理学理论力学冯维明主编学习教案.pptx

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1、会计学1理学理学(lxu)理论力学冯维明主编理论力学冯维明主编第一页，共45页。Theoretical Mechanics 三、研究方法三、研究方法 不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。四、研究对象四、研究对象 将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上的点（或动点）和不考虑质量的刚体。的点（或动点）和不考虑质量的刚体。点：无质量、无大小、在空间占有其位置点：无质量、无大小、在空间占有其位置(wi zhi)的几何点。的几何点。刚体：物体内任意两点之间的距离始终保持不变刚体：物体内任意两点之间的距离

2、始终保持不变第一篇第一篇 运动学运动学引引 言言第1页/共45页第二页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学1.1 点的运动点的运动(yndng)的矢量表示法的矢量表示法 1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表示法的直角坐标表示法 1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法 第2页/共45页第三页，共45页。Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学点的运动学1.1 矢量矢量(shling)表示法表示法第3页/共45页第四页，共45页。Theoretical Mechanicsqq运动运

3、动运动运动(yndng)(yndng)方方方方程程程程 运动方程运动方程运动方程运动方程 用点在任意用点在任意用点在任意用点在任意(rny)(rny)瞬时瞬时瞬时瞬时t t的位置矢量的位置矢量的位置矢量的位置矢量r(t)r(t)表示。表示。表示。表示。r(t)r(t)简称为位矢。简称为位矢。简称为位矢。简称为位矢。r r=r r(t t)表表示示动动点点M在在空空间间运运动动(yndng)时时，矢矢径径r的的末末端端将将描描绘绘出出一一条条连连续续曲曲线线，称称为为矢矢径径端端图图，它它 就就 是是 动动 点点 运运 动动(yndng)的轨迹。的轨迹。x xz zy yrrrM1.1 点的运动

4、的矢量表示法点的运动的矢量表示法OMM第4页/共45页第五页，共45页。Theoretical Mechanicsqq速速速速 度度度度t t 瞬时瞬时(shn sh):(shn sh):矢径矢径 r(t)r(t)点在点在点在点在 t t t t 瞬时瞬时瞬时瞬时(shn sh)(shn sh)(shn sh)(shn sh)的速度的速度的速度的速度 r r(t t)r r(t t t t)r r(t t)t t 时间时间(shjin)(shjin)间隔内矢径的改变量间隔内矢径的改变量t t t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:矢径矢径矢径矢径r r(t t t t)或或或或r r 动点的速度等于它的矢

5、径对时间的一阶导数。1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第5页/共45页第六页，共45页。Theoretical Mechanics 速速速速 度度度度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时运动快慢和运瞬时运动快慢和运瞬时运动快慢和运瞬时运动快慢和运 动方向动方向动方向动方向(fngxing)(fngxing)的力学量。速度的方向的力学量。速度的方向的力学量。速度的方向的力学量。速度的方向(fngxing)(fngxing)沿着运动轨迹的切沿着运动轨迹的切沿着运动轨迹的切沿着运动轨迹的切 线；指向与点的运动方向线；指向与点的运动方向线；指向与点的运动方向线；指向与点的运动

6、方向(fngxing)(fngxing)一致；一致；一致；一致；速度大小等于矢速度大小等于矢速度大小等于矢速度大小等于矢 量的模。量的模。量的模。量的模。1.1 点的运动点的运动(yndng)的矢量表示法的矢量表示法第6页/共45页第七页，共45页。Theoretical Mechanicsqq加加加加 速速速速 度度度度 v v(t t)v v(t t t t)v v(t t)t t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量点在点在点在点在 t t t t 瞬时瞬时瞬时瞬时(shn sh)(shn sh)(shn sh)(shn sh)的加速度

7、的加速度的加速度的加速度t t t t 瞬时瞬时(shn sh):(shn sh):速度速度 v(t v(t t)t)或或v v t t 瞬时瞬时(shn sh):(shn sh):速度速度 v(t)v(t)1.1 点的运动的矢量表示法点的运动的矢量表示法第7页/共45页第八页，共45页。Theoretical Mechanics 加速度加速度加速度加速度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时速度大小瞬时速度大小瞬时速度大小瞬时速度大小(dxio)(dxio)和和和和方向变化率的力学量。方向变化率的力学量。方向变化率的力学量。方向变化率的力学量。加速度的方向为加速度的方向为加速度的方

8、向为加速度的方向为 v v 的的的的 极限方向极限方向极限方向极限方向(指向与轨迹指向与轨迹指向与轨迹指向与轨迹曲线的凹向一致曲线的凹向一致曲线的凹向一致曲线的凹向一致)。加速度大小加速度大小加速度大小加速度大小(dxio)(dxio)等于矢量等于矢量等于矢量等于矢量 a a 的模。的模。的模。的模。qq 点的加速度为矢量点的加速度为矢量点的加速度为矢量点的加速度为矢量(shling)(shling)(shling)(shling)1.1 点的运动点的运动(yndng)的矢量表示法的矢量表示法第8页/共45页第九页，共45页。Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学

9、点的运动学 1.2 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)表示法表示法第9页/共45页第十页，共45页。Theoretical Mechanics1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表示法的直角坐标表示法 运动运动运动运动(yndng)(yndng)方程方程方程方程 不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由三个方程标系中，点在空间的位置由三个方程标系中，点在空间的位置由三个方程标系中，点在空间的位置由三个方程(fngchng)(fn

10、gchng)确确确确定。定。定。定。x x=f1(t)y y=f2(t)z z=f3(t)rxiyjzk 矢径r 与x,y,z的关系第10页/共45页第十一页，共45页。Theoretical Mechanics速速速速 度度度度矢径：矢径：结论(jiln)点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间(shjin)(shjin)的一阶导数。的一阶导数。的一阶导数。的一阶导数。1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表

11、示法的直角坐标表示法 第11页/共45页第十二页，共45页。Theoretical Mechanics已知速度已知速度(sd)(sd)的投影求速的投影求速度度(sd)(sd)方向由方向余弦确定大小大小1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表示法的直角坐标表示法 第12页/共45页第十三页，共45页。Theoretical Mechanics加速度加速度加速度加速度点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间

12、(shjin)(shjin)(shjin)(shjin)的二阶导数。的二阶导数。的二阶导数。的二阶导数。1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表示法的直角坐标表示法 第13页/共45页第十四页，共45页。Theoretical Mechanics加速度加速度加速度加速度点的加速度矢量在直角坐标点的加速度矢量在直角坐标点的加速度矢量在直角坐标点的加速度矢量在直角坐标(zubio)(zubio)(zubio)(zubio)轴上的投影等于点的相应坐标轴上的投影等于点的相应坐标轴上的投影等于点的相应坐标轴上的投影等于点的相应坐标(zubio)(zubio)(zubio)(zubio)对时间的

13、二阶导数。对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。加速度大小加速度大小方向余弦1.2 点的运动点的运动(yndng)的直角坐标表示法的直角坐标表示法 第14页/共45页第十五页，共45页。Theoretical Mechanics 第一章第一章 点的运动学点的运动学 1.3 自然自然(zrn)表表示法示法第15页/共45页第十六页，共45页。Theoretical Mechanics1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法qq 运动运动运动运动(yndng)(yndng)(yndng)(yndng)方程方程方程方程 若点沿着已知的轨迹若点沿着已知的轨迹若点沿

14、着已知的轨迹若点沿着已知的轨迹(guj)(guj)运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹(guj)(guj)上所走过的弧长随时间变化的规律描述。上所走过的弧长随时间变化的规律描述。上所走过的弧长随时间变化的规律描述。上所走过的弧长随时间变化的规律描述。弧坐标特点弧坐标特点 （1 1）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。（2 2）有正、负方向）有正、负方向）有正、负方向）有正、负

15、方向(一般以点的运动方向作为正一般以点的运动方向作为正一般以点的运动方向作为正一般以点的运动方向作为正向，反之为负向，反之为负向，反之为负向，反之为负)；即弧坐标是一代数量。；即弧坐标是一代数量。；即弧坐标是一代数量。；即弧坐标是一代数量。（3 3）坐标系为自然轴系。）坐标系为自然轴系。）坐标系为自然轴系。）坐标系为自然轴系。s=f(t)第16页/共45页第十七页，共45页。Theoretical Mechanics 密切密切(mqi)面与自然轴系面与自然轴系 密切密切密切密切(mqi)(mqi)面面面面 当当P点无限接近于点无限接近于 P点时，过这两点的切线所组成的平面点时，过这两点的切线所

16、组成的平面(pngmin)，称为，称为P点的密切面。点的密切面。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第17页/共45页第十八页，共45页。Theoretical MechanicsMM点的密切点的密切(mqi)(mqi)面面1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第18页/共45页第十九页，共45页。Theoretical Mechanics由密切由密切由密切由密切(mqi)(mqi)面得到的几点结论面得到的几点结论面得到的几点结论面得到的几点结论1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法 1.1.空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是空间

17、曲线上的任意点都存在密切面，而且是空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。惟一的。惟一的。惟一的。2.2.空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。3.3.对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在对于平面曲线而言，密切面

18、就是该曲线所在的平面。的平面。的平面。的平面。4.4.曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用率，用率，用率，用1 1/表示。表示。表示。表示。5.5.曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。第二曲率。第二曲率。第二曲率。第19页/共45页第二十页，共45页。Theoretical Mechanicss s-s s+MM (切线切线切线切线)n(主法线主法线

19、主法线主法线)b(副法线副法线副法线副法线)qq 自然自然自然自然(zrn)(zrn)轴系轴系轴系轴系MM为空间为空间(kngjin)(kngjin)曲线上的动点；曲线上的动点；b b为为过动点过动点过动点过动点P P垂直于切线垂直于切线垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线，其正向由和主法线的直线，其正向由和主法线的直线，其正向由和主法线的直线，其正向由 确定确定确定确定。自然自然(zrn)(zrn)轴系轴系MM nb nb 为过动点过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；n为为密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；密切面内垂直于切线的直

20、线，其正向指向曲率中心；过过M点作垂直于点作垂直于 的平面，称为曲线在的平面，称为曲线在M点的点的法面法面 1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第20页/共45页第二十一页，共45页。Theoretical Mechanicsqq 自然自然自然自然(zrn)(zrn)(zrn)(zrn)轴系轴系轴系轴系 n nb b自然自然(zrn)(zrn)轴系轴系MM nb nb 1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第21页/共45页第二十二页，共45页。s s-s s+MMn(主法线主法线主法线主法线)b(副法线副法线副法线副法线)(切线切线切线切线)Theoret

21、ical Mechanics n nb b自然自然(zrn)(zrn)轴系的特点轴系的特点 跟随动点在轨跟随动点在轨跟随动点在轨跟随动点在轨迹上作空间曲线迹上作空间曲线迹上作空间曲线迹上作空间曲线(qxin)(qxin)运动。运动。运动。运动。自然自然自然自然(zrn)(zrn)轴系的基矢量：轴系的基矢量：轴系的基矢量：轴系的基矢量：、n n、b b 自然轴系的单位矢量自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。是方向在不断变化的单位矢量。固定的直角坐标系的单位矢量固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。则是常矢量。1.3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法第22页

22、/共45页第二十三页，共45页。Theoretical Mechanicsqq弧坐标中的速度弧坐标中的速度弧坐标中的速度弧坐标中的速度(sd)(sd)表示表示表示表示 点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影(tuyng)(tuyng)等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第23页/共45页第二十四页，共45页。Theoretical Mechanics跟随动点在轨迹跟随动点在轨迹跟随动点在轨迹跟随动点在

23、轨迹(guj)(guj)(guj)(guj)上作空间曲线运动。上作空间曲线运动。上作空间曲线运动。上作空间曲线运动。自然自然(zrn)(zrn)轴系的特点轴系的特点1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第24页/共45页第二十五页，共45页。式式 中中Theoretical Mechanics若若,则则，即点沿着即点沿着s+的方向运动；的方向运动；反之点沿着反之点沿着s的方向运动的方向运动。有关有关 两点讨论两点讨论两点讨论两点讨论1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法和和分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。第25页/共45页第二

24、十六页，共45页。Theoretical Mechanics根据加速度的定义根据加速度的定义根据加速度的定义根据加速度的定义(dngy)(dngy)以及弧坐标中速度的表达式以及弧坐标中速度的表达式以及弧坐标中速度的表达式以及弧坐标中速度的表达式qq弧坐标弧坐标弧坐标弧坐标(zubio)(zubio)中的加速度表中的加速度表中的加速度表中的加速度表示示示示?1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第26页/共45页第二十七页，共45页。Theoretical Mechanics1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法当当 时时，和和 以及以及 同处于同

25、处于M点的密切面内，这点的密切面内，这时时，的极限的极限方向垂直于方向垂直于 ，亦即亦即n方向方向。第27页/共45页第二十八页，共45页。Theoretical Mechanics加速度表示为自然轴系投影加速度表示为自然轴系投影加速度表示为自然轴系投影加速度表示为自然轴系投影(tuyng)(tuyng)形式形式形式形式1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度第28页/共45页第二十九页，共45页。Theoretical Mechanics几几几几点点点点讨讨讨讨论论论论(t t o ol l

26、 n n)切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表明加速度表明加速度 a在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量v和加速度矢量和加速度矢量a都位于密切面内。都位于密切面内。1.3 点的运动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第29页/共45页第三十页，共45页。Theoretical Mechanics几几几几点点点点讨讨讨讨论论论论(t t o ol l n n)点的加速度的大小点的加速度的大小(dxio)(dxio)和方向和方向 1.3 点的运

27、动点的运动(yndng)的自然表示法的自然表示法第30页/共45页第三十一页，共45页。例 在图的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定(gdng)圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动。当运动开始时，摇杆在水平位置。求（1）滑块相对于BC弧的速度、加速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第31页/共45页第三十二页，共45页。Theoretical Mechanics先求滑块先求滑块M相对相对(xingdu)圆弧圆弧BC的速度、加速度。的速

28、度、加速度。解法(ji f)1：BC弧固定，故滑块M的运动轨迹已知，宜用自然法求解 以M点的起始位置(wi zhi)为原点，逆时针方向为正 方向如图方向如图第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第32页/共45页第三十三页，共45页。Theoretical Mechanics解法(ji f)2：直角坐标法建立(jinl)图示坐标系第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第33页/共45页第三十四页，共45页。Theoretical Mechanics 在在轨轨迹迹已已知知情情况况下下，用用自自然然法法不不仅仅简简便便(jinbin)，而且速度、加速度的几何意义很明确。，而且速度、加速

29、度的几何意义很明确。讨论讨论(toln)：第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第34页/共45页第三十五页，共45页。Theoretical Mechanics求滑块求滑块M相对相对(xingdu)于摇杆的速度与加于摇杆的速度与加速度速度 将参考系Ox固定在OA杆上，此时，滑块M在OA杆上作直线运动，相对轨迹(guj)是已知的OA直线。M点相对运动方程为方向方向(fngxing)沿沿OA且与且与x正向相反正向相反 其方向沿指向其方向沿指向x 轴负向轴负向 第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题第35页/共45页第三十六页，共45页。Theoretical Mechanics第一章

30、第一章 点的运动学点的运动学例例 题题例例 一炮弹以初速一炮弹以初速(ch s)(ch s)和仰角射出。如图所示的直角坐标系的运动方程为和仰角射出。如图所示的直角坐标系的运动方程为:求 时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及这时轨迹的曲率半径。解：炮弹的运动方程以直角坐标给出，因此(ync)它的速度和加速度在x,y轴上的投影分别为第36页/共45页第三十七页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题当t=0时，炮弹的速度和全加速度的大小(dxio)分别为:若将加速度在切线和法线方向(fngxing)分解，则有:第37页/共45页第三十八页，

31、共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题式中,当t=0时,由上式得 由，求得时轨迹的曲率(ql)半径为:则第38页/共45页第三十九页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题例例 如图所示，半径为如图所示，半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角（称为纯滚动），设轮子转角（为常值）。为常值）。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。的运动方程

32、，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：取点解：取点M M与直线轨道的接触点与直线轨道的接触点O O为原点，建立如图所示的直角坐标系为原点，建立如图所示的直角坐标系OxyOxy。当轮子转过角时，轮子与直角轨道的接触点为。当轮子转过角时，轮子与直角轨道的接触点为C C。由于。由于(yuy)(yuy)是纯滚动，有是纯滚动，有第39页/共45页第四十页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题M点的直角坐标运动(yndng)方程为(a)M点的速度(sd)沿坐标轴的投影为(b)M点的速度(sd)为(c)运动方程式（a）是一个摆线，这表明M点

33、的运动轨迹是摆线，如图所示。第40页/共45页第四十一页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题取M的起始点O作为弧坐标原点，将式（c）的速度(sd)v积分，即得用弧坐标表示的运动方程为加速度在直角坐标(zh jio zu bio)系上的投影为(d)全加速度为第41页/共45页第四十二页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题将式(c)对时间(shjin)t求导，得点M的切线加速度为法线(f xin)加速度为（e）由于是还可以由式(c)及（e）求得轨迹的曲率(ql)半径第42页/共45页第四十三页，共45页。Theoretical Mechanics第一章第一章 点的运动学点的运动学例例 题题 再讨论(toln)一个特殊情况。当时，即，这时点M运动到与地面(dmin)相接触的位置。由式(c)知，此时点M的速度为零，这表明沿地面(dmin)作纯滚动的轮子与地面(dmin)接触点的速度为零。另一方面，由于点全加速度的大小恒为,因此(ync)纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽然为零，但加速度却不为零。将代入式（d），得即接触点的加速度方向向上第43页/共45页第四十四页，共45页。第44页/共45页第四十五页，共45页。