连续系统的振动创新之一维波动方程之二梁的弯曲振动.pptx

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1、教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法第1页/共100页（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说说说 明明明明（2）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提。第2页/共100页一维波动方程 动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数 主振型的正交性主振型的正交性 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动连续系统的振动/一维波动方程第3页/共100页 动力学方程（1）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积 S材料密度弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长

2、度杆上分布的纵向作用力 杆参数：连续系统的振动/一维波动方程第4页/共100页杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移微段分析 微段应变：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：连续系统的振动/一维波动方程第5页/共100页杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移横截面上的内力：由达朗贝尔原理：代入，得：杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，ES 为常数 弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：连续系统的振动/一维波动方程第6页/共100页（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力 F 拉紧在分布力作用下作横向振动 建立坐标系弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移 单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦

3、的质量 微段受力情况 达朗贝尔原理：弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：得：弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程第7页/共100页（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩 Ip材料密度切变模量 G：单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移截面处的扭矩为 T微段 dx 受力：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程第8页/共100页代入，得：微段 dx 受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数有：剪切弹性

4、波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程第9页/共100页小结：（1）杆的纵向振动（2）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程。（3）轴的扭转振动连续系统的振动/一维波动方程第10页/共100页 固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象 方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅 代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动第11页/共100页记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数

5、，表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率 有无穷多个（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动第12页/共100页第 i 阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动第13页/共100页几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零 故：代入模态函数 得：（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动第14页/共100页（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零 边界条件：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移

6、频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：连续系统的振动/杆的纵向振动第15页/共100页（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：第16页/共100页左端自由，右端固定特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动第17页/共100页边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有频率第18页/共100页例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。连续系统的振动/杆的纵向振动第19页/共100页连续系统

7、的振动/杆的纵向振动解：边界条件：得出：频率方程振型函数：第20页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。边界条件：自己推导！第21页/共100页主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度及截面积 S 等都可以是 x 的函数 杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动第22页/共100页杆的简单边界：固定端x=0 或 l 自由端x=0 或 l 设：代入：乘 并沿杆长对 x 积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立 得：连续系统的振动/杆的纵向振

8、动第23页/共100页乘 并沿杆长对 x 积分：同理乘 并沿杆长对 x 积分：相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性 进而：杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动/杆的纵向振动第24页/共100页关于质量的正交性 关于刚度的正交性 当时 恒成立令：第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 第 i 阶固有频率：主振型归一化：正则振型 则第 i 阶主刚度：合写为：连续系统的振动/杆的纵向振动第25页/共100页杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：初始条件：假定 ，已经得出令：正则坐标 代入方程：两边乘并沿杆长对 x 积分：利用正交性条件：第 j 个正则坐标的广义力 连

9、续系统的振动/杆的纵向振动第26页/共100页模态初始条件的求解乘并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，知有：得：求得 后可得连续系统的振动/杆的纵向振动第27页/共100页如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力连续系统的振动/杆的纵向振动第28页/共100页例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应 连续系统的振动/杆的纵向振动第29页/共100页解：一端固定，一端自由 边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第 i 个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发

10、生共振现象 连续系统的振动/杆的纵向振动第30页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？第31页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：模态函数：解：杆的自由振动方程：固有频率：第32页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：第33页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：第34页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动第35页/共100

11、页连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：第36页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度 v 沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：第37页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：杆的自由振动方程：初始条件：自己推导！第38页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动例：有一根 x=0 端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端承受支撑运动为振动的幅值试求杆的稳态响应。第39页/共100页连续系统

12、的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移第40页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得：第41页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：第42页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：第43页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动第44页/共100页连续系统的振动/杆的纵向振动杆振动分析小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5.物理空间初

13、始条件转到模态空间6.模态空间方程求解7.返回物理空间，得解物理空间问题模态空间问题模态叠加法模态叠加法第45页/共100页教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法第46页/共100页梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：I 截面对中性轴的惯性

14、积 单位体积梁的质量S 梁横截面积E 弹性模量外部力：假设：连续系统的振动/梁的弯曲振动第47页/共100页动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻 的横向位移 截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩 连续系统的振动/梁的弯曲振动第48页/共100页力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第49页/共100页变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连

15、续系统的振动/梁的弯曲振动第50页/共100页固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动 自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：对于等截面梁：通解：和应满足的频率方程由梁的边界条件确定 连续系统的振动/梁的弯曲振动第51页/共100页等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第 i 阶主振动：无穷多个和 由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/梁的弯曲振动第52页/共100页常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁

16、的弯曲振动第53页/共100页例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第54页/共100页简化后，得：频率方程当 i=1,2,3时解得：当 时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：连续系统的振动/梁的弯曲振动第55页/共100页铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动第56页/共100页例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零

17、得：以及：频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动第57页/共100页频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动第58页/共100页例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2连续系统的振动/梁的弯曲振动第59页/共100页频率方程：模态函数：其中：当 i=1,2,3时解得：当 时自由端：弯矩和截面剪力为零当 时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动第60页/共100页第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续

18、系统的振动/梁的弯曲振动第61页/共100页例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。连续系统的振动/梁的弯曲振动第62页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界条件固定端：自由端：模态函数：第63页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动第64页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：第65页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.560第66页/共100页例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支

19、撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第67页/共100页固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动/梁的弯曲振动第68页/共100页或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第69页/共100页（1）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：第70页/共100页（2）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：第71页/共100页例：悬臂

20、梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量连续系统的振动/梁的弯曲振动第72页/共100页说明：以上以上以上以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若

21、梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁 （Timoshenko beamTimoshenko beam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动/梁的弯曲振动第73页/共100页模态函数的正交性梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：主振动：代入，得：设：有：连续系统的振动/梁的弯曲振动第74页/共100页（1）（2）(1)式两边乘 并沿梁长对 x 积分：利用分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的

22、一个同时为零 得：(3)代入（3）式，有：(2)式两边乘 并沿梁长积分可得：同理，相减：得：连续系统的振动/梁的弯曲振动第75页/共100页如果时，则有：主振型关于质量的正交性（1）（2）(1)式两边乘 并沿梁长对 x 积分：分部积分：得：代入（3）式，有：(2)式两边乘 并沿梁长积分可得：同理，相减：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动/梁的弯曲振动第76页/共100页如果 i=j恒成立第 j 阶主质量 第 j 阶主刚度 第 j 阶固有频率（1）（2）(1)式两边乘 并沿梁长对 x 积分：分部积分：得：代入（3）式，有：(2)式两边乘 并沿梁长

23、积分可得：同理，相减：得：(3)（4）（5）连续系统的振动/梁的弯曲振动第77页/共100页第 j 阶主质量 第 j 阶主刚度 第 j 阶固有频率时时主振型中的常数按下列归一化条件确定：正则振型 正则振型的正交性：连续系统的振动/梁的弯曲振动第78页/共100页梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程：令：代入：两边乘 并沿梁长对 x 积分：由正交性条件，得：第 j 个正则坐标方程 第 j 个正则坐标的广义力 由分部积分：连续系统的振动/梁的弯曲振动第79页/共100页梁初始条件的处理假定梁的初始条件为：代入：两式乘并沿梁长积分，由正交性条件可得：第 j 个正则坐标方程：第 j 个正则模态响应

24、：得到 后，即可得到梁的响应连续系统的振动/梁的弯曲振动第80页/共100页如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用函数，可以表示为:有：连续系统的振动/梁的弯曲振动第81页/共100页中点受常力P作用产生静变形例：简支梁求：当P突然移出时梁的响应解：由材力得初始条件:梁中点的静挠度连续系统的振动/梁的弯曲振动第82页/共100页梁两端简支 固有频率：振型函数：代入归一化条件：模态初始条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第83页/共100页模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零正则广义力模态响应：因此有：连续系统的振动/梁的弯曲振动第84页/共100页例：简支梁求：梁的响应

25、中点受力矩 作用连续系统的振动/梁的弯曲振动第85页/共100页解：由上例知：固有频率：振型函数：正则广义力：第 i 个正则方程：因此有：连续系统的振动/梁的弯曲振动第86页/共100页例：悬臂梁自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动第87页/共100页解：强迫振动方程：模态函数：设解为：代入方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第88页/共100页利用正则模态的正交性条件：两边乘 并沿梁长对 x 积分：模态稳态解：梁的响应：连续系统的振动/梁的弯曲振动第89页/共100页梁的响应：梁自由端的响应令 x=l：连续系统的振动/梁的弯曲振动第90页/共100

26、页例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动第91页/共100页解：梁的振动方程：解释：微段分析力平衡方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第92页/共100页以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量，得：连续系统的振动/梁的弯曲振动第93页/共100页材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：梁的振动方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第94页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程：令：即：即：设解为：为归一化的正则模态第95页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程，得：用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：第96页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动模态稳态解：简支梁固有频率：第97页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动代入：第98页/共100页连续系统的振动/梁的弯曲振动思考题：悬臂梁，右端简支。试求梁的响应。右端承受支撑运动第99页/共100页感谢您的观看！第100页/共100页