的相互独立性可直接推广至两个以上随机变量的相互独立性第89页/共175页第九十页，共176页。例例例例 3 3 3 3（正态随机变量（正态随机变量（正态随机变量（正态随机变量(su j bin(su j bin(su j bin(su j bin lin)lin)lin)lin)的独立性）的独立性）的独立性）的独立性）第90页/共1

41、75页第九十一页，共176页。第91页/共175页第九十二页，共176页。第92页/共175页第九十三页，共176页。第93页/共175页第九十四页，共176页。n维随机变量维随机变量(su j bin lin)的的独立性独立性定义定义(dngy)第94页/共175页第九十五页，共176页。下面分别给出离散下面分别给出离散(lsn)型随机变量和连续型型随机变量和连续型随机变量相互独立的充要条件随机变量相互独立的充要条件定理定理(dngl)1定理定理(dngl)2第95页/共175页第九十六页，共176页。还可以还可以(ky)证明：证明：第96页/共175页第九十七页，共176页。第四节第四节

42、随机变量函数随机变量函数(hnsh)(hnsh)的的分布分布第97页/共175页第九十八页，共176页。一一 单个随机变量函数单个随机变量函数(hnsh)的分布的分布第98页/共175页第九十九页，共176页。1 离散离散(lsn)型型第99页/共175页第一百页，共176页。注：注：注：注：1 1、设、设、设、设互不相等互不相等(xingdng)时，则事件时，则事件由由2、当、当 则把那些相等则把那些相等(xingdng)的值合并起来。的值合并起来。并根据概率的可加性把对应的概率相加得到并根据概率的可加性把对应的概率相加得到(d do)Y的分布律。的分布律。第100页/共175页第一百零一页

43、，共176页。2 连续型连续型第101页/共175页第一百零二页，共176页。其中其中(qzhng)是连续型随机变量，其分布密度在相应(xingyng)区间内为第102页/共175页第一百零三页，共176页。第103页/共175页第一百零四页，共176页。证明证明(zhngmng)第104页/共175页第一百零五页，共176页。第105页/共175页第一百零六页，共176页。二二 随机随机(su j)向量函数的分布向量函数的分布（1）离散）离散(lsn)型型以二维随机向量以二维随机向量(xingling)为例，多维随机向量为例，多维随机向量(xingling)的情况类似。的情况类似。第106页

44、/共175页第一百零七页，共176页。(2)(2)连续型连续型设设(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量(su j bin lin)，其联合概率密度，其联合概率密度为为 分布分布(fnb)函数为函数为 则则第107页/共175页第一百零八页，共176页。和的分布和的分布(fnb)(fnb)设设(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量(su j bin lin)，其联合概率密度，其联合概率密度为为 问题问题(wnt)：计算：计算 的概率密度的概率密度首先计算随机变量首先计算随机变量 的分布函数的分布函数 第108页/共175页第一百零九页，共176页。x+y=z作变换作变换

45、(binhun)：则有则有 第109页/共175页第一百一十页，共176页。注意注意(zh y)到里层的积分是到里层的积分是u的函数：的函数：即有即有 上式对上式对z求导，求导，得得 的概率密度为的概率密度为第110页/共175页第一百一十一页，共176页。注意注意(zh y)到在前面的积分中到在前面的积分中 我们是先对我们是先对y后对后对x积分积分(jfn)的，若将其改成先对的，若将其改成先对x后对后对y积分积分(jfn)，则有，则有 第111页/共175页第一百一十二页，共176页。特别，如果特别，如果(rgu)随机变量随机变量X,Y相互独立，则相互独立，则即即与与 我们称上式为函数我们称

46、上式为函数 的卷积公式，的卷积公式，第112页/共175页第一百一十三页，共176页。例例4 4第113页/共175页第一百一十四页，共176页。第114页/共175页第一百一十五页，共176页。第115页/共175页第一百一十六页，共176页。两个独立的二项分布随机变量两个独立的二项分布随机变量,当它们当它们(t men)(t men)的第二个参数的第二个参数相同时相同时,其和也服从二项分布其和也服从二项分布-二项分布的可加性二项分布的可加性第116页/共175页第一百一十七页，共176页。第117页/共175页第一百一十八页，共176页。第118页/共175页第一百一十九页，共176页。特

47、别特别 当当 相互独立且具有相同相互独立且具有相同 分布函数分布函数 时，时，设设 相互独立，相互独立，其分布其分布(fnb)函数为函数为 则则 的分布函数的分布函数(hnsh)分别为：分别为：第119页/共175页第一百二十页，共176页。第五节第五节数字(shz)特征及其特征函数第120页/共175页第一百二十一页，共176页。定义定义(dngy(dngy)1)1设离散型随机变量设离散型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的分布律为的分布律为 如果如果(rgu)(rgu)级级数数 绝对收敛绝对收敛，称为随机变量称为随机变量X的数学期望，的数学期望，记为记为即即的和

48、的和则级数则级数简称简称期望期望或或均值均值。数字特征数字特征若若 不绝对收敛不绝对收敛，则，则X的数学期望不存在。的数学期望不存在。1、随机变量的、随机变量的数学期望数学期望第121页/共175页第一百二十二页，共176页。定义定义(dngy(dngy)2)2设连续型随机变量设连续型随机变量(su j bin lin)X 的概的概率密度为率密度为 若积分若积分(jfn)绝对收敛绝对收敛，则称该积分值为随，则称该积分值为随机变量机变量X X 的数学期望的数学期望或或平均值平均值，简称期望或均值，简称期望或均值记为记为即即离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示离散型和连续型随机变量的期望

49、可以用一个式子表示此积分是此积分是Lebesgue-Stieltjes积分，当积分，当X为离散型时，为离散型时，其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。第122页/共175页第一百二十三页，共176页。当当X为连续型时，该积分为连续型时，该积分(jfn)化为化为此积分此积分(jfn)是是Riemann积分积分(jfn)。第123页/共175页第一百二十四页，共176页。2 2、随机变量函数随机变量函数(hnsh)(hnsh)的数的数学期望学期望定理定理 设随机变量设随机变量(su j bin lin)Y 是随机变是随机变量量(su j bin l

50、in)X 的函数，的函数，1)设设X 为离散型随机变量为离散型随机变量(su j bin lin)，其分布，其分布律为律为 若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则有则有第124页/共175页第一百二十五页，共176页。2)设设X 为连续型随机变量为连续型随机变量(su j bin lin)，其概率，其概率密度为密度为 若积分若积分(jfn)绝对绝对(judu)收敛收敛,则有则有第125页/共175页第一百二十六页，共176页。3 二维随机向量二维随机向量(xingling)函数的数学期函数的数学期望望这里这里(zhl)要求广义二重积分是绝对收敛要求广义二重积分是绝对收敛的。的。第126页/共175页