第一节-定积分的概念与性质.pptx

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1、一、问题的提出一、问题的提出我们平时在平面几何和立体几何我们平时在平面几何和立体几何中学到的都是非常规则的图形，中学到的都是非常规则的图形，如三角形、梯形、圆等等。如三角形、梯形、圆等等。xyo它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是，它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是，现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么计算呢？计算呢？第1页/共72页abxyo考虑这样一个问题：考虑这样一个问题：由连续曲线由连续曲线y=f(x)()

2、、x轴与两条直线轴与两条直线x=a、x=b所围成的图形，这个图像成为曲边梯形所围成的图形，这个图像成为曲边梯形(如图如图)，它的面积应当如何计算呢？它的面积应当如何计算呢？由于不知道它的确切公式，由于不知道它的确切公式，所以只用用一种所以只用用一种近似法近似法的思路的思路第2页/共72页abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积把区间把区间a,b区间划分成多个子区间，并以此为底构建多个区间划分成多个子区间，并以

3、此为底构建多个小矩形，通过计算这些矩形的面积并对之求和，从而求得小矩形，通过计算这些矩形的面积并对之求和，从而求得近似的曲边梯形的面积。近似的曲边梯形的面积。第3页/共72页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放第4页/共72页曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，分割分割求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积A的具体做法：的具体做法：把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间过每个过每个分点分点xi(i=1,2,n)作作y轴的平行线，将轴的平行线，将曲边梯形分割成曲边梯形分割成n个小曲边个小曲边矩

4、形矩形.第5页/共72页取近似取近似以以为底，为底，为高的小矩形为高的小矩形面积为面积为 第6页/共72页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限第7页/共72页【实例【实例1】（求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）【思路】【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作 不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的 近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值程的精确值第8页/共72页(1)分割分

5、割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(3)求和求和(4)取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似第9页/共72页曲线下的面积AreaUnderaCurveHowtofindtheshadedareaunderthecurveofyf(x)fromxatoxb?Asshownbelow:初等数学背景下，曲线下的面积(AreaUnderaCurve)是相当困难的问题。但是，运用定积分(TheDefiniteIntegral)解答，手到擒来【实例【实例2】第10页/共72页黎曼和RiemannSums一分为二，n=2第11页/共72页一分为四,n=4第12页/共72页一分为八

6、,n=8第13页/共72页一分为n，n第14页/共72页Asshownabove:德国数学家黎曼(BernhardRiemann)给出了一个巧妙的办法:.将曲线下的不规则图像近似切割成等宽的一个个小矩形(Rectangle);.测量所有小矩形的面积，累加所有小矩形的面积，得到一个面积和;.使用面积和估算曲线下的面积;.将小矩形切割得再小些，重复上述过程，使得估算值更为准确；Thatis,先把闭区间a,b分为n个子区间，把曲边形分割成n个小矩形。用n个小矩形估算n个小曲边形，我们使用Ai表述第i个小矩形的面积，n个小矩形的面积和:我们称为黎曼和(RiemannSums)第15页/共72页16二、

7、二、定积分的定义定积分的定义若若f(x)是定义在闭区间是定义在闭区间a，b上的函数，如果上的函数，如果存在，则存在，则f(x)在在a，b上是可积分的，称此极限值为上是可积分的，称此极限值为f(x)在在a，b上的定积分。上的定积分。我们将我们将称为黎曼和。称为黎曼和。当函数值取当函数值取左端点值左端点值时，时，称为称为左黎曼和左黎曼和。当函数值取当函数值取右端点值右端点值时，时，称为称为左黎曼和左黎曼和。当函数值取当函数值取中点值中点值时，时，称为称为中点黎曼和中点黎曼和。第16页/共72页左黎曼和LeftRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftheletfpo

8、intoftheinterval,thesumiscalledaLeftRiemannSumL(n).Asshownbelow:LeftRiemannSumsSince,Then;And第17页/共72页右黎曼和RightRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftherightpointoftheinterval,thesumiscalledaRightRiemannSumR(n).Asshownbelow:RightRiemannSumsSince,Then;And第18页/共72页中黎曼和MidpointRiemannSumsIfweusethefuncti

9、onvalueofthemidpointoftheinterval,thesumiscalledaMidpointRiemannSumM(n).Asshownbelow:MidpointRiemannSumsSince,Then;And第19页/共72页Weget，And,wehavetheTrapezoidRule:梯形法则TrapezoidRuleNow,wefindtheareasofthestripsasshownbelowbyusingtrapezoids.Wedenotethebasesofthete1,y2,y3,.,yn+1,andtheheightsby.TrapezoidR

10、ule第20页/共72页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量函数函数f(x)在区间在区间 a,b,b上的上的定积分定积分，记为，记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第21页/共72页【注意】【注意】（因为定积分是一个数值）（因为定积分是一个数值）(2)为了以后讨论方便，规定为了以后讨论方便，规定第22页/共72页23曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义第23页/共72页Example1:Approximatetheareaundercurvey=x2 fromx=0to x=4usingfour

11、left-end-point/right-endpoint/midpointrectangleswithequalwidth.Solution:Dividetheintervaltofourequalinterval0,1,1,2,2,3and3,4.LeftRiemannsum:RightRiemannsum:MidpointRiemannsum:第24页/共72页Example2:Thefunctioniscontinuousontheclosedinterval0,10andhasvaluesasshowninthetableabove.Usingtheintervals0,22,55,

12、8and8,10,whatistheapproximationofobtainedfromarightRiemannsum?Solution:FromthedefinitionofRiemannsum=(2)2+(1)3+43+(8)2=11x025810f(x)12148第25页/共72页26显然，按定义计算定积分非常困难，须寻找新的途显然，按定义计算定积分非常困难，须寻找新的途径计算定积分，接下来，介绍径计算定积分，接下来，介绍牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式，从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简化了定积分的计算。化了定积分的计算。第26

13、页/共72页27注意到路程函数注意到路程函数s(t)是速度函数是速度函数v=v(t)的原函数，因此把定积分的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面的与不定积分联系起来了，这就是下面的牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式。另一方面，质点从某时刻另一方面，质点从某时刻a到时刻到时刻b所经过的路程记为所经过的路程记为s(b)s(a),则则s(t)=v=v(t)，于是，于是若质点以速度若质点以速度v=v(t)作变速直线运动，由定积分定义，质点从作变速直线运动，由定积分定义，质点从时刻时刻a到到b所经过的路程为所经过的路程为，第27页/共72页28函数函数f 在在a,b上满足条件：上满足条件：

14、(i)f 在a,b上连续；(ii)f 在a,b上有原函数F；则则(1)f 在在a,b上可积；上可积；第28页/共72页29四、微积分第一基础理论四、微积分第一基础理论(牛顿-莱布尼茨公式)第29页/共72页注意：注意：上述公式通常称为上述公式通常称为牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式,它揭示了定它揭示了定积分与不定积分之间的关系积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法简便而有效的方法.30第30页/共72页通常称通常称F(x)是是f(x)的一个的一个原函数原函数(2)在计算定积分时，常常用符号在计算定积分时，常常用符号来表示来表示F(b)F(a)

15、，牛顿，牛顿莱布尼茨公式也可以写作莱布尼茨公式也可以写作第31页/共72页常见函数的原函数常见函数的原函数cxcln|x|c第32页/共72页excsinxccosxc第33页/共72页基本积分表基本积分表第34页/共72页第35页/共72页第36页/共72页例例1求下列定积分求下列定积分：解解:由于由于因此因此第37页/共72页解解(2)求求第38页/共72页39(3)求求解解第39页/共72页解解(4)求求第40页/共72页例例2 求求 原式原式解解例例3 求求 原式原式解解：41第41页/共72页Example 4:Find Solution:第42页/共72页Example 5:If

16、and ,then f(e)=?Solution:第43页/共72页 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小对定积分的对定积分的【补充规定】【补充规定】【说明】【说明】六、定积分的性质六、定积分的性质第44页/共72页性质性质1:（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（逐项积分）（逐项积分）性质性质2:2:第45页/共72页【补充】【补充】不论不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例若若性质性质3:则则（积分区间的

17、可加性）（积分区间的可加性）【推广】【推广】首尾相接首尾相接第46页/共72页性质性质4:第47页/共72页性质性质5:若若f(x)在区间在区间a,a上上连续连续且为且为奇函数奇函数，则则若若f(x)在区间在区间a,a上上连续连续且为且为偶函数偶函数，则则第48页/共72页六、小结六、小结定积分的实质：定积分的实质：特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似，以直（不变）代曲（变）求近似，以直（不变）代曲（变）取极限取极限取近似取近似以直代曲以直代曲第49页/共72页653.定积

18、分的定义定积分的定义若若f(x)是定义在闭区间是定义在闭区间a，b上的函数，如果上的函数，如果存在，则存在，则f(x)在在a，b上是可积分的，称此极限值为上是可积分的，称此极限值为f(x)在在a，b上的定积分。上的定积分。我们将我们将称为黎曼和。称为黎曼和。当函数值取当函数值取左端点值左端点值时，时，称为称为左黎曼和左黎曼和。当函数值取当函数值取右端点值右端点值时，时，称为称为左黎曼和左黎曼和。当函数值取当函数值取中点值中点值时，时，称为称为中点黎曼和中点黎曼和。第65页/共72页积分上限积分上限积分下限积分下限称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是:积分和式的极限积分和式的极限第66页/共72页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值4、定积分的几何意义、定积分的几何意义第67页/共72页5 微积分第一基础理论：牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第68页/共72页6 6 定积分的性质定积分的性质第69页/共72页70第70页/共72页71（7）若）若f(x)是在是在a，a上连续的上连续的奇函数奇函数，则则（8）若）若f(x)是在是在 a，a上连续的上连续的偶函数偶函数，则则第71页/共72页感谢您的观看！第72页/共72页