专题不等式函数与导数.pptx

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1、【考向预测】纵观近三年高考全国课标卷,不等式与函数导数知识的考查主要是简单不等式的求解;线性规划应用;函数的单调性和奇偶性;函数图象的应用;定积分应用;利用导数求切线方程、求函数解析式、确定函数单调区间、求参数范围、求函数最值.其题型既有选择题、填空题,也有解答题.预测2013年关于不等式、函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合,有45个小题,1个大题.小题以概念、图象性质及运算为主,重点考查简单不等式求解;线性规划求最值;函数的单调性与奇偶性;函数图象的应用;导数的几何意义;定积分应用等知识方法.大题的函数背景是以e为底的对数函数与分式函数乘积、再与一次或第1页/共179页二次函数代数和的形式

2、的综合型题,考查利用导数研究函数的单调性、逆求参数取值范围或证明不等式.涉及的主要思想方法是函数方程思想,数形结合思想和分类讨论思想.第2页/共179页1.(2012年广东佛山市质检试题)下列函数中既是奇函数,又在区间(-1,1)上是减函数的为()(A)y=|x|.(B)y=.(C)y=-x3.(D)y=ex+e-x.【解析】由于y=|x|,y=ex+e-x是偶函数,排除A、D;又y=在x=0处无定义,故选C.【答案】C第3页/共179页2.(2012年武昌区高三调研试题)函数y=f(x)的图象如图所示,给出以下说法:函数y=f(x)的定义域是-1,5;函数y=f(x)的值域是(-,02,4;

3、函数在定义域内是增函数;函数y=f(x)在定义域内的导数f(x)0.其中正确的是()(A).(B).(C).(D).【解析】函数y=f(x)的定义域中含有x=3,正确;函数y=f(x)在定义域内不是增函数,错误.【答案】A第4页/共179页3.(2012年全国新课标)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在ABC内部,则z=-x+y的取值范围是()(A)(1-,2).(B)(0,2).(C)(-1,2).(D)(0,1+).【解析】由题意得,正三角形ABC的边长为2,所以顶点C的坐标为C.当取三角形ABC的顶点B时,目标函数取得最大值,最大值为zm

4、ax=2;当取点C时,目标函数有最小值,此时最小值为zmin=1-.所以目标函数的取值范围为,故选A.【答案】A第5页/共179页4.(2012年全国新课标)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.【解析】由题意得,y=x(3lnx+1)=3xlnx+xy=3lnx+4,所以y|x=1=4,由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得y=4x-3.【答案】y=4x-3第6页/共179页5.(2012年浙江)设aR,若x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,则a=.【解析】此题为三次函数恒成立问题,直接化解难度大,可通过取两个值求交集法进行求解,也可考虑x1=有重根进行处理

5、,即x1满足方程x2-ax-1=0有a=或a=0(舍去),因此a=.【答案】第7页/共179页(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.【解析】(1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.从而f(x)=ex-x+x2.由于f(x)=ex-1+x,故当x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.6.(2012年全国新课标)已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2.第8页/

6、共179页(2)由已知条件得ex-(a+1)xb.()若a+10,则对任意常数b,当x0,且x时,可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g(x)=ex-(a+1).当x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故g(x)有第9页/共179页最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)x2+ax+b等价于ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h(a)=(a+1)(1

7、-2ln(a+1).所以h(a)在(-1,-1)单调递增,在(-1,+)单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值.从而h(a),即(a+1)b.第10页/共179页当a=-1,b=时,式成立,故f(x)x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为.第11页/共179页(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=lnx+,若对任意的x1-1,1,总存在x21,e,使得g(x2)f(x1)+,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=.由题意,f(1)=0,且f(1)=2,解得m=4,n=1,经检验,f(x)在x=1处取得极大值2,故f(x)=.7.(南昌市2012高三模拟测试题)已知函

8、数f(x)=(m,nR)在x=1处取到极值2.第12页/共179页(2)由(1)得f(x)=.x(-1,1)时,f(x)0,f(x)在-1,1上单调递增,f(x)min=f(-1)=-2.对任意的x1-1,1,总存在x21,e,使得g(x2)f(x1)+,g(x)minf(x)min+,即g(x)min-2+=.g(x)=lnx+,g(x)=-=(1xe).当a1时,g(x)0,函数g(x)在1,e上单调递增,g(x)min=g(1)=a1,符合题意;当1ae时,在(1,a)上g(x)0,g(x)在(1,a)上单调第13页/共179页递减,在(a,e)上单调递增,g(x)min=g(a)=ln

9、a+1,解得0a,1a;当ae时,g(x),不合题意.综上,实数a的取值范围是a.【诊断参考】分析和研究近三年高考全国课标卷,关于不等式、函数与导数知识的考查,充分体现了试题的设计以支撑知识的重点内容为考点来挑选合理背景,寻找创新点,应用知识间的内在联系,进行融合,构建试名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考第14页/共179页题的主体结构的特色,从多视角、多维度、多层次地考查不等式、函数与导数的重点知识以及数学思维品质和思维能力.展示了不等式、函数与导数知识的基础性、应用性和工具性作用.重点考查数学通性通法,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等重要数学思

10、想方法.近三年的试题基本涵盖了不等式、函数与导数的所要求考查的内容,选择、填空题涉及的内容:不等式的性质、基本不等式的应用、解不等式、线性规划、函数的概念与性质(单调性和奇偶性),分段函数、函数图象的交点与函数的零点、定积分、导数的意义.解答题稳定在第21题,主要考查不等式与函数导数的综合应用,如:通过导数确定原函数的单调区间、求原函数极值或最第15页/共179页值;解不等式恒成立、存在性命题;求参数取值范围或最值;证明不等式等,此类问题一般难度较大.针对上述分析,函数的定义域蕴含于函数问题的求解中,解题时切勿忘记;在处理分段函数的单调性时,不仅要研究每一段函数的单调性,而且还要研究整个函数的

11、单调性;关于函数性质的综合问题,如单调性、奇偶性、零点、两函数图象交点、变量的取值范围等,解题时应养成画出大致图象的习惯,增强解题中的作图意识,适时借助图象的形象、直观,可简化求解过程,快速获得解题结果;运用不等式性质解题时,要注意不等式性质成立的条件,运用基本不等式求最值时,则须满足“一正、二定、三相等”;线性规划的考题一般为第16页/共179页基本题型、或以三角形、平行四边形为载体,都不含参数,属于容易题,解题时不能只凭目测直觉判断,正确方法是准确画出可行域,找到最优解,求出最值,但训练时应注意相应问题的变式与延伸;函数导数的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程时,要明确题给的已知点是“

12、切点”还是“非切点”,避免错解;二是运用导数与函数的单调性建立不等式求参数范围时,不等号中勿遗漏含等号情况,如f(x)0或f(x)0,即“遇参数,含等号”;三是利用导数求参数范围,解证不等式、求函数最值等较难问题,有时需构造函数,通过两次求导来解决问题;有时解题中遇思路受阻时,要善于搜寻信息,发掘条件,灵活变通.如2012年浙江高考题(即上述第5题):将条件不等式转化为第17页/共179页或后,似乎无法解下去,其实注意到条件x0,将其分为两个区间,在各自区间内恒正或恒负,问题便迎刃而解;有一类常见于各级各类考试中的函数导数题型:含参数的等式或不等式恒成立、存在性问题,其常见形式与求解方法是:给

13、出函数f(x)、g(x)(至少有一个函数含有参数).对任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)ming(x)min;对任意x1a,b、x2c,d,都有f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)ming(x)max;第18页/共179页对任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)=g(x2)成立,等价于f(x)的值域g(x)的值域;对任意x1a,b、x2c,d,都有f(x1)=g(x2)恒成立,等价于f(x)的值域=g(x)的值域.第19页/共179页不等式有八个性质,考查频率较高,容易出错的有:1.ab且c0acbc;ab且c0acb0,cd0acbd.二、不

14、等式的解法1.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解法:先求ax2+bx+c=0的根,再由二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.【核心知识】一、不等式的性质第20页/共179页1.解答线性规划的应用问题的一般步骤:(1)设:设出所求的未知数;(2)列:列出约束条件及目标函数;(3)画:画出可行域;(4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数最值;(5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解,求出最值.2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l

15、,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.三、线性规划第21页/共179页1.a,bR,a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.a,bR+,当且仅当a=b时,等号成立.使用基本不等式时,要注意:“a0,b0”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向函数最值或值域转化;(2)向函数图象或转化.2.已知x0,y0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值四、基本不等式第22页/共17

16、9页.六、函数的概念及其表示函数f:AB是特殊的映射,A、B都是非空数集.函数的三要素:定义域、值域和对应法则.当两个函数定义域和对应法则相同时,它们是同一函数.函数表示方法常用:解析法、列表法、图象法.七、函数的性质1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方程(组)法.第23页/共179页2.函数定义域的常用求法:(1)依据解析式特点:偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等;(2)实际问题中要考虑变量的实际含义.3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元

17、法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式法;(8)导数法.4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)在客观题中还常用数形结合法、特殊值法;(4)复合函数的单调性“同增异减”.第24页/共179页5.函数的奇偶性常利用定义(或其变形)或图象特征判断.6.函数的周期性:函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)(a0),则a是函数y=f(x)的一个周期;函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0)(或f(x+a)=),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.八、指、对数函数的图象与性质第25页/共179页名称指数函数y=ax(a0,且a

18、1)对数函数y=logax(a0,且a1)0a10a1图象定义域R(0,+)值域(0,+)R定点(0,1)(1,0)单调性单调递减单调递增单调递减单调递增第26页/共179页九、函数的应用1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数以及y=x+(a0)等.十、导数及其应用1.函数y=f(x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.2.设函数y=f(x)在某区间可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0)在区间a,b内的定积分f(x)dx的

19、几何意义是函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=a与x=b所围成的曲边梯形的面积(如图1);函数y=f(x)与y=g(x)的图象所围成的封闭图形的面积(如图2)为f(x)dx-g(x)dx.第28页/共179页图1图22.微积分基本定理:对于被积函数f(x),如果F(x)=f(x),则f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).【考点突破】第29页/共179页热点一:基本不等式的应用此类试题常会与函数的最值、大小关系的比较等知识考查,主要以选择题或填空题的形式出现,试题难度不大,试题考查不等式的基本性质和应用为主,求解过程中注重对相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性.第30页/共

20、179页(2)已知正整数a、b满足4a+b=30,则使得+取得最小值的有序数对(a,b)是()(A)(5,10).(B)(6,6).(C)(7,2).(D)(10,5).【分析】第(1)题凑用基本不等式或“加零”变形可求最小值;第(2)题运用“乘1”技巧方法和基本不等式可求取得最小值时的有序整数对.【解析】(1)x1,y=x+=(x-1)+13,当且仅当x=2时取等号,即ymin=3.(1)已知x1,则y=x+的最小值为()(A)1.(B)2.(C)2.(D)3.第31页/共179页(2)依题意+=(4a+b)(+)=(4+1),当且仅当=且4a+b=30,即a=5,b=10时取最小值,故所求

21、有序整数对为(5,10),选A.【答案】(1)D(2)A【归纳拓展】本题应用变形中的“加零”、“乘1”技巧方法以及活用基本不等式来解决求最值问题.此类问题常在“a、b(或x、y)”的灵活拼凑、条件“一正、二定、三相等”的运用上精心设计思考点,解题时要注意基本不等式应用中的等号成立条件.第32页/共179页变式训练1(1)设a0,b0.若3a3b=3,则+的最小值为()(A)8.(B)4.(C)1.(D).(2)已知不等式(x+y)(+)9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为.【解析】(1)3a3b=3,a+b=1,+=(a+b)(+)=2+2+2=4,当且仅当=且a+b=1,即a=b

22、=时等号成立,故选B.(2)(x+y)(+)=1+a+(+)1+a+29,a+2-80,-4(舍)或2,a4.【答案】(1)B(2)4第33页/共179页热点二:不等式性质与解法解不等式试题形式多样,主要考查可转化为一元二次不等式解法的题型,常与集合、简易逻辑、函数导数相结合,以选择题、填空题形式出现,难度中等.(1)下列四个条件中,使ab成立的必要而不充分的条件是()(A)ab-1.(B)ab+1.(C)a2b2.(D)a3b3.第34页/共179页(2)已知函数f(x)=,则不等式f(x)0的解的区间是()(A)(-1,1).(B)(0,1).(C)(-1,0)(0,1).(D)(-,-1

23、)(1,+).【分析】第(1)题运用不等式性质和充要条件的意义进行判断;第(2)题将不等式等价化为两个不等式组求解.【解析】(1)易知ab+1ab,而ab时,ab+1不一定成立,故选B.第35页/共179页(2)原不等式等价于或,解得0 x1或-1x0的解的区间是(-1,0)(0,1).【答案】(1)B(2)C【归纳拓展】(1)解不等式问题常以求函数定义域、考查集合间关系、直接解不等式等形式出现.求解各类不等式的关键是等价转化,即分式不等式化为整式不等式;高次不等式分解降次(常用“穿针引线法”,但要注意“奇过偶不过”);绝对值不等式设法“脱去”绝对值符号;指、对数不等式运用函数性质化为一次、二

24、次不等式;含根式不等式、三角不等式利用函数图象数形结合求解.第36页/共179页(2)解形如“ax2+bx+c0”的不等式的一般步骤是“一看(看二次项系数的符号)、二算(分解因式或计算方程的根)、三写(写出不等式的解集)”,若二次项系数含参数时,应注意讨论二次项系数为零的情况.(3)解含参数不等式时,应注意对参数进行分类讨论,讨论时要做到“不重、不漏、最简”的三原则;也可与函数导数知识结合,将解不等式问题转化为对函数图象的研究,运用数形结合的思想方法求解.第37页/共179页变式训练2(1)设函数f(x)=-x2+4x在m,n上的值域是-5,4,则m+n的取值组成的集合为()(A)-1,1.(

25、B)0,6.(C)1,5.(D)1,7.第38页/共179页(2)函数y=+log2(x+2)的定义域为()(A)(-,-1)(3,+).(B)(-,-13,+).(C)(-2,-13,+).(D)(-2,-1.【解析】(1)由-x2+4x=4得x=2,由-x2+4x=-5得x=5或x=-1.结合二次函数的图象知-1m2,2n5,故-1+2m+n2+5,即1m+n7.第39页/共179页(2)由,得定义域为(-2,-13,+).【答案】(1)D(2)C第40页/共179页热点三:简单的线性规划应用线性规划判断平面区域,求目标函数的最值,常见于选择或填空题,线性规划解决实际应用问题常见于解答题,

26、都是以中档题为主,解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想,准确确定可行域和最优解.已知变量x、y满足的约束条件为,则目标函数z=3x+y的最大值为()(A)10.(B)12.(C)14.(D)15.第41页/共179页【分析】先作出线性约束条件的可行域,然后确定最优解,求出目标函数的最大值.【解析】作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为(3,1),故z的最大值为zmax=33+1=10.【答案】A第42页/共179页将图形作准确,借助图形找出目标函数的最优解的位置极为重要,是解题的关键.【归纳拓展】(1)本题主要考查线性规划问题.准确画出可行域,尽量(2)在选用线性规划知识求解最优解

27、的实际应用问题时,应首先依据实际数据利用已给的限制条件得到约束条件,将实际问题转化为数学问题;其次注意变量的范围,变量范围既要满足数学问题的限制条件,也要符合实际意义.第43页/共179页变式训练3(衡水中学2012届高三下学期第三次模拟题)若实数x,y满足则在平面直角坐标系中,此不等式组表示的平面区域的面积是.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分,其面积为S=()2-()2=2-.【答案】2-第44页/共179页热点四:函数的概念与性质函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也是高考必考内容.高考试题主要考查三类性质的判定及其应用.在具体问题中要加强这三类性质的整合,

28、充分挖掘有效信息,如图象的趋势走向、对称性、过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与灵活处理问题的能力.(1)函数f(x)=ln(sin2x)+的定义域为()(A)-,0)(,2.(B)-2,).(C)-2,-)(0,).(D)(-,2.第45页/共179页(2)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0),则函数y=xf(x)(0 x1)的最大值为.(3)若y=loga(2-ax)在0,3上是x的增函数,则a的取值范围是.(4)已知f(x)是偶函数,且f(x)在0,+)上是增函数,如果f(ax+1)f(x-2)在x,1上恒成立,则实数a的取值范围是(

29、)(A)-2,1.(B)-5,0.(C)-5,1.(D)-2,0.【分析】第(1)题依据条件列出不等式组,解此不等式组即求函数的定义域;第(2)题将函数分为两段,结合每段函数的单调性进行判断,第46页/共179页直接求函数的最大值;第(3)题由对数函数的单调性及复合函数单调性的综合应用,结合恒成立问题的解法可使本题获解;第(4)题可综合应用函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式解法,结合恒成立条件求解.【解析】(1)由得f(x)的定义域为-2,-)(0,).第47页/共179页(2)据题意得,f(x)=y=xf(x)=当0 x时,函数y=xf(x)递增;当x1时,y=xf(x)=-10(x-)2+

30、,函数y=xf(x)递减.x=时,y=xf(x)最大值为10()2=.(3)由y=loga(2-ax)在0,3上是x的增函数,得0a0在0,3上恒成立,即a在0,3上恒成立,a()min.又y=在0,3上的最小值为,a,0a.(4)偶函数f(x)在0,+)上是增函数,且f(ax+1)f(x-2)在x,1上第48页/共179页恒成立,|ax+1|x-2|在x,1上恒成立,即x-2ax+12-x在x,1上恒成立,1-a-1在x,1上恒成立,a(1-)max且a(-1)min,得-2a0,故实数a的取值范围是-2,0.第49页/共179页【答案】(1)C(2)(3)(0,)(4)D【归纳拓展】(1)

31、求函数定义域即解关于自变量的不等式(组),解题关键是根据条件正确列出使函数有意义的不等式(组),如偶次方根的被开方数不小于零、分式的分母不为零、对数的真数大于零等;第50页/共179页(2)解分段函数问题时,首先要观察每段函数解析式的特点,再整体分析,充分发掘已给信息,对问题作出正确的判断;(3)函数单调性的应用主要是对函数单调性的判断、利用单调性确定参数的值(或取值范围)、借助单调性进行大小比较等,关于复合函数的单调性判断,须遵循“同增异减”原则;(4)函数性质问题题型新颖多样,方法灵活多变,利用函数图象特征数形结合、等价转化是解决此类问题的重要策略和方法,相关结论的适时应用亦可简化计算.第

32、51页/共179页(2)已知x=ln,y=log52,z=,则()(A)xyz.(B)zxy.(C)zyx.(D)yzx.变式训练4(1)函数f(x)=+的定义域为.第52页/共179页(3)(山东省济宁微山一中2012届高三第二次质量检测题)已知函数f(x)=sinx+3x,x(-1,1),如果f(1-a)1,log52=,z=(,1),yzx,选D.(3)观察函数f(x)=sinx+3x,知f(x)既是奇函数,也是(-1,1)上的增函数,又f(1-a)-f(1-a2),f(1-a)f(a2-1),解之得1a0),则函数y=f(x)()第57页/共179页(2)(山东省曲阜师大附中2012届

33、高三考试题)如图是函数Q(x)的图象的一部分,设函数f(x)=sinx,g(x)=,则Q(x)=()(A).(B)f(x)g(x).(C)f(x)-g(x).(D)f(x)+g(x).第58页/共179页【分析】(1)函数y=f(x)的零点即使方程f(x)=0有解时x的值,利用函数图象或依据连续函数在区间端点函数值异号(即零点存在性定理)可作出判断.第59页/共179页(2)观察已给函数的解析式与图象,借助函数奇偶性的图象特征、零点及函数值的变化特点进行判断或用排除法求解.【解析】(1)画出y1=lnx,y2=x2-1(x0)草图如右,明显两图象有两个交点,其中一个交点横坐标x1(0,1),排

34、除C,D.又f(x)=-x=,x1时,f(x)0,f(2)=ln2-1x3;当x=2时,x3=8,()x-2=1,()x-2x3,y=x3与y=()x-2的交点横坐标x0满足1x00 x0,d(x)0 x0恒成立,则实数a的取值范围是()(A)(0,2).(B)(2,+).第72页/共179页(C)(0,+).(D)(0,4).【分析】抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系,进行分类讨论,结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求解.【解析】二次函数图象开口向上,对称轴为x=,又x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒成立.当-1,即a-2时,则f(-1)=1+a+0,解得a-,

35、与a-2矛盾;第73页/共179页当1,即a2时,则f(1)=1-a+0,解得a2,与a2矛盾;当-11,即-2a2时,由=(-a)2-40,解得0a2.综上得实数a的取值范围是(0,2),选A.【答案】A【归纳拓展】(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,考题中常出现三者相结合问题,应熟悉它们之间的联系及相互间的转化与应用.第74页/共179页(2)当给出二次函数在给定区间上的取值情况,求参数范围问题时,应注意对抛物线的开口方向、对称轴、给定的区间端点位置以及相应的判别式等诸条件进行分析,合理分类,建立含参数不等式(组),进而求解.正确建立含参数不等式(组)是解决此

36、类问题的关键.(3)二次函数在给定区间上的最值,取决于抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系,可能在顶点处或区间端点处取得.解题时,抓住问题中的“三点一轴”(即区间两端点、中点和对称轴),对“二次项系数”和“对称轴与给定区间的位置关系”进行“不重不漏”的讨论,结合图象并利用函数的单调性,可使问题顺利获解.第75页/共179页变式训练7直线y=2与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是()(A)(,1).(B)(1,).(C)(,2).(D)(2,).【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线y=2与曲线y=第76页/共179页观图可知,a的取值需满足,解得2a),当x(-2,

37、0)时,f(x)的最小值为1,求a的值.(2)(山东省潍坊市2012年高三模拟训练题)已知函数f(x)=+alnx-2(a0).若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;若对于x(0,+)都有f(x)2(a-1)成立,试求a的取值范围.第79页/共179页【分析】第(1)题利用函数的奇函数性质、函数导数的应用确定函数单调性找到最值,建立含a的等式解之;第(2)题中的第问应用导数知识可求函数单调区间;第问则运用处理恒成立问题的方法建立含a的不等式来求解.【解析】(1)f(x)是奇函数,f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x(0,2)时,

38、f(x)=-a,令f(x)=0,得x=.又a,00,得0 x;令f(x)0,得x0)的定义域为(0,+),且f(x)=-+,直线y=x+2的斜率为1,f(1)=-+=-1,得a=1.f(x)=+lnx-2,f(x)=-+=.由f(x)0,得x2;由f(x)0,得0 x0,得x;由f(x)0,得0 x2(a-1)成立,2(a-1)f(x)min=a+aln-2,即aaln,解得0a,即ae+1时,f(x)max=h(1)=f(0)=1-a.综上可知,ae+1时,f(x)max=e2-ae;ae+1时,f(x)max=1-a.第85页/共179页(2)g(x)=(+x-2-)e2x-f(x)=(+

39、x-2-)(e2x-e2x+aex)=(x2+ax-2a-3)ex.要x0,1时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方,即x0,1时,g(x)mine成立.g(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex=(x+a+3)(x-1)ex,令g(x)=0,得x=-a-3或x=1.当-a-30,即a-3时,得x0,1时,g(x)0,故g(x)在区间0,1上单调递减.此时g(x)min=g(1)=(-2-a)ee,得a-3,与a-3矛盾;当0-a-31,即-4aeg(0)e且g(1)e.又g(0)=-2a-3e,得ae,得a-3,综合得-4ae,得a,a-4满足题意.综上可知,ag(x0)成立

40、,求实数p的取值范围.第88页/共179页【分析】第(1)问利用函数导数知识,方法确定函数的单调区间;第(2)问综合运用导数、方程与不等式等知识与合理分类,列出关于含参数p的不等式,通过解不等式求出p的取值范围.【解析】(1)f(x)=+2x-8=,x(1,3)时,f(x)0,f(x)在1,3上单调递减,在(0,1和3,+)上单调递增.第89页/共179页(2)令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-,则h(x)=-8+=,令-8x2+6x+p=0,知=36+32p.(i)当36+32p0,即p-时,0,此时h(x)0,h(x)在1,e上单调递减,h(x)max=h(1)=-8-p0,

41、得p-8.(ii)当-0,方程-8x2+6x+p=0有两根x1=1,x2=1.x1,e,h(x)0,得p-8,与-p2矛盾.综上知pg(x0).第90页/共179页【归纳拓展】(1)近几年高考中,对导数的考查,常把导数与函数、方程、不等式综合考查,多以压轴题形式出现,具有一定的难度,因此注重基础知识的落实是根本.第91页/共179页(2)在不等式与函数导数综合试题中,若遇求参数范围问题:不等式恒成立(或解集为R)命题常转化为求最值,用分离参数法:af(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)有解af(x)min;af(x)有解af(x)无解af(x)min;af(x)无解af(x

42、)max.(3)求解不等式与函数导数综合题时,注意画出相应函数图象,运用数形结合的思想方法,往往可使解题思路明朗,缩减运算过程,获得快速简捷的解题效果.第92页/共179页(1)判断函数f(x)的单调性;(2)是否存在实数a,使得关于x的不等式lnx1),f(x)=,设g(x)=1-lnx,(x1),g(x)=-=0,y=g(x)在1,+)上为减函数,g(x)=1-lnxg(1)=0,变式训练9设f(x)=(x1).f(x)=0,函数f(x)=在(1,+)上为减函数.第93页/共179页(2)lnxa(x-1)在(1,+)上恒成立,等价于lnx-a(x-1)0在(1,+)上恒成立.设h(x)=

43、lnx-a(x-1),则h(1)=0,h(x)=-a.若a0,显然不满足条件;若a1,则x1,+)时,h(x)=-a0恒成立,h(x)=lnx-a(x-1)在1,+)上为减函数,lnx-a(x-1)h(1)=0在(1,+)上恒成立,即lnxa(x-1)在(1,+)上恒成立;若0a0,不能使lnxa(x-1)在(1,+)上恒成立.综上,当a1,+)时,不等式lnxa(x-1)在(1,+)上恒成立.第94页/共179页热点十:不等式、函数应用题不等式、函数的实际应用几乎每年的高考都有所涉及,主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型,然后利用函数和不等式的性质求解.一般与最优化问题相联系,考查基本不

44、等式、函数的单调性、最值、导数等知识.通常是选择或解答题,中档难度.某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:原材料费每件50元;职工工资支出7500+20 x元;电力与机器保养等费用为x2-30 x+600元.其中x是该厂生产这种产品的总件数.第95页/共179页(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为Q(x)(元),且Q(x)=1240-x2,试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销售额-总的成本)【分析】本题为实际应用问题

45、,通过分析问题的实际意义与已知数据的关系,可得第(1)问每件产品的成本费P(x)的函数关系式,再用基本不等式求每件产品的最低成本费;第(2)问依据已知等量关系建立总利润f(x)与产品件数x的函数表达式,再运用导数知识判断函数的单调性与最值,求出最高总利润.第96页/共179页【解析】(1)P(x)=50+=+x+40(xN*),由基本不等式得:P(x)2+40=220,当且仅当=x,即x=90时等号成立,P(x)=+x+40(xN*),每件产品的最低成本费为220元.第97页/共179页(2)设总利润y=f(x)元,则f(x)=xQ(x)-P(x)=1240 x-x3-8100-x2-40 x

46、=-x3-x2+1200 x-8100(xN*,x170),f(x)=-x2-2x+1200=-(x2+20 x-12000)=-(x-100)(x+120).当x0;当x100时,f(x)0,f(x)在1,100)上是增函数,在(100,170上是减函数,当x=100时,函数f(x)取得最大值,故生产100件产品时,总利润最高,且最高利润为元.第98页/共179页【归纳拓展】解决实际应用问题的关键有两点:一是认真审题,明确问题的实际背景,然后进行抽象、概括,将实际问题转化为数学问题;二是正确建立相应的数学模型,进而求解数学问题,最后检验所求结果是否符合应用问题的实际意义.第99页/共179页

47、变式训练10某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域);(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?第100页/共179页【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,则y=(6x500),S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)=(x-5)(y-6)=3030-6x-(6x500).(2)S

48、=3030-6x-3030-2=3030-2300=2430,当且仅当6x=,即x=50时,等号成立,此时x=50,y=60,Smax=2430.即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.第101页/共179页限时训练卷(一)一、选择题1.(浙江省诸暨中学2012届高三考试题)已知集合M=x|exe,N=x|lnx1,则MN等于()(A)(-,1).(B)(0,1).(C)(0,e).(D)(-,e).【解析】M=x|x1,N=x|0 xe,MN=x|0 x1,选B.【答案】B第102页/共179页2.(山东省威海市2012届高三第一次模拟试题)已知f(x)=则

49、不等式x+xf(x)2的解集是()(A)(-,-1).(B)-1,0)1,+).(C)(-,1.(D)(-,-10,1.【解析】原不等式化为或解得x1,选C.【答案】C第103页/共179页3.设变量x、y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)8.【解析】作出约束条件的可行域,知(1,1)为所求最优解,zmin=21+1=3.【答案】C第104页/共179页4.若0,则下列结论不正确的是()(A)a2b2.(B)ab2.(D)+0,b0,则+2的最小值是()(A)2.(B)2.(C)4.(D)5.【解析】+22+24,当且仅当a=b,=1时,等号成

50、立,即a=b=1时,不等式取最小值4.【答案】C第106页/共179页6.(东北四校高三联考试题)不等式0的解集记为q,已知p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()(A)(-2,-1.(B)-2,-1.(C).(D)-2,+).【解析】由0,p:x2;由不等式x2+(a-1)x-a0,得(x+a)(x-1)0,当-a1,即a-1时,得q:x-a;p是q的充分不必要条件,1-a2,即-2a-1;当-a1,即a-1时,得q:x1;p是q的充分不必要条件,-a=1,即a=-1,综上可得-20得x-a;由ax-1,当a0时,x-,a0时,x0时,的解集恒不为空集;当a0时,若的解集不是空集,则