第十一章第二节.pptx

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1、1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与_的非零向量叫做直线l的方向向量.(2)平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线_ 平面，那么称向量n垂直于平面,记作_.此时把向量n叫做平面的_.e共线垂直于n法向量第1页/共66页2.空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1 1,l2 2的方向向的方向向量分别为量分别为e1 1,e2 2l1 1l2 2e1 1e2 2_l1 1l2 2e1 1e2 2_直线直线l1 1的方向向量的方向向量为为e1 1，平面，平面的法的法向量为向量为n1 1l1 1e1 1n1 1_l1 1e

2、1 1n1 1_平面平面,的法向的法向量分别为量分别为n1 1,n2 2n1 1n2 2_n1 1n2 2_e1=e2e1e2=0e1n1=0e1=n1n1=n2n1n2=0第2页/共66页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)直线的方向向量是惟一确定的.()(2)平面的单位法向量是惟一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()第3页/共66页【解析】(1)错误.任意非零向量，其所在直线与该直线平行或重合都是该直线的方向向量.(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不惟一.(3)正确.由平面平行的

3、转化定理可知.(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.答案：(1)(2)(3)(4)第4页/共66页考向 1 利用空间向量证明平行关系【典例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.求证：CE平面C1E1F.第5页/共66页【思路点拨】要证明CE平面C1E1F，可证明向量 与平面C1E1F的法向量垂直.第6页/共66页【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E

4、1(1，2).设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).第7页/共66页 即取n=(1,2,1).又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.第8页/共66页【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF的关系，并给出证明.【解析】设平面EFC的一个法向量为m=(a,b,c),由例题解析可知 (0，1，0)，(-1，0，-1)，即第9页/共66页取m=(-1，0，1).由例题解析可知，平面C1E1F的一个法向量n=(1,2,1),mn=(-1,0,1)(1,2,1)=-11+02+11=0,mn,平面C1E1F平面CEF.第10页/共66页【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方

5、法(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；第11页/共66页利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.(3)证明面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.第12页/共66页【变式备选】如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC ,OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点.利用向量方法证明：直线MN平面OCD.第13页/共66页【证明】作APCD于

6、点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0)，D(-，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1-，0)，(1-，-1)，(0，-2)，(-，-2).第14页/共66页设平面OCD的一个法向量为n(x,y,z),则即取z=，解得n=(0,4,).且MN平面OCD，MN平面OCD.第15页/共66页考向 2 利用空间向量证明垂直关系【典例2】如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC.(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC平面B

7、MC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.第16页/共66页【思路点拨】对(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为0即可进行证明.对(2)问，平面AMC平面BMC，即平面AMC的法向量与平面BMC的法向量垂直，因此可建立适当的空间直角坐标系求解.因为M在线段AP上，故可利用A，M，P三点共线设出M点的坐标.第17页/共66页【规范解答】如图，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，-3，0)，B(4，2，0)，C(-4，2，0)，P(0，0，4)，(1)则由此可得所以 即APBC.第18页/共66页(2)假设线段AP上存在

8、点M.易知 =(-4，-2，4)，设01,则=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4),=(-4,5,0).又 =(-8,0,0)，设平面BMC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),平面AMC的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，则第19页/共66页由 得即可取由 即第20页/共66页得 可取n2=(5,4,-3).由n1n2=0,得4-3解得=，故AM=3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.第21页/共66页【拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直.(2)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的

9、方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行.第22页/共66页(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直.第23页/共66页【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EFCD.(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.第24页/共66页【解析】如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

10、系，设ADa,则D(0，0，0)，B(a,a,0)，C(0，a,0)，E(a,0)，P(0,0,a)，F(,).(1)=(-,0,),=(0,a,0)，即EFCD.第25页/共66页(2)设G(x,0,z),则若使GF平面PCB，则由且得z=0.G点坐标为(，0，0)，即G点为AD的中点.第26页/共66页1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，证明直线CEBD.【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用坐标法解决.第27页/共66页【证明】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则C(1，1，0)，B(1，0，0)

11、，D(0，1，0)，E(，1)，显然第28页/共66页2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a,M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN ，证明MN平面BB1C1C.第29页/共66页【证明】分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.第30页/共66页3.(2013 苏州模拟)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，PAa，二面角P-CD-B为45.求证：(1)AF平面PCE.(2)平面PCE平面PCD.第31

12、页/共66页【证明】(1)底面是正方形，ADCD.又PA底面ABCD，PAAD，PDA45,AD=PA=a.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a).第32页/共66页又E，F分别是AB，PD的中点，E点坐标为(,0,0),F点坐标为(0，)，设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z),则由计算可得 取n=(2,-1,1),又AF平面PCE，故AF平面PCE.第33页/共66页(2)设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z).解得 取m=(0,1,1).又由(1)知n=(2,-1,1),nm=0,平面PCE平面

13、PCD.第34页/共66页4.(2013 南京模拟)如图所示，已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，PD=AD=2.(1)求异面直线PC与BD所成的角.(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.第35页/共66页【解析】如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，(1)异面直线PC与BD所成的角为60.第36页/共66页(2)假设在PB上存在E点，使PC平面ADE，记 =(2,2,-2)，=(2,2,-2),E(2,2,2-2),=(2-2,2,2-2),若PC平面A

14、DE，则有PCAE，即 =8-4=0，=，E(1，1，1),又AD平面PDC，PCAD，当=时，PC平面ADE.存在E点且E为PB的中点时，PC平面ADE.第37页/共66页【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，BAD120,PA=AB,G,F 分别是线段CE，PB上的动点，且满足证明：FG平面PDC.第38页/共66页【证明】取BC的中点K，连接AK，以点A为原点，AK，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.第39页/共66页不妨设PA2，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(，-1，0)，C(，

15、1，0)，E(0，2，0)，D(0，4，0)，所以 (，-1，-2)，(，1，-2)，(0，4，-2)，(-，1，0)，由 =得则第40页/共66页设平面PCD的一个法向量为n0=(x,y,z)，则n0 0，n0 =0,得解得取y=1,得n0=(,1,2).于是n0 =0,故n0 .又因为FG平面PDC，所以FG平面PDC.第41页/共66页5.如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：(1)A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.第42页/共66页【证明】二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正方

16、形，AA1平面BAC.又AB=AC,BC=AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).第43页/共66页(1)设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z)，则 即 即取y=1,则n=(0,1,0).=2n,即 n.A1B1平面AA1C.第44页/共66页(2)易知设平面A1C1C的一个法向量m(x1,y1,z1)，则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).m=01+2(-1)+21=0,m.又AB1平面A1C1C,A

17、B1平面A1C1C.第45页/共66页6.(2012 福建高考改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点.(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.第46页/共66页【解析】以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(,1,0)，B1(a,0,1)，故第47页/共66页(1)(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0,z0),使得DP平面B1AE，此时再设平面B1AE的一个法向

18、量n(x,y,z)，n平面B1AE，n ,n ,得第48页/共66页取x=1,则y=-，z=-a,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a).要使DP平面B1AE，只要n ，有 解得z0=.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP .第49页/共66页7.(2013 苏州模拟)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB.(1)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.(2)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出 ；若不存在，说明理由.第50页/共66页【解析】(1)平面ABE平面ABCD

19、，在平面ABE内作EOAB于O，连结OD,则EO平面ABCD，所以EOOD.易知OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，第51页/共66页设OB=1，得O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1).所以 =(1,1,-1)，平面ABE的一个法向量为 =(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 .第52页/共66页(2)存在点F，且 时，有EC平面FBD.证明如下：由 得 所以设平面FB

20、D的法向量v=(a,b,c),则有所以取a=1，得v=(1,1,2).因为 v=(1,1,-1)(1，1，2)=0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD.即点F满足 时，有EC平面FBD.第53页/共66页【变式备选】如图，在圆锥PO中，已知PO ，O的直径AB2，C是 的中点，D为AC的中点.求证：平面POD平面PAC.第54页/共66页【证明】如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，第55页/共66页则O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量，则由得所以z1

21、=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).第56页/共66页设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量，则由 得所以取z2=1,得n2=(-,1).因为n1n2=(1,1,0)(-，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.第57页/共66页8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABC中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB 与平面ABCD成30的角.求证:(1)CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.第58页/共66页【思路点拨】建立空间直角坐标系.(1)可证明 与平面PAD的法向量垂直；也可将

22、 分解为平面PAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.第59页/共66页【证明】由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC=30.第60页/共66页(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即第61页/共66页令y=2,得又CM平面PAD，CM平面PAD.第62页/共66页方法二:=(0,1,-2),=(,4,-2)，假设 平面PAD，则存在x0,y0使 则方程组的解为由共面向量定理知 共面，故假设成立.又CM平面PAD,CM平面PAD.第63页/共66页(2)取AP的中点E,连接BE，则易知PB=AB,BEPA.又BE平面PAD.又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.第64页/共66页第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页