第三章随机变量的数字特征介绍.pptx

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1、1随机变量的数字特征概述 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征的重要特征.本章将介绍随机变量的常用数字特征：本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差与相关系数数学期望、方差、协方差与相关系数.第1页/共133页2第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征v数学期望数学期望 v方差方差v协方差与相关系数协方差与相关系数第2页/共133页3引例有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：射手甲射手甲

2、击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？试问哪个射手本领较好？第3页/共133页4击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 若两个选手各射N枪，则甲的平均环数为：(80.3N90.1N100.6N)/N=9.3，乙的平均环数为：（80.2N90.5N100.3N)/N=9.1.击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3第4页/共133页5 甲平均射中甲平均射中9.39.3环，乙平均射中环，乙平均射中9.19.1环，因此环，因此甲射手的本领好些甲射手的本领好些.在这一问题中，以平均值

3、的大小为准则，来在这一问题中，以平均值的大小为准则，来判定射手的射击水平的高低判定射手的射击水平的高低.由此产生了随机变由此产生了随机变量的数学期望量的数学期望E(X)的概念的概念.仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击水平的高低还不够水平的高低还不够.例如，例如，第5页/共133页6 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.4 0.1 0.5 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.2 0.5 0.3试问哪个射手本领好一些？试问哪个射手本领好一些？若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为：(80.4(80.

4、4N90.190.1N100.5100.5N)/N=9.1=9.1，乙的平均环数为：乙的平均环数为：（80.280.2N90.590.5N100.3100.3N)/N=9.1=9.1.第6页/共133页7 这时，可用量这时，可用量 来衡量来衡量射手的射击水平的高低射手的射击水平的高低.D(X)它它表示射击环数表示射击环数对平均值的离散程度对平均值的离散程度.D(X)的值越小，表示射击的值越小，表示射击环数环数x越集中在平均环数越集中在平均环数E(X)的附近，这意味着的附近，这意味着射手的射击水平越稳定射手的射击水平越稳定.由此便产生了方差的由此便产生了方差的概念概念.第7页/共133页8v 随

5、机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质第8页/共133页9数学期望的定义离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 .即即第9页/共133页10数学期望的定义连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值）

6、，记为E(X).).即即第10页/共133页11例1 求二项分布求二项分布 的数学的数学期望期望.解解第11页/共133页12例2 求泊松分布求泊松分布 的的数学期望数学期望.解解第12页/共133页13例3 随机变量随机变量X取值取值 对应的对应的概率为概率为求数学期望求数学期望.解解 尽管尽管但由于但由于第13页/共133页14例4随机变量随机变量X服从指数分布服从指数分布解解求数学期望求数学期望.第14页/共133页15第15页/共133页16例5第16页/共133页17第17页/共133页18 Y 1500 2000 2500 3000 P0.09520.08610.07790.740

7、8第18页/共133页19随机变量函数的数学期望第19页/共133页20P64例4.5改为X1 0 2 pk 1/4 1/2 1/4 第20页/共133页21P64例4.6第21页/共133页22例4.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机，若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命求整机寿命(以小时计以小时计)N的数学期望的数学期望.由两个相互独立工作的电子装置，它们由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命的寿命 服从同一指数分布，其服从同一指数分布，其概率密度为概率密度为 第22页/共133页23第23页/共133页24第24页/共133页25例7第25页/共133页26第26页/共1

8、33页27作业P801求E(X),2求E(X),3.第27页/共133页28离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 .即即第28页/共133页29连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E(X).).即即第29页/共133页30随机变量函数的数学期望第30页/共133页31随机向量函数

9、的数学期望第31页/共133页32随机向量函数的数学期望第32页/共133页33随机向量的分量的数学期望则有则有第33页/共133页34随机向量的分量的数学期望则有则有第34页/共133页35例4.8第35页/共133页36第36页/共133页37第37页/共133页38第38页/共133页39例第39页/共133页40第40页/共133页41第41页/共133页42例9第42页/共133页43第43页/共133页44第44页/共133页45第45页/共133页46第46页/共133页47数学期望的性质第47页/共133页48数学期望的性质第48页/共133页49随机变量随机变量X服从正态分布

10、服从正态分布求X的数学期望.第49页/共133页50第50页/共133页51第51页/共133页52P67例10第52页/共133页53第53页/共133页54例10 第54页/共133页55即第55页/共133页56第56页/共133页57例11 第57页/共133页58矩的概念第58页/共133页59练习P8013第59页/共133页60作业P8010，19第60页/共133页61v随机变量的方差方差的定义方差的定义方差的性质方差的性质第61页/共133页62第62页/共133页63随机变量方差的定义第63页/共133页64方差与数学期望的关系第64页/共133页65例12 第65页/共1

11、33页66例13 第66页/共133页67例14 第67页/共133页68第68页/共133页69例15 第69页/共133页70例16 第70页/共133页71P69例13 X 28 29 30 31 32 p 0.10 0.150.500.15 0.10 Y 28 29 30 31 32 p 0.13 0.170.400.17 0.13第71页/共133页72P69例4.14第72页/共133页73方差的性质第73页/共133页74例17 第74页/共133页75第75页/共133页76P70例15第76页/共133页77例4.16 第77页/共133页78第78页/共133页79P70例

12、4.17第79页/共133页80P71例4.18第80页/共133页81第81页/共133页82练习P807第82页/共133页83作业P806,8,14第83页/共133页84v协方差与相关系数定义定义性质性质不相关与独立不相关与独立第84页/共133页85协方差与相关系数的定义第85页/共133页86第86页/共133页87协方差与相关系数的定义第87页/共133页88协方差与期望、方差的关系第88页/共133页89P72例4.19第89页/共133页90第90页/共133页91第91页/共133页92例4.20 第92页/共133页93第93页/共133页94第94页/共133页95第9

13、5页/共133页96协方差、相关系数的性质第96页/共133页97例4.21 证明证明第97页/共133页98第98页/共133页99第99页/共133页100不相关与独立第100页/共133页101例21 第101页/共133页102第102页/共133页103第103页/共133页104例22 X Y -2 -1 1 2PY=i 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2PX=j 1/4 1/4 1/4 1/4第104页/共133页105第105页/共133页106设(X,Y)服从二维正态分布,它的密度函数为第106页/共133页107第107页/共133页10

14、8练习P8112第108页/共133页109第109页/共133页110第110页/共133页111作业P8111,16第111页/共133页112v大数定律马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律几个常用的大数定律几个常用的大数定律第112页/共133页113马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫不等式马尔可夫不等式第113页/共133页114马尔可夫与切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式第114页/共133页115例23 第115页/共133页116第116页/共133页117第117页/共133页118例24 X 0.3 0.6 P 0.2

15、 0.8第118页/共133页119第119页/共133页120依概率收敛与大数定律依概率收敛依概率收敛第120页/共133页121依概率收敛与大数定律依概率收敛的意义依概率收敛的意义第121页/共133页122依概率收敛与大数定律大数定律的意义大数定律的意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性.它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.第122页/共133页123几个常用的大数定律几个常用的大数定律切比雪夫定理切比雪夫定理第123页/共1

16、33页124切比雪夫定理的特殊情况第124页/共133页125几个常用的大数定律几个常用的大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律第125页/共133页126几个常用的大数定律几个常用的大数定律贝努里大数定律的意义贝努里大数定律的意义虽然个别事件在某次实验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即一个随机事件出现的频率在某个固定数的附近摆动，即所谓“频率稳定性”.第126页/共133页127几个常用的大数定律几个常用的大数定律辛钦大数定律（弱大数定律）辛钦大数定律（弱大数定律）第127页/共133页128例25 第128页/共133页129第129页/共133页130第130页/共133页人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。第131页/共133页第132页/共133页133感谢您的观看！第133页/共133页