一两角和与差的三角函数.pptx

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1、一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式(升幂公式)(降次公式)sin()=sincoscossincos()=coscos sinsin-+tan()=tantan 1 tantan-+asin+bcos=a2+b2 sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 sin2=2sincostan2=2tan 1-tan2 sin2=1-cos22 cos2=1+cos22 第1页/共25页三、半角公式四、万能公式五、其它公式sin3=3sin-4sin3;cos3=4cos3-3cos;sin(60-)sinsin(60+)=sin3;14cos(60-)coscos

2、(60+)=cos3.14sin =1-cos 2 2 cos =1+cos 2 2 tan =1-cos 1+cos 2=sin 1+cos=1-cos sin sin=2tan 2 1+tan2 2 tan=2tan 2 1-tan2 2 cos=1-tan2 2 1+tan2 2 第2页/共25页公式选择1.从函数的名称考虑 切割化弦(有时也可考虑“弦化切”),异名化同名(使函数的名称尽量统一);2.从角的特点考虑 异角化同角,抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);3.从变换的需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的;4.尽量避开讨论 第3页/共25页常用技巧与方法1.

3、变换常数项 将常数变换成三角函数;2.变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一;3.升幂或降次 运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构;4.运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.第4页/共25页三角函数式化简目标1.项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少;4.次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号;7.能求出值的求出值.第5页/共25页典型例题 1.求 sin220+cos250+sin20cos50 的值.思维精析 从幂入手,用降幂公式.解法1 原式=+(sin70-sin30)1+cos

4、100 21-cos40 212=-sin70sin30+sin70 1234=.34思维精析 从形入手,配成完全平方.=.3412解法2 原式=(sin20+cos50)2+cos250 3412=sin(50-30)+cos502+cos250 34=(sin50cos30)2+cos250 34思维精析 从角入手,化异角为同角.=.34解法3 原式=sin2(50-30)+cos250+sin(50-30)cos50=(sin50cos30-cos50sin30)2+cos250 +(sin50cos30-cos50sin30)cos50=(sin250+cos250)34第6页/共25

5、页思维精析 从式入手,构造对偶式.解法4 设 x=sin220+cos250+sin20cos50,=.34思维精析 从三角形入手,构造图形,利用正余弦定理.解法5 设 ABC 外接圆半径为 1,A=20,B=40,y=cos220+sin250+cos20sin50.则 x+y=2+sin70 ,x-y=-cos40+cos100-sin30 .x=(2+sin70-cos40+cos100-sin30)12=(+sin70-2sin70sin30)1232则 C=120.由正余弦定理知:原式=sin220+sin240+sin20sin40 =sin220+sin240-2sin20sin

6、40cos120 =sin2120=.34得:2+sin220+cos250+sin20cos50 的值为 .341.求 sin220+cos250+sin20cos50 的值.第7页/共25页 2.已知 ,cos(-)=,sin(+)=-,求 sin2 的值.2 43131235解:,2 430-,+0,cos(+)0,第8页/共25页3.已知sin+cos=2sin,sincos=sin2,求证:2cos2=cos2.4.已知 sin=msin(2+),其中 m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 证:sin+cos=2sin,(sin+cos)2=4sin2.1

7、+2sincos=2(1-cos2).sincos=sin2,1+2sin2=2(1-cos2).1+1-cos2=2(1-cos2).2cos2=cos2.证:sin=msin(2+),m=.sin sin(2+)=tan(+).tan=tan 1-m 1+m sin(2+)+sin sin(2+)-sin=tan 2sin(+)cos 2cos(+)sin tan(+)=tan.1-m 1+m 第9页/共25页另证:sin=msin(2+),sin(+)-=msin(+)+.sin(+)cos-cos(+)sin 整理得(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=msin

8、(+)cos+cos(+)sin.tan(+)=tan.1-m 1+m 4.已知 sin=msin(2+),其中 m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 第10页/共25页 5.已知 tan,cot 是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两实根,且 30.30,tan0,(0,),0 ,.2 2-0,-.2-2-0.2-=-.43由 tan(2-)=1 知 注 亦可由 tan1 得 0 .4 02 .2-2-0.第12页/共25页7.计算 -+64sin220.sin220 3cos220 1sin220cos220 3cos220-sin220解:原式=+

9、64sin220sin220cos220(3cos20+sin20)(3cos20-sin20)=+64sin220 sin240 16sin80sin40=+64sin220=32cos40+64sin220=32(1-2sin220)+64sin220=32.第13页/共25页 8.已知 sin2=(-),函数 f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos.(1)求 cos 的值;(2)若 f-1(x)表示 f(x)在-,上的反函数,试求 f-1(-)的值.342 352 2 1010 2 解:(1)-,-2-.3432cos0,cos20.由已知可得 cos2=-.45故由 cos

10、2=2cos2-1 得 cos=-.1010(2)f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos=-2cossinx+2cos=-2cos(sinx-1)=(sinx-1).10 5 1010 由 (sinx-1)=-得 10 5 sinx=.122 2 x-,x=.6 6 f-1(-)=.1010 第14页/共25页解法1 sin22+sin2cos-cos2=1,4sin2cos2+2sincos2=2cos2.1.已知 sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求 sin,tan 的值.2 cos2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0.(

11、0,),2 cos20,sin+10.2sin-1=0.sin=.12=.6 tan=.33故 sin,tan 的值分别为 和 .3312解法2 sin22+sin2cos-cos2=1,sin2cos-cos2=1-sin22=cos22.2sincos2=2cos2cos2.(0,),2 cos20.sin=cos2.即 cos(-)=cos2.2 -(0,),2(0,),且 y=cosx 在(0,)内是减函数,2 2 -=2.2=.6 sin=,tan=.1233课后练习第15页/共25页解法3 由已知 sin22+sin2cos-cos2-1=0,可看作关于 sin2 的一元二次方程.

12、解这个一元二次方程得:sin2=-cos cos2+4(1+cos2)2=.-cos3cos 2(0,),2 sin2=cos.即 2sincos=cos.=.6 tan=.33sin=.12 1.已知 sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求 sin,tan 的值.2 故 sin,tan 的值分别为 和 .3312第16页/共25页 2.已知 cos=-,cos(+)=,且(,),+(,2),求.131226 17 2 23232323解:(,),+(,2),(0,).26 7 2 又由已知得 sin=-,sin(+)=-,135cos=cos(+)-=cos(+)cos+si

13、n(+)sin=(-)+(-)(-)131213526 17 2 26 7 2 =-.22=.43第17页/共25页 3.已知 tan(+)+tan=a,cot(+)+cot=b,求证:ab(ab-4)=(a+b)2.4 4 证:a=cos(+)cos sin(+)4 4=,cos(+)cos sin(+2)4 4 b=.sin(+)sin sin(+2)4 4 4 sin(+)sincos(+)cos sin2(+2)4 4 ab=2 sin(+2)sin2 21-cos(+4)2 cos2sin2 2(1+sin4)sin4 4(1+sin4)=.ab-4=.sin4 4 sin24 16

14、(1+sin4)ab(ab-4)=.4 4 又a+b=tan(+)+cot(+)+tan+cot=+2 sin(+2)2 sin2 2 cos2 2=+sin2 2 sin4 4(sin2+cos2)=,第18页/共25页(a+b)2=sin24 16(sin2+cos2)2 sin24 16(1+sin4)=.ab(ab-4)=(a+b)2.4.已知 sin(+2)sin(-2)=,(,),求 2sin2+tan-cot-1 的值.2 4 4 144 解:由已知 =sin(+2)sin(-2)144 4=sin(+2)cos(+2)4 4=sin(+4)2 12=cos4.12cos4=.1

15、2(,),4 2=.12 5 2sin2+tan-cot-1=-cos -2cot 6565=-cos2-2cot2=+2 3 32=3.52=cos +2cot6 6 第19页/共25页 5.设,是锐角,且 tan =tan3 ,tan=tan.求证:,成等差数列.2 2 12证:由已知tan=tan 12tan 1-tan2 2 2=tan (1+tan2 )(1-tan2 )(1+tan2 )2 2=2 2 2 tan +tan 1-tan tan 2 2=2 2+=tan .,是锐角,都是锐角.2+2+=tan 故由 tan 知:=.2+,成等差数列.tan +tan3 1-tan t

16、an3 2 2=2 2 第20页/共25页 6.已知 tan(+)=.(1)求 tan 的值;(2)求 的值.sin2-cos2 1+cos2 124 12解:(1)tan(+)=,且 tan(+)=,4 4 1+tan 1-tan 1+tan 1-tan 12 =.解得 tan=-.13(2)原式=2sincos-cos2 1+2cos2-1 2sin-cos 2cos=12=tan-13=-12=-.56第21页/共25页 7.已知 6sin2+sincos-2cos2=0,),求sin(2+)的值.2 3 解:6sin2+sincos-2cos2=0,(3sin+2cos)(2sin-c

17、os)=0.3sin+2cos=0 或 2sin-cos=0.又由已知得 cos0,2 .2(,),从而 tan0.tan=-.23sin(2+)=sin2cos +cos2sin 3 3 3=sincos+(cos2-sin2)32sincos cos2+sin2 cos2-sin2 cos2+sin2=+32=+tan 1+tan2 1-tan2 1+tan2 32=-+3.136265第22页/共25页 8.已知函数 f(x)=-,(1)将 f(x)表示成 cosx 的整式;sin2sin25x 2x 12 (2)若 y=f(x)与 y=g(x)=cos2x+a(1+cosx)-cosx

18、-3 的图象在(0,)内至少有一个公共点,试求 a 的取值范围.sin -sin2sin25x 2x 12解:(1)f(x)=-=sin2sin25x 2x 2x 2cos sinx2sin23x2x=2cos cos23x2x=cos2x+cosx =2cos2x+cosx-1.第23页/共25页解:由 f(x)=g(x)得 2cos2x+cosx-1 即 a(1+cosx)=cos2x+2cosx+2 x(0,),01+cosx2.a=1+cosx+2.1+cosx 1仅当 1+cosx=,即 cosx=0,亦即 x=时取等号.2 1+cosx 1故 a 的取值范围是 2,+).(2)若 y=f(x)与 y=g(x)=cos2x+a(1+cosx)-cosx-3 的图象在(0,)内至少有一个公共点,试求 a 的取值范围.=cos2x+a(1+cosx)-cosx-3.=(1+cosx)2+1.第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页