讲简单的三角恒等变换.pptx

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1、第四单元三角函数与平面向量第1页/共31页第22讲简单的三角恒等变换第2页/共31页能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.第3页/共31页1.在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则ABC是()AA.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形 由两角和的正弦公式得sinA1.由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90.第4页/共31页2.化简：-=()BA.-sin4 B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4 D.2sin4-cos4 原式=-=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-

2、cos40,cos40,所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.第5页/共31页3.化简：-cos2x+cos4x=.sin4x 原式=-(2cos2x-1)+(2cos22x-1)=-cos2x+cos22x=-cos2x+(2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4x=（1-cos2x）2=sin4x.第6页/共31页4.若A-B=,tanA-tanB=,则cosAcosB=.tan(A-B)=,所以1+tanAtanB=2，即 =2，所以cosAcosB=cos(A-B)=.第7页/共31页5.化简：tan+tan+tantantan(+)=.tan(+)由

3、tan(+),可得tan+tan=tan(+)(1-tantan),所以tan+tan+tantantan(+)=tan(+).第8页/共31页三角变换的基本题型化简、求值和证明(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.第9页/共31页(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.给值求值的关

4、键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.第10页/共31页给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.第11页/共31页题型一 恒等变换下的化简求值例1 已知：tan2=-,2(,),求 的值.第12页/共31页 tan2=-=-，解得tan=-或tan=，因为2(,),所以（，）,所以tan0，所以tan=.=对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化

5、简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带.第13页/共31页题型二 恒等变换下的拆角求值例2 已知cos(-)=-，sin(-)=,且 ，0，求cos 的值.抓住已知角(-)，(-)与目标角 的关系：=(-)-(-)，因此先求得sin(-)，cos(-)的值，再代公式.第14页/共31页 因为 ，0，所以0-，-.又因为cos(-)=-0,所以 -，0 -，所以sin(-)=.第15页/共31页cos(-)=,故cos =cos(-)-(-)=cos(-)cos(-)+sin(-)sin(-)=(-)+=.第16页/共31页 根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变

6、成“已知角整体”之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接解决问题.常用“凑角”技巧：(-)+=(+)-，2+=(+)+，=+，=-，2=(-)+(+)等.第17页/共31页 已知cos=,cos(+)=-,且(0，),+(，),求的值.因为(0,)，且cos=，所以sin=，又因为+(,），cos(+)=-，所以sin(+)=，第18页/共31页所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-+=.又(0,)，+(，），则(0,)，所以=.在给角求角的式子中,发现目标角与已知角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一名三角函数值.但对于在(0，180)间的

7、角,选用余弦或正切比选用正弦好,在(-90,90)间的角，宜选用正弦.注意避开讨论，减少失误.第19页/共31页题型三 恒等变换下的三角证明例3 (1)已知2sin=sin+cos,sin2=2sincos.求证:cos2=2cos2；(2)已知5sin=3sin(-2),求证:tan(-)+4tan=0.第20页/共31页 (1)4sin2=1+2sincos,所以4sin2=1+sin2，所以1-sin2=2-4sin2=2（1-2sin2）,即cos2=2cos2.(2)因为5sin=3sin(-2),所以5sin(-)+=3sin(-)-所以5sin(-)cos+5cos(-)sin

8、=3sin(-)cos-3cos(-)sin,所以2sin(-)cos+8cos(-)sin=0，依题意知,k+,-k+,kZ.所以tan(-)+4tan=0.(1)结论中不含，所以从条件中消去即可.(2)把条件中的角进行拆拼，使出现-，实现已知角向未知角转化即可.第21页/共31页 等比数列 an中，a2=sin+cos，a3=1+sin2，其中 .求:(1)2sin2-cos4+是数列an的第几项?(2)若tan(-)=,求数列an的前n项和Sn.第22页/共31页 设数列an的公比为q，则q=sin+cos,所以a1=1.所以an=(sin+cos)n-1(nN*).(1)2sin2-c

9、os4+=(4sin2-cos4+3)=4sin2-（1-2sin22）+3 =(2sin22+4sin2+2)=(1+sin2)2 =(sin+cos)4=a5,所以2sin2-cos4+是数列an中的第5项.第23页/共31页(2)由tan(-)=，得tan=-，又 ，所以sin=,cos=-，所以q=sin+cos=，所以an=()n-1，故Sn=-()n-1.第24页/共31页三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：(1)同角三角函数关系可实现函数名称的转化.(2)诱导公式及和、差、倍角的

10、三角函数可以实现角的形式的转化.(3)倍角公式及其变形公式可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.第25页/共31页学例1 (2009上海卷)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 .1-f(x)=cos2x+sin2x+1=sin(2x+)+1，所以最小值为1-.第26页/共31页学例2 (2009山东卷)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.第27页/共31页 (1)f(x)=cos(2x+)+sinx=cos2xcos -sin2xsin +=-sin2x.所以,当2x=-+2k(kZ)，即x=-+k(kZ)时，函数f(x)取得最大值，为 ；同时,f(x)的最小正周期为.第28页/共31页(2)因为f()=-sinC=-,所以sinC=.因为C为锐角,所以C=.又因为在ABC中,cosB=,所以sinB=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC =+=.第29页/共31页本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来第30页/共31页31感谢您的观看！第31页/共31页