第7章演示稿学习.pptx
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1、7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 1.稳态和暂态i）稳态：）稳态：电路中各支路电压、电流是与时间无关的常量电路中各支路电压、电流是与时间无关的常量(直流直流 情况情况)或是随时间作周期性变化的量或是随时间作周期性变化的量(如正旋稳态电路如正旋稳态电路)问题：电路的稳态是如何建立起来的？是瞬时进入还是有一 个逐步建立起来的过程？可以求得：可以求得：+uCIsR1CiR2S(t=0)可以求得：可以求得：L+R其中，其中，第1页/共67页ii）暂态暂态暂态：电路由一个稳态转变到另一个稳态需要经历的过程电路由一个稳态转变到另一个稳态需要经历的过程,称称为过渡过程，相对于稳态
2、而言，该过程又称为暂态为过渡过程，相对于稳态而言，该过程又称为暂态 。S未动作前,电路处于一个稳定状态，有i=0 ,uC=0i=0 ,uC=UsS接通电源Us 后，电源向电容充电，经一段时间充电毕，电路达到一个新的稳定状态，此时有+uCUsRCi S(t=0)+uCUsRCi第2页/共67页2.过渡过程产生的原因 外因外因：电源的接通或断开，电路参数的变化及联接方式的电源的接通或断开，电路参数的变化及联接方式的 改变等，并统称为改变等，并统称为“换路换路”。内因：电路中有储能元件L、C。，那么：由WCC uc2/2 和WLL iL2/2若uc和 iL 突变，则WC 和WL 突变 这说明能量突变
3、需要无穷大功率源，这实际上不可能。因此具有这说明能量突变需要无穷大功率源，这实际上不可能。因此具有L、C的电路，的电路，一般一般uc和和iL只能逐步变化。由于只能逐步变化。由于KCL和和KVL的约束，导致电路中发生暂态过程。的约束，导致电路中发生暂态过程。+uCUsRCi S(t=0)iL+R1 S(t=0)R2第3页/共67页3.动态电路及其方程电路含动态元件电路含动态元件L、C 例：由KVL有：代入 得：当当R、L、C 都是线性元件时，电路的方程为线性常系数都是线性元件时，电路的方程为线性常系数微分方程微分方程。用一阶微分方程描述的电路称为。用一阶微分方程描述的电路称为“一阶电路一阶电路”
4、。电路的阶：电路微分方程的阶。+uCUsRCi描述动态电路的方程是描述动态电路的方程是微分方程微分方程 动态电路动态电路第4页/共67页i)关于 t=0+与t=04.电路的初始条件初始条件为 t=0+时u，i 及其各阶导数的值 换路在 t=0时刻进行0 t=0 的前一瞬间 0+t=0 后的初始瞬间00+0tf(t)求解微分方程需利用初始条件确定积分常数，而初始值一般是给定的或是根据换路定理分析换路前后的瞬时电路求得。第5页/共67页当i()为有限值时i()d 0结论结论:换路瞬间，若电容电流保持为有限值换路瞬间，若电容电流保持为有限值,则电容电压则电容电压(电荷电荷)换路前后保持不变换路前后保
5、持不变。q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)ii)独立初始值q(0+)、uc(0+)、L(0+)和iL(0+)的计算 对于电容元件C，有 u=q/ca）q(0+)、uc(0+)的计算令 t=0+及 t0=0 ，有 第6页/共67页当u为有限值时结论结论:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流(磁链磁链)换路前后保持不变。换路前后保持不变。对于线性电感元件L，有 i=/Lb）L(0+)、iL(0+)的计算令 t=0+及 t0=0 ，有 0 L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)；0 第7页/共67页归纳起来：换路定律 uC(0+)=
6、uC(0)、q(0+)=q(0)iL(0+)=iL(0)、L(0+)=L(0)根据换路前的稳态电路求出0 时刻的uC(0)、q(0)、iL(0)及 L(0)值，然后由换路定理得到0+时刻的独立初始值uC(0+)、q(0+)、iL(0+)及 L(0+)。独立初始值与换路后电路的结构、参数无关独立初始值与换路后电路的结构、参数无关。第8页/共67页iii）非独立初始值的计算 0+等效电路 换路后0+时刻的瞬时电路，其中电容用电压为uc(0+)的电压源替代，电感用电流为iL(0+)的电流源替代，独立源取的0+时刻的值，电阻不变 0+等效电路。先利用换路定律求独立的初始值，继而构造0+等效电路，然后在
7、0+等效电路中用过去学过的一切方法求解非独立的初始值。由此可见：非独立的初始值决定于0+时刻的瞬时电路，是基尔霍夫定律约束的结果。非独立初始值计算 第9页/共67页0 0+等效电路等效电路8V+10ViC+10 例1:电路如图,求 iC(0+)。(1)由0 电路求 uC(0)(2)由换路定律uC(0+)=uC(0)=8V(3)作出0+等效电路并求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)uC(0)=40+uC10VCiC S(t=0)+10 40+10ViC+10 uC(0)第10页/共67页例例 2：电路如图，电路如图，t=0 时闭时闭合开关合开关S,求求 uL(0+)作出电路如图（b）解：
8、iL(0+)=iL(0)=2 A 由0+等效电路求 uL(0+)S(t=0)+10V+1 4 uLL(a)iL2A+10V+1 4 uL(b)0+电路第11页/共67页解：例3：电路如图,求R S(t=0)iL+uL+uRusL+R+uL+uRiL(0+)0+等效电路等效电路作出0+等效电路，计算得：第12页/共67页iL(0+)=iL(0_)=ISuC(0+)=uC(0_)=RISuL(0+)=RIS作出0+电路如图b 解：例4:如图所示(a)电路，求 iC(0+),uL(0+)(a)ISL+iC+uL S(t=0)RuCCiL(b)+iCuLRiL(0+)=IS RIS，计算得：第13页/
9、共67页求初始值的步骤1.由换路前电路（稳定状态）求 uC(0)和 iL(0)。2.由换路定理得 uC(0+)和 iL(0+)。4.由0+等效电路求所需各变量的0+值。3.画0+等效电路。电容用电压源（电压为uC(0+)）替代 电感用电流源（电流为 iL(0+)）替代方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。第14页/共67页一阶常微分方程的解一阶常微分方程的解 本章只涉及一阶常系数齐次和非齐次微分方程本章只涉及一阶常系数齐次和非齐次微分方程 方程（1）对应的齐次方程为：P为常数、Q 0：一阶常系数非齐次微分方程 P为常数、Q=0：一阶常系数齐次微分方程 1.一阶常微分方程的一般形式2.一阶常
10、微分方程的解（1）（2）第15页/共67页方程（1）的解可写为：x=x+x 即方程（即方程（1）的解由两个分量组成，其中，）的解由两个分量组成，其中，x为非齐次方程为非齐次方程方程方程(1)的的特解特解，x为对为对应的齐次方程应的齐次方程方程方程(2)的的通解通解。求 x：令 x=Aept,并代入方程（2）得：则有 p+P=0 （3）方程(3)称为方程(1)的特征方程特征方程，解特征方程得特征根为p=P，这样 x=Ae Pt 方程(1)的特解x根据Q的不同情况有不同的解法。本章一般涉及Q为常数和正弦函数两种情况，可用待定系数法。方程(1)的解为：x=x+Ae Pt 其中，其中，A A为待定的积
11、分常数，可为待定的积分常数，可由方程由方程(1)(1)的初始条件确定。的初始条件确定。求 x ：第16页/共67页例：已知 x(0)=2,求如下微分方程的解 解：特征方程为特征方程为 2p+3=0 特征根为特征根为 p=1.5 即即 x=Ae 1.5t 求特解 x 令令 x=C(常数常数)，并代入方程，并代入方程(1)得得 3C=9 x=3 所以所以 x=x+x=3+Ae 1.5t 代入代入 x(0)=2，有，有2=3+AA=1 则方程则方程(1)的解为：的解为：x=3 e 1.5t ，即，即C=3，从而，从而 求x第17页/共67页 S(t=0)+i RuR +uC C 7-2 一阶电路的零
12、输入响应 零输入响应零输入响应：激励激励(独立电源独立电源)为零，仅由动态元件的初始储能引为零，仅由动态元件的初始储能引起的响应。起的响应。1.RC电路的零输入响应 已知:uC(0)=U0，求uC 和 i。解：由KVL，有 uC=uR=Ri特征根:p=1/RC特征方程:RCp+1=0 则代入 i=CduC/dt 得代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0，有 A=U0所以，有 第18页/共67页讨论：uc,uR,i 随时间的变化随时间的变化 令令 RC，考察，考察 的量纲的量纲 故故 称为电路的称为电路的时间常数时间常数，仅由换路后电路的结构和参数决定，仅由换路后电路的结构和参数决定，是电路
13、的固有参数。，是电路的固有参数。uc、uR及及i都按相同的指数规律衰减到零。都按相同的指数规律衰减到零。tU0uC0I0ti0安培秒库仑伏特=欧姆欧姆 伏特=RC=欧姆欧姆法拉法拉=欧姆欧姆 =秒秒 第19页/共67页 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 U0tuc0 2 10.368U0U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 工程上认为,经过 3 -5 ,过渡过程结束。t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 a)设设t0为一特定时刻，考察为一特定时刻，考察tt0 的的uc(t0 ):可见可见：是暂态量衰减到原来数
14、值的是暂态量衰减到原来数值的36.8时所需要的时时所需要的时间。间。显然显然 可表征暂态过程所需时间的长短可表征暂态过程所需时间的长短。第20页/共67页U0tuc(t)0b)的几何意义：的几何意义：uc(t0)ab t0为指数曲线上任意点的次切距。为指数曲线上任意点的次切距。可以证明：可以证明：第21页/共67页2.RL电路的零输入响应 特征方程 Lp+R=0,特征根 p=由初始值 i(0+)=I0 确定积分常数AA=i(0+)=I0i(0+)=i(0)=开关S合上后 US i+uLR1R S(t=0)Li+uLRL,由KVL,有 第22页/共67页iI0t0令 =L/R,作量纲分析得 的量
15、纲为秒称为一阶RL电路的时间常数-RI0uLt0第23页/共67页 A=iL(0+)=iL(0)10/10=1 A,分析:S打开,电路为一RL电路的零输入响应 问题 例:t=0时,打开开关S,现象：电压表损坏电压表量程：50VuV(0+)=10000V V造成 损坏。对于t 0,电感电流iL为:其中:10V S(t=0)+RV=10k uV iL R=10 L=4H+V第24页/共67页小结：b.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/Rc.同一电路中所有响应具有相同的时间常数同一电路中所有响应具有相同的时间常数。a.一阶电路的零输入响应是由储
16、能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。1.一阶电路求解方法-经典法 a.求初始值求初始值：uc(0+)、iL(0+)b.列写电路的方程列写电路的方程 c.求方程的通解求方程的通解d.确定积分常数确定积分常数2.一阶电路解的性质 第25页/共67页令 u C=U(常数),并代入方程（1）零状态响应：储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产 生的响应生的响应i)列写方程:t 0，由KVL,有 7-3 一阶电路的零状态响应 ii)求方程的通解:通解
17、的一般形式为 1.RC电路的零状态响应齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解 特征方程:求特解:特征根 p=1/RC RCp+1=0，得 u C=US，故 USuC S(t=0)+i RuR +uC(0)=0C第26页/共67页这样：US+A=0 iii)确定积分常数A：，有 uC 和i 的波形如图所示：t0i由初始条件 uC(0+)=US+A A=US tuc0uCUS USuCuc第27页/共67页能量传输关系 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存的能量：电源提供能量：电阻消耗的能量：给电容充电时，不论给电容充电时，不论R、C 取何
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