理学工程数学学习教案.pptx

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1、会计学1理学工程理学工程(gngchng)数学数学第一页，共107页。2第1页/共107页第二页，共107页。3第一节第一节 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念第2页/共107页第三页，共107页。4第3页/共107页第四页，共107页。5第4页/共107页第五页，共107页。6第5页/共107页第六页，共107页。7线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组系数矩阵增广矩阵常数列矩阵第6页/共107页第七页，共107页。8一一一一 些些些些 概概概概 念念念念n n矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)与行列式是两个根本不同的概念与行列式是两个根本不同的概念与行列式是两个根本不同的概念与行

2、列式是两个根本不同的概念.A=B，|A|=|B|?当A=(aij)是一个n阶矩阵(方阵(fn zhn)时，与它对应的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|.|A|=|B|，A=B?第7页/共107页第八页，共107页。9几种几种(j zhn)特殊形式的矩阵特殊形式的矩阵（2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵，也称为列向量。（1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵，也称为行向量。第8页/共107页第九页，共107页。10矩阵 的每一行都是一个 n 维行向量，记作则矩阵(j zhn)可表示为：第9页/共107页第十页，共107页。11矩阵 的每一列都是一个 m 维行向量，记作则矩阵(j zhn)可

3、表示为：第10页/共107页第十一页，共107页。12n n（3）零矩阵）零矩阵 所有所有(suyu)元素元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如，例如，的零矩阵可记为的零矩阵可记为第11页/共107页第十二页，共107页。13n n（4）方阵）方阵 行数和列数都等于行数和列数都等于(dngy)的矩阵，称的矩阵，称n n为为 阶矩阵或阶矩阵或 阶方阵，记为阶方阵，记为 ，其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线第12页/共107页第十三页，共107页。14n n（5）阶对角阵阶对角阵 非主对角元素全非主对角元素全为零的为零的 阶方阵称为

4、阶方阵称为(chn wi)阶对角矩阵，即阶对角矩阵，即记为或其中未写出的元素全为零第13页/共107页第十四页，共107页。15n n（6）阶单位矩阵阶单位矩阵 n n 主对角主对角(du jio)元素全为元素全为1，其，其余元素全为零的余元素全为零的 阶方阵称为阶方阵称为 n n 阶单位矩阵，即阶单位矩阵，即 n n 且且 n n 记为记为 或或第14页/共107页第十五页，共107页。16n n（7 7）阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵 n n主对角元素主对角元素主对角元素主对角元素(yun s)(yun s)等于同一个数等于同一个数等于同一个数等于同一个数 的的的的 阶对角阵，称

5、阶对角阵，称阶对角阵，称阶对角阵，称为为为为 n n 阶数量矩阵，阶数量矩阵，阶数量矩阵，阶数量矩阵，n n n n 记为记为记为记为 或或或或第15页/共107页第十六页，共107页。17第二节第二节第二节第二节 矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)的代数运算的代数运算的代数运算的代数运算n n矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)的加法与数乘的加法与数乘的加法与数乘的加法与数乘1.定义(dngy)与基本性质定义1 如果同型矩阵A=(aij)、B=(bij)的对应元都相等，即aij=bij，则称A与B相等，记为A=B.定义2 两个同型矩阵A=(aij)mn和B=(bij)mn的对应

6、元相加所得的同型矩阵C=(aij+bij)mn称为矩阵A与B之和，记为C=A+B，即(aij+bij)mn=(aij)mn+(bij)mn第16页/共107页第十七页，共107页。18第17页/共107页第十八页，共107页。19第18页/共107页第十九页，共107页。20第19页/共107页第二十页，共107页。21第20页/共107页第二十一页，共107页。22解 在 等式两端同加上 ，得第21页/共107页第二十二页，共107页。23第22页/共107页第二十三页，共107页。24第23页/共107页第二十四页，共107页。25第24页/共107页第二十五页，共107页。26n n矩阵

7、矩阵(j zhn)的乘法的乘法第25页/共107页第二十六页，共107页。271.矩阵(j zhn)乘法的定义矩阵(j zhn)乘法最初是从线性方程组的研究中产生的第26页/共107页第二十七页，共107页。28第27页/共107页第二十八页，共107页。29第28页/共107页第二十九页，共107页。30第29页/共107页第三十页，共107页。31第30页/共107页第三十一页，共107页。32第31页/共107页第三十二页，共107页。33第32页/共107页第三十三页，共107页。34第33页/共107页第三十四页，共107页。35n n2.2.矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性

8、质矩阵乘法的性质n n矩阵乘法符合下列规则：矩阵乘法符合下列规则：矩阵乘法符合下列规则：矩阵乘法符合下列规则：n n(i)(i)结合律结合律结合律结合律 (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)n n(ii)(ii)分配律分配律分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+ACn n (A+B)C=AC+BC (A+B)C=AC+BCn n(iii)k(AB)=(kA)B=A(kB)(iii)k(AB)=(kA)B=A(kB)n n其中其中其中其中A A、B B、C C是使上述是使上述是使上述是使上述(shngsh)(shngsh)矩阵乘法有意义的矩阵。矩阵乘法有意义的矩阵。

9、矩阵乘法有意义的矩阵。矩阵乘法有意义的矩阵。第34页/共107页第三十五页，共107页。36第35页/共107页第三十六页，共107页。37第36页/共107页第三十七页，共107页。38称为(chn wi)n阶单位矩阵，简记E显然(xinrn)n阶方阵(fn zhn)00单位矩阵：第37页/共107页第三十八页，共107页。39 对角(du jio)矩阵其中 aij=0,i j00特别：称为数量矩阵00第38页/共107页第三十九页，共107页。40结论(jiln)：000000第39页/共107页第四十页，共107页。41 只有方阵，它的乘幂才有意义。由于(yuy)矩阵的乘法满足结合律，而

10、不满足交换律，因而有下面的式子：方阵的乘幂(chn m)：设 A 是 n 阶方阵，定义：k个 (1)Ak Al=Ak+l (2)(Ak)l=Akl (3)(AB)k Ak Bk (A、B皆为方阵(fn zhn)，k2)第40页/共107页第四十一页，共107页。42第41页/共107页第四十二页，共107页。43第42页/共107页第四十三页，共107页。44第43页/共107页第四十四页，共107页。45|A 1 A 2 A m|=|A 1|A 2|A m|推广(tugung)：第44页/共107页第四十五页，共107页。46第三节 逆矩阵(j zhn)与矩阵(j zhn)的初等变换第45页

11、/共107页第四十六页，共107页。47逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵(j(j zhn)zhn)n n一、逆矩阵一、逆矩阵一、逆矩阵一、逆矩阵(j(j zhn)zhn)的定义的定义的定义的定义除法对任意(rny)给定矩阵A、B，当A0时，是否有唯一的矩阵X使AX=B(或XA=B)成立？定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB=BA=E 则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。第46页/共107页第四十七页，共107页。48n n定理定理定理定理1 1：若矩阵：若矩阵：若矩阵：若矩阵(j(j zhn)A zhn)A可逆，则可逆，则可逆，

12、则可逆，则 A A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵(j(j zhn)zhn)是唯一的。是唯一的。是唯一的。是唯一的。证明(zhngmng)：设 A有两个逆矩阵B、C，则 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=CA的逆矩阵(j zhn)唯一，可记为A-1，即AA-1=E.(A-1)-1=A第47页/共107页第四十八页，共107页。49矩阵(j zhn)称为矩阵(j zhn)A 的伴随矩阵(j zhn)定义(dngy)设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);矩阵可逆的条件第48页/共107页第四十九页，共107页。50第49页/共107页第五

13、十页，共107页。51第50页/共107页第五十一页，共107页。52求逆矩阵(j zhn)的第一种方法：方阵 A满足|A|时，可逆矩阵(j zhn)也称为非奇异矩阵(j zhn)或者满秩矩阵(j zhn)第51页/共107页第五十二页，共107页。53第52页/共107页第五十三页，共107页。54 推论(tuln)：设A、B为n阶矩阵，若AB=E(或BA=E)成立，则B=A1.证明(zhngmng)：由AB=E知|A|B|=|E|=1，则|A|0，故A有逆矩阵A1,但B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1.第53页/共107页第五十四页，共107页。55定理(dngl)3：若A、B均n

14、阶可逆矩阵，则AB也可逆，且 (AB)1B1A1证明：A、B均可逆，A1，B1存在(cnzi)且为n阶矩阵，因此 (AB)(B-1A-1)A(BB1)A1=AA1E (A)1=1A1 推论：若A1,A2,Am皆为n阶可逆矩阵，则乘积(chngj)A1A2Am也是一个n阶可逆矩阵且第54页/共107页第五十五页，共107页。56定理4 设A是n阶可逆矩阵，那么(n me)对任意的B=Bnm(或者B=Bmn)，矩阵方程 AX=B(或者XA=B)有唯一解X=A-1B(或者X=BA-1).证明：由于A可逆，用其逆矩阵A-1左乘方程(fngchng)AX=B的两端得A-1(AX)=A-1B=X，X=A-

15、1B是方程(fngchng)的解。若方程(fngchng)还有另一解C，即AC=B，则C=EC=(A-1A)C=A-1(AC)=A-1B.第55页/共107页第五十六页，共107页。57说明当|A|0时，方程组有唯一解：xj=把系数行列式|A|中第j 列的元素换成方程组的常数项所得的行列式(Dj)/系数行列式|A|Dj第56页/共107页第五十七页，共107页。58第57页/共107页第五十八页，共107页。59Dj第58页/共107页第五十九页，共107页。60第59页/共107页第六十页，共107页。61第60页/共107页第六十一页，共107页。62矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等

16、变换n n另一种求逆矩阵另一种求逆矩阵另一种求逆矩阵另一种求逆矩阵(j(j zhn)zhn)的方法的方法的方法的方法定义 对矩阵的行(列)施行下列三种(sn zhn)变换都称为矩阵的初等行(列)变换：(1)互换矩阵两行(列)的位置-(rirj);(2)用非0常数 乘矩阵的某行(列)-(ri);(3)将矩阵某行(列)的r倍加到矩阵的另一行(列)上-(ri+rj)第61页/共107页第六十二页，共107页。63n n矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)的初等行变换与初等列变换统称为的初等行变换与初等列变换统称为的初等行变换与初等列变换统称为的初等行变换与初等列变换统称为矩阵矩阵矩阵矩阵(j(

17、j zhn)zhn)的初等变换。的初等变换。的初等变换。的初等变换。AB表示(biosh)A经初等变换得到B，则必可经同一种初等变换使B还原为A第62页/共107页第六十三页，共107页。64n n初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵：对n阶单位矩阵E分别(fnbi)实施上述三种初等变换后，所得的矩阵称为初等矩阵。相应的三种(sn zhn)初等矩阵分别为：第63页/共107页第六十四页，共107页。65(1)互换E的i,j两行(lin xn)(列)所得的矩阵ri rj第i行第j行i列j列第64页/共107页第六十五页，共107页。66(2)乘E的第i行(列)所得(su d)矩阵00i行 i列第65

18、页/共107页第六十六页，共107页。67(3)将E的j行(i列)的r倍加(bi ji)到i行(j列)上去所得矩阵 i行j行 j列 i列第66页/共107页第六十七页，共107页。68第67页/共107页第六十八页，共107页。69第68页/共107页第六十九页，共107页。70第69页/共107页第七十页，共107页。71第70页/共107页第七十一页，共107页。72第71页/共107页第七十二页，共107页。73第72页/共107页第七十三页，共107页。74第73页/共107页第七十四页，共107页。75 第四节 转置矩阵与一些(yxi)重要方阵第74页/共107页第七十五页，共107

19、页。76第75页/共107页第七十六页，共107页。77第76页/共107页第七十七页，共107页。78第77页/共107页第七十八页，共107页。79第78页/共107页第七十九页，共107页。80几个(j)重要的方阵第79页/共107页第八十页，共107页。81第80页/共107页第八十一页，共107页。82第81页/共107页第八十二页，共107页。83结论(jiln)：000000第82页/共107页第八十三页，共107页。84第83页/共107页第八十四页，共107页。85第84页/共107页第八十五页，共107页。86第五节第五节 分块矩阵分块矩阵(j zhn)第85页/共107页

20、第八十六页，共107页。87第86页/共107页第八十七页，共107页。88第87页/共107页第八十八页，共107页。89第88页/共107页第八十九页，共107页。90 加法(jif)设A、B都是mn矩阵(jzhn)，将A、B按同样的方法进行适当分块，利用(lyng)分块相加时，A、B的分法必须完全相同第89页/共107页第九十页，共107页。91第90页/共107页第九十一页，共107页。92则设第91页/共107页第九十二页，共107页。93第92页/共107页第九十三页，共107页。94第93页/共107页第九十四页，共107页。95第94页/共107页第九十五页，共107页。96

21、它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵(j zhn)，而在主对角线上的矩阵(j zhn)均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵(j zhn)（或分块对角矩阵(j zhn)）。准对角(du jio)矩阵若矩阵(j zhn)A的分块矩阵(j zhn)具有以下形式第95页/共107页第九十六页，共107页。97则：对于准对角矩阵，有以下运算(yn sun)性质：若A与B是具有(jyu)相同分块的准对角矩阵，且设第96页/共107页第九十七页，共107页。98 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个(y)方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且第97页/共107页第九十八页，共107页。99矩阵(j zhn)分块的应用第98页/共107页第九十九页，共107页。100第99页/共107页第一百页，共107页。101第100页/共107页第一百零一页，共107页。102第101页/共107页第一百零二页，共107页。103第102页/共107页第一百零三页，共107页。104第103页/共107页第一百零四页，共107页。105第104页/共107页第一百零五页，共107页。106第105页/共107页第一百零六页，共107页。107第106页/共107页第一百零七页，共107页。