解排列组合问题的十八种常用策略.pptx

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1、1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题第1页/共44页二二.相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略例2.72.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相 邻,共有多少种不同的排法.甲甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个

2、元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.第2页/共44页三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3.3 3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4 4 4个舞蹈个舞蹈,2 2,2 2个相声个相声,3 3,3 3个个 独唱独唱,舞蹈节目不能连续出场舞蹈节目不能连续出场,则节目的出则节目的出 场顺序有多少种？场顺序有多少种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2 2 2个相声和个相声和3 3 3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4 4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6

3、 6 6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法 由分步计数原理由分步计数原理,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种相相独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端第3页/共44页某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法且两个新节目不相邻，那么不同插法的

4、种数为（的种数为（）30练习题第4页/共44页四.定序问题空位插入策略例4.74.7人排队,其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多 少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法 1思考:可以先让甲乙丙就坐吗?第5页/共44页（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1 1种排法,再 把其余4 4四人依次插入共有 方法4*5*6*74*5*6*7练习题1010人身高各不相等,排

5、成前后排，每排5 5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？第6页/共44页五.重排问题求幂策略例5.5.把6 6名实习生分配到7 7个车间实习,共有 多少种不同的分法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为 种n nm m第7页/共44页1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）422.2.某8 8层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）练习题第8页/共44页六.

6、环排问题线排策略例6.56.5人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从 此位置把圆形展成直线其余4 4人共有_ 种排法即 A AB BC CE ED DD DA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地,n n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!n-1)!种排法.如果从n n个不同元素中取出m m个元素作圆形排列共有第9页/共44页练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈第10页/共44页七七.多排问题直排策略多排问题直排策略例7.87.8人排成前后两排,每排4 4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法解:8

7、人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有_种,再排后4个位置上的特殊元素有_种,其余的5人在5个位置上任意排列有_种,则共有_种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.第11页/共44页八八.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例8.8.有5 5个不同的小球,装入4 4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.解:第一步从5 5个球中选出2 2个组成复合元共 有_种方法.再把5 5个元素(包含一个复合 元素)装入4 4个不同的盒内有_种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_解决排

8、列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似相邻元素捆绑策略相似第12页/共44页练习题一个班有6 6名战士,其中正副班长各1 1人现从中选4 4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1 1人参加,则不同的选法有_ _ 种192192第13页/共44页九.元素相同问题隔板策略例9.有1010个运动员名额，在分给7 7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对

9、应一种分法共有_种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m m m份（份（n n n n，m m m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1n-1n-1个空隙中，所有分法数为个空隙中，所有分法数为第14页/共44页练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？2.2.x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数第

10、17页/共44页我们班里有5353位同学,从中任抽5 5人,正班长、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十十.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反可以先求出它的反面面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.第18页/共44页十一.平均分组问题除法策略例11.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？解:分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,C

11、D,EF),则 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。第19页/共44页十二.构造模型策略例1 12.2.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3 3盏,但不能关 掉相邻的2 2盏或3 3盏,也不能关掉两端的2 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个

12、排队模型在6 6盏 亮灯的5 5个空隙中插入3 3个不亮的灯 有_ _ 种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决第21页/共44页练习题某排共有1010个座位，若4 4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120第22页/共44页十三.合理分类与分步策略例1 13.3.在一次演唱会上共1010名演员,其中8 8人能 能唱歌,5,5人会跳舞,现要演出一个2 2人 唱歌2 2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。以只会唱歌的5 5人是否选上唱歌人员为标准进行研究.

13、只会唱的5 5人中没有人选上唱歌人员共有_种,只会唱的5 5人中只有1 1人选上唱歌人员_种,只会唱的5 5人中只有2 2人选上唱歌人员有_种，由分类计数原理共有_种。+第23页/共44页本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以3 3 3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3 3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2 2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分

14、步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。第24页/共44页1.1.从4 4名男生和3 3名女生中选出4 4人参加某个座 谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_ _ 3434 练习题2.3 3成人2 2小孩乘船游玩,1,1号船最多乘3 3人,2,2 号船最多乘2 2人,3,3号船只能乘1 1人,他们任选 2 2只船或3 3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3 3人共有多少乘船方法.第25页/共44页十四.实际操作穷举策略例1 14.4.设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒

15、子,现将5 5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3 3号盒4 4号盒5 5号盒345第26页/共44页十五.实际操作穷举策略例15.15.设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子,现将5 5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法 解：

16、从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2 种 第27页/共44页对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1.同一寝室同一寝室4 4人人,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人

17、的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4 4种可选颜色,则 不同的着色方法有_种213457272第28页/共44页第34页/共44页变式：变式：变式：变式：如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示,有有有有5 5横横横横8 8竖构成的方格图竖构成的方格图竖构成的方格图竖构成的方格图,从从从从A A到到到到B B只能上行或右行只能上行或右行只能上行或右行只能上行或右行共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线?解解解解:如图所示如图所示如图所示如图所示1 1 2

18、 2 3 34 45 5 6 67 7将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个排法排法排法排法(5-1)+(8-1)=11(5-1)+(8-1)=11格格格格:其中必有四个其中必有四个其中必有四个其中必有四个 和七个和七个和七个和七个组成组成组成组成!所以所以所以所以,四个四个四个四个 和七个和七个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从所以从所以从A A到到到到B B共有共有共有共有 条不同的路径条不同的路径条不同的路径条不同的路径.消序法消序法消序法消序

19、法(留空法留空法留空法留空法)也可以看作是也可以看作是也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排顺序一定的排顺序一定的排顺序一定的排列，有列，有列，有列，有种排法种排法种排法种排法.2.2.基本方法基本方法基本方法基本方法第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页第38页/共44页第39页/共44页第40页/共44页小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点

20、是条件隐晦中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题,我们可以我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。下坚实的基础。第

21、41页/共44页1.解解决决应应用用题题时时，应应分分析析：要要完完成成做做一一件件什什么么事事；这这件件事事怎怎样样做做才才可可以以做做好好；需需要要分分类类还还是是分分步步.运运用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理，关关键键在在于于两两方方面面，认认真真分分析析题题意意，设设计计合合理理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.第42页/共44页2.如如果果任任何何一一类类办办法法中中的的任任何何一一种种方方法法都都能能完完成成这这件件事事，即即类类与与类类之之间间是是相相互互独独立立的的，即即分分类类完完成成，则则选选用用分分类类计计数数原原理理；如如果果完完成成一一件件事事要要经经历历几几个个步步骤骤（即即几几步步），且且只只有有当当这这些些步步骤骤都都做做完完，这这件件事事才才能能完完成成，即即步步与与步步之之间间是是相相互互依依存存、相相互互连连续续的的，即即分分步步完完成成，则则选选用用分分步步计计数原理数原理.3.排排列列与与组组合合的的本本质质区区别别在在于于排排列列不不仅仅取取而而且且排排，即即与与顺顺序序有有关关，而而组组合合只只取取出一组即可，与顺序无关出一组即可，与顺序无关.第43页/共44页感谢您的观看。第44页/共44页