金融工程学BS公式.pptx

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1、1欧式期权定价欧式期权定价轶事轶事巧合的是，国际上第一个期权交易所巧合的是，国际上第一个期权交易所芝加哥期权交易所于芝加哥期权交易所于1973年年4月底挂牌营业，略早于月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（公式的正式发表（5-6月号）月号）两位作者最先把论文投给两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少金融太多，经济学太少他们于是向他们于是向经济学与统计学评论经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝见的情况下遭到拒绝在芝加哥人在芝

2、加哥人E.Fama和和M.Miller与与JPE杂志的编辑打了招呼以杂志的编辑打了招呼以后，后，JPE才最终发表了这篇论文才最终发表了这篇论文这一番波折导致他们检验这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先公式的论文发表在先第1页/共53页2教学内容教学内容1.风险中性定价风险中性定价2.标的资产的变化过程标的资产的变化过程3.B-S期权定价公式期权定价公式4.波动率的计算波动率的计算5.二值期权二值期权6.标的资产支付红利情况下的期权定价标的资产支付红利情况下的期权定价7.欧式指数期权、外汇期权和期货期权欧式指数期权、外汇期权和期货期权第2页/共53页31.风险中性定价风险中性定价风险中

3、性市场，欧式看涨期权风险中性市场，欧式看涨期权第3页/共53页42.标的资产价格的变化规律确定性模型：随机模型：第4页/共53页5对数正态分布对数正态分布 在概率论与统计学中，对数正态分布是在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。的任意随机变量的概率分布。如果如果 X 是正态分布的随机变量，则是正态分布的随机变量，则 exp(X)为对数分布；同样，如果为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态是对数正态分布，则分布，则 log(Y)为正态分布。为正态分布。如果一个变量可以看作是如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积许多很小独立因子的乘积，则这个

4、变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期连续收益则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期连续收益率，它可以看作是每天连续收益率的乘积。率，它可以看作是每天连续收益率的乘积。对于对于 x 0，对数正态分布的概率分布，对数正态分布的概率分布函数为函数为第5页/共53页6第6页/共53页7第7页/共53页8第8页/共53页9马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process)无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径如果股价过程是

5、马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性第9页/共53页10Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)定义定义瞬时增量为增量的均值等于 0增量的标准差等于nWiener过程，Brown 运动：n独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的n每个区间上的增量满足正态分布nWiener过程是Markov过程第10页/共53页11Wiener过程过程(

6、布朗运动布朗运动)基本性质基本性质Wiener过程过程(长时间段内长时间段内)的增量的增量增量的均值等于增量的均值等于0增量的标准差等于增量的标准差等于第11页/共53页12股票价格的随机过程股票价格的随机过程GBM令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型Samuelson P.A 1965;Bachelier1990股票价格的对数过程为Brown运动 股票价格的几何布朗运动模型（股票价格的几何布朗运动模型（GBM）第12页/共53页13例例考虑一种标的资产，初始价格为考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期，预期收益率为每年收益率为每年16，波动率为每年，波动率为每年20。则。则经过六

7、个月后，资产的价格经过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概服从如下概率分布：率分布：第13页/共53页14实际中实际中GBM的参数估计的参数估计知道期限知道期限0，T的股价数据记录，将的股价数据记录，将0，T分为长度相等的子区间分为长度相等的子区间第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列U1,U2,Un第二步计算第二步计算U1,U2,Un的均值和方差的均值和方差第三步第三步 解方程解方程第14页/共53页15无套利市场中的无套利市场中的股票价格过程股票价格过程在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的Br

8、own运动 该假设与风险中性原理的吻合该假设与风险中性原理的吻合第15页/共53页163.B-S公式的推导公式的推导1引入示性函数：引入示性函数：第16页/共53页17命题1：设第17页/共53页18事实上，S(t)X第18页/共53页19命题2：第19页/共53页20命题3：其中，第20页/共53页21定理：Black-Scholes 期权定价公式 第21页/共53页22对公式的诠释其中，N(x)表示的标准正态分布N(0,1)的概率值 假设股票的连续收益率满足布朗运动，Brown 运动：独立平稳增量随机过程，每个区间上的增量满足正态分布，即股票价格满足几何布朗运动，ZN(0,1)利用风险中性

9、定价方法第22页/共53页23例例Intel 股价在股价在1998年年5月月22日时的有关数据如下日时的有关数据如下:S=74.625X=100T-t=1.646(到期日到期日2000年年1月月)r=0.05波动率波动率0.375D1=-0.207，d2=-0.688，N(d1)=0.4164，N(d2)=0.2451C=$8.37，实际交易通过竞价市场，市价为，实际交易通过竞价市场，市价为$8.25第23页/共53页244.关于波动率的计算关于波动率的计算历史数据法，隐含波动率法历史数据法：前提：在最近的历史期间起主要作用的价格波动率，也同样适用于未来的期间。计算一个期间的连续收益率的标准差

10、再转化为以年为单位的连续收益率的标准差第24页/共53页25历史数据法计算程序历史数据法计算程序第25页/共53页26隐含波动率法隐含波动率法隐含波动率，指的是能使隐含波动率，指的是能使B-S模型价格等于期权当前模型价格等于期权当前市场价格的标准差的数值市场价格的标准差的数值根据特定的精确度，不断根据特定的精确度，不断试错的过程试错的过程股票的所有具备相同到期股票的所有具备相同到期日的期权合约，都应当拥日的期权合约，都应当拥有相同的波动率。有相同的波动率。问题：同一股票的不同合问题：同一股票的不同合约可能产生不同的隐含波约可能产生不同的隐含波动率动率X5月6月7月1200.760.790.85

11、1250.750.830.861300.760.830.85美国在线公司的波动率第26页/共53页27计算方法计算方法不同隐含波动率的简单平均加权平均选择股票价格等于执行价格的现值时的期权的隐含波动率Brenner and Subrahmanyam,1988深入探索了，得出第27页/共53页28波动率的期限结构波动率的期限结构指具有一定执行价格、不同到期日的期权合约的隐含波动率的差额波动率随着执行价格的变化而变化的模式一般称为波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线波动率正确取值的不确定性是吸引投机者的原因之一马克吐温在Pudd nhead Wilson 一书的谚语“相似的想法并不是最好，看法的相似的

12、想法并不是最好，看法的差异才能使马赛运转起来差异才能使马赛运转起来”第28页/共53页295.欧式二值期权定价公式欧式二值期权定价公式二值看涨期权价值二值看涨期权价值 二值看跌期权价值二值看跌期权价值第29页/共53页306.B-S期权定价公式扩展期权定价公式扩展不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率的时间、无风险利率以及标的股票的波动率如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期

13、权没有分红的保护，因此不能直接利用于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法是：个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到分配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，公式中，从而得到欧式期权的价值从而得到欧式期权的价值 第30页/共53页31离散红利离散红利 D表示期权期限内红利在表示期权期限内红利在0时刻的现值时刻的现值定理：定理：在上述条件下，在上述条件下，B-S公式扩展为：公式扩展为：其中，其中，第31页/共53

14、页32标的资产支付连续红利的标的资产支付连续红利的欧式期权定价欧式期权定价下述两种股票下述两种股票在在T时刻时刻的价格分布相同的价格分布相同当前股价为当前股价为 ，支付连续红利，红利率为，支付连续红利，红利率为q q当前股价为当前股价为 ，不支付红利，不支付红利定价原则：定价原则：在标的股票支付连续红利的欧式期权定价时，可以把它当作标的股票不在标的股票支付连续红利的欧式期权定价时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只要用支付红利的欧式期权，只要用 替代当前股价替代当前股价第32页/共53页33欧式股票期权欧式股票期权连续红利连续红利 第33页/共53页347.股票指数期权与外汇期权股票

15、指数期权与外汇期权连续红利的连续红利的B-S定价公式可以直接用于股票指数定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价期权与外汇期权的定价股票指数期权：股票指数期权：n第一笔指数期权合约产生于第一笔指数期权合约产生于1983年年3月月11日，日，CBOE100种股票指数期权，标准普尔种股票指数期权，标准普尔100种股种股票指数期权。票指数期权。n占全部期权交易总量的占全部期权交易总量的18，在，在CBOE，占其，占其交易总量的交易总量的1/3左右。左右。n受欢迎的原因有二，第一现金结算，第二作为受欢迎的原因有二，第一现金结算，第二作为整体市场的期权整体市场的期权第34页/共53页35欧式股票

16、指数期权定价公式欧式股票指数期权定价公式 q为指数的增长率第35页/共53页36外汇期权外汇期权外汇期权于1982年引进费城证券交易所，到1999年12月为止，场外交易的名义价值为23000亿美元，合约市场价值总和约为600亿美元。解释：解释：一份2月份到期的、执行价为96的欧元买入期权，意味着持有该买入期权可以用0.96美元买进一欧元，合约价值是100000欧元，期权费每单位欧元1.27美分。作业作业1，如果在到期日，即期汇率为1.10美元，如何计算收益？第36页/共53页37加曼科尔哈根外汇期权定价公式加曼科尔哈根外汇期权定价公式Garman and Kohlagen,1983例：即期汇率

17、S97.05，X=96，欧元利率0.0352，美元利率0.0568，波动率0.045，期限0.0767，第37页/共53页38期货期权期货期权支付支付期货期权的到期时间通常稍早于标得期货的到期时间期货期权的到期时间通常稍早于标得期货的到期时间最活跃的期货期权最活跃的期货期权CBOT交易的中长期国债期货期权交易的中长期国债期货期权(美式美式)CME交易的欧洲美元期货期权交易的欧洲美元期货期权(美式美式)买权买权期货合约多头头寸期货合约多头头寸+相当于期货最新结算价的现金相当于期货最新结算价的现金-期权执行价期权执行价Max(F-X,0)，其中，其中F表示期权执行时的期货价格表示期权执行时的期货价

18、格卖权卖权期货合约空头头寸期货合约空头头寸-相当于期货最新结算价的现金相当于期货最新结算价的现金+期权执行价期权执行价Max(X-F,0)，其中，其中F表示期权执行时的期货价格表示期权执行时的期货价格第38页/共53页39期货期权期货期权风险中性下的风险中性下的期望增长率期望增长率在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望增长率为在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望增长率为(r-q)，其中，其中r为无风险利率，为无风险利率，q为红利率为红利率签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望增长率为零签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该股票

19、的红利率等于无风险利率如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该股票的红利率等于无风险利率期货价格等于期货到期日即期价格的期望值期货价格等于期货到期日即期价格的期望值第39页/共53页40期货期权期货期权平价关系平价关系欧式期权美式期权第40页/共53页41期货期权期货期权Black定价定价模型（1976）假设期货价格过程为假设期货价格过程为假定期货合约和期权合约同时到期，在连续红利的期权定价公式中，用期货价格假定期货合约和期权合约同时到期，在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票价格，并且用无风险利率代替股票价格，并且用无风险利率 r 替代红利率替代红利率 q，就得到期货期权的定价公，就

20、得到期货期权的定价公式式第41页/共53页42Black模型（1976）例:标准普尔500股指期货期权，期货价格=1401，X1400，到期时间0.1233,无风险利率0.0543,波动率0.21,计算C44.88.第42页/共53页438.二叉树模型与二叉树模型与BS模型模型第43页/共53页447.希腊字母希腊字母-偏导数偏导数一、方法论：一、方法论：第44页/共53页45二、偏导数二、偏导数1.欧式看涨期权关于执行价格的偏导数第45页/共53页462.Delta值值欧式看涨期权关于标的资产价格的偏导数第46页/共53页473.Pho欧式看涨期权关于利率的偏导数第47页/共53页484Ve

21、ga 欧式看涨期权关于波动率的偏导数欧式看涨期权关于波动率的偏导数命题命题第48页/共53页49引理：第49页/共53页505.Theta 中性中性第50页/共53页516.Gamma第51页/共53页52参考书：参考书：金融数学，（美）金融数学，（美）Joseph Stampfli and Victor Goodman，机械工业出版社。，机械工业出版社。第五章第五章 连续时间模型和连续时间模型和Black-Scholes 公式公式数理金融初步，数理金融初步，（美），（美）Sheldon M.Ross，机械工业出版社。，机械工业出版社。第七章第七章 Black-Scholes 公式公式 第52页/共53页53感谢您的观看！第53页/共53页