连续系统的振动之集中质量法假设模态法模态综合法和有限元法.pptx

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1、 连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件 当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似由度的系统进行近似集中质量法 假设模态法有限元法集中质量法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上假设模态法假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解有限元法有限元法兼有以上两种方法的特点兼有以上两种方法的特点连续系统的振动/集中质量法第1页/共65页 集中质量法 工程系统的物理参数

2、常常分布不均匀 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上可以不计或折合到集中质量上物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量集中质量的数量取决于所要求的计算精度集中质量的数量取决于所要求的计算精度连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析分析方法进行分析连续系统的振动/集中质量法第2页/共65页 集中质量法以等截面

3、梁为例材料密度长度 l抗弯刚度 EI将梁均分为四段并将每段的质量平均分到该段的两端支座处的集中质量不影响梁的弯曲连续梁可用三个集中质量代替：质量矩阵：梁质量：横截面积度 S连续系统的振动/集中质量法第3页/共65页三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质由材料力学，得柔度影响系数：质量矩阵：柔度矩阵：可以求解系统固有频率连续系统的振动/集中质量法第4页/共65页也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有频率连续系统的振动/集中质量法第5页/共65页连续梁三自由度系统两自由度系统单自由度系统固有频率精确解近似解误差近似解误差近似解误差0.03%0.7

4、3%6.3%0.1%3.3%0.7%（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于悬注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于悬臂梁系统，计算精度明显下降臂梁系统，计算精度明显下降连续系统的振动/集中质量法第6页/共65页教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法第7页/共65页 假设模态法利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：模态函数：模态坐标若

5、取前 n 个有限项作为近似解，则有：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的不一定满足动力学方程的试函数族试函数族：与假设模态所对应的广义坐标 动力学方程 瑞利法 里兹法连续系统的振动/假设模态法第8页/共65页假定模态函数 已经确定梁的近似解可写为：以均质梁的横向振动为例动能：质量阵质量阵为对称阵连续系统的振动/假设模态法第9页/共65页假定模态函数 已经确定梁的近似解可写为：以均质梁的横向振动为例势能：刚度阵刚度阵为对称阵连

6、续系统的振动/假设模态法第10页/共65页有激励存在的拉格朗日方程：或拉氏函数：对应于广义坐标 的广义力设沿梁作用有分布力 p(x,t)当梁有虚位移 时，分布力的虚功：连续系统的振动/假设模态法第11页/共65页有激励存在的拉格朗日方程：或分布力的虚功：按照广义力的定义：比较，得：矩阵形式：连续系统的振动/假设模态法第12页/共65页有激励存在的拉格朗日方程：或T、V、Q 代入拉格朗日方程：广义力：拉格朗日方程的矩阵形式：弹性体的受迫振动转换成了 n 自由度系统的强迫振动问题连续系统的振动/假设模态法第13页/共65页梁的近似解：动能：质量阵系统的动能：质量阵：如果梁上有集中质量 m，对称阵连

7、续系统的振动/假设模态法第14页/共65页系统的势能：如果梁上有卷簧 k1 和弹簧 k2，势能：刚度阵梁的近似解：刚度阵：对称阵连续系统的振动/假设模态法第15页/共65页例：等截面简支梁梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量采用假设模态法，求：（1）梁的前三阶固有频率（2）梁的稳态横向强迫振动Ma集中质量上有外力假设模态取为：连续系统的振动/假设模态法第16页/共65页解：若对第三阶固有频率的精度要求不高，取 n3质量阵：Ma模态函数阵：刚度阵：连续系统的振动/假设模态法第17页/共65页特征值问题：固有频率：正则化特征向量：连续系统的振动/假设模态法第18页/共65页梁的稳态响应：外力

8、写成分布力形式：Ma强迫振动方程：广义力：广义力列阵：连续系统的振动/假设模态法第19页/共65页离散化强迫振动方程：令：坐标变换：梁的稳态响应：求得得代入梁的稳态响应方程中得解连续系统的振动/假设模态法第20页/共65页 假设模态法 动力学方程 瑞利法 里兹法连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法，是多自由度系统的瑞利法的推广以梁的弯曲振动为例假设梁以某阶模态函数作频率为 的自由振动：设系统为保守系统，机械能守恒即引入系统的参考动能：连续系统的振动/假设模态法第21页/共65页定义瑞利商：参考动能：当 为准确的第 i 阶模态函数时，瑞利商即为相应的特征值，即第 i 阶固有频率若 是试函数，

9、它满足梁的几何边界条件，但不满足动力学方程，则瑞利商是一个依赖于 的标量试函数 越接近某阶真实模态，瑞利商越接近该阶固有频率与多自由度系统相同，瑞利商大于基频实际计算时可选择梁的静变形函数，或选择条件相近的梁的精确解作为试函数连续系统的振动/假设模态法第22页/共65页若梁上存在集中质量和弹性支撑则最大势能和参考动能相应改为：连续系统的振动/假设模态法第23页/共65页例：等截面悬臂梁端部有一集中质量用瑞利法估计基频解：选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好连续系统的振动/假设模态法第24

10、页/共65页 假设模态法 动力学方程 瑞利法 里兹法里兹法是瑞利法的改进瑞利法使用单个试函数，而里兹法使用若干个独立的试函数的线性组合：满足几何边界条件里兹基函数待定系数都是ai 的函数瑞利商：连续系统的振动/假设模态法第25页/共65页瑞利商：选择系数 ai（i1,2,n），使得瑞利商取驻值：得到 ai 的齐次代数方程组，其非零解条件可用来计算系统的固有频率考虑梁的弯曲振动，其参考动能为：定义：连续系统的振动/假设模态法第26页/共65页梁的弯曲振动的参考动能：若梁上存在集中质量连续系统的振动/假设模态法第27页/共65页梁的弯曲振动，其最大势能：定义：固有频率的近似值连续系统的振动/假设模

11、态法第28页/共65页梁的弯曲振动最大势能：若梁上存在弹性支撑连续系统的振动/假设模态法第29页/共65页得特征值问题：可求得n个特征值 和n特征向量 里兹法改善了瑞利法对基频的估计，还可计算高阶固有频率 n 愈大，计算精度愈高计算精度也与基函数计算精度也与基函数 的选择有关，通常采用幂函的选择有关，通常采用幂函数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁的模态函数作为基函数的模态函数作为基函数第 i 阶模态函数：连续系统的振动/假设模态法第30页/共65页例：等截面简支梁梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量采用里兹法，求：梁的模态函数

12、近似解Ma选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数：解：基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零）连续系统的振动/假设模态法第31页/共65页离散化强迫振动方程：模态试函数：若对第三阶固有频率的精度要求不高，取 n3连续系统的振动/假设模态法第32页/共65页模态试函数：梁的模态函数近似解：连续系统的振动/假设模态法第33页/共65页例：楔形悬臂梁单位厚度截面变化为根部截面积用里兹法求基频解：截面对中性轴的惯性矩：根部截面对中性轴的惯性矩取基函数：可以验证，基函数满足所有位移边界条件和力边界条件连续系统的振动/假设模态法第34页/共65页单位厚度截面变化为根部截面积截面对中性轴的惯性矩：

13、根部截面对中性轴的惯性矩基函数：取 n2质量阵：刚度阵：连续系统的振动/假设模态法第35页/共65页由：若取 n1：精确解：连续系统的振动/假设模态法第36页/共65页教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法第37页/共65页 模态综合法对于由多个构件组成的复杂系统，很难找到适合于整个系统对于由多个构件组成的复杂系统，很难找到适合于整个系统的假设模态的假设模态子结构的划分应使得子结构易于分析，并且对接面尽量缩小，子结构的划分应使得子结构易于分析，并且对接面尽量缩小，以减少子结构之间的耦合以减少子结构之间的耦合实际工程问题中低阶模态占主要成分，因此对每个子结构只实际

14、工程问题中低阶模态占主要成分，因此对每个子结构只需要计算少量低阶模态，然后加以综合需要计算少量低阶模态，然后加以综合对策：将复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对每个子结构选定假设模态，然后根据对接面上的位移和力的协调条件，将各个子结构的假设模态综合成总体系统的模态函数模态综合法模态综合法连续系统的振动/模态综合法第38页/共65页等截面直角梁的弯曲振动问题等截面直角梁的弯曲振动问题两根梁，长度两根梁，长度 l，截面抗弯刚度，截面抗弯刚度 EI梁材料密度梁材料密度 ，截面积，截面积 A处固接处固接将直角梁分为两个子结构将直角梁分为两个子结构坐标：坐标：子结构模态的选取：子结构模态的选取：固定界

15、面法固定界面法，自由界面法自由界面法固定界面法：将两子结构的界面固定界面法：将两子结构的界面 o3 加以固定，使两子结构成为加以固定，使两子结构成为两端固定的直梁两端固定的直梁满足几何边界条件的模态函数：满足几何边界条件的模态函数：不计梁的纵向振动，界面无横向位移，但界面可自由转动不计梁的纵向振动，界面无横向位移，但界面可自由转动连续系统的振动/模态综合法第39页/共65页当界面当界面 o3 产生单位角位移时，产生单位角位移时，各子结构满足几何边界条件的各子结构满足几何边界条件的模态称为模态称为约束模态约束模态，取为：，取为：满足几何边界条件的模态函数：满足几何边界条件的模态函数：梁的横向位移

16、的模态表达式：梁的横向位移的模态表达式：界面应满足：界面应满足：位移协调条件位移协调条件弯矩协调条件弯矩协调条件代入，得约束方程：代入，得约束方程：连续系统的振动/模态综合法第40页/共65页记：记：令系统广义坐标：令系统广义坐标：得：得：系统动能：系统动能：系统势能：系统势能：连续系统的振动/模态综合法第41页/共65页系统得动力学方程：系统得动力学方程：连续系统的振动/模态综合法第42页/共65页教学内容一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法有限元法有限元法第43页/共65页 有限元法20世纪五六十年代发展起来的方法 吸

17、取了集中质量法与假设模态法的优点有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）函数表示（单元的假设模态）由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上以以杆的纵向振动杆的纵向振动

18、和和梁的弯曲振动梁的弯曲振动为例进行介绍为例进行介绍连续系统的振动/有限元法第44页/共65页杆的纵向振动杆的纵向振动单元质量矩阵和刚度矩阵的求解单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将杆划分为多个单元将杆划分为多个单元取出其中一个单元进行分析取出其中一个单元进行分析单元长单元长 l，两端节点位移，两端节点位移 u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：位置截面的位移：单元假设模态：单元假设模态（形函数）（形函数）取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数元的静变形函数例如：例如：连续系统的振动/有限元法第45页/共65页x

19、 位置截面的位移：位置截面的位移：代入，得：代入，得：单元动能：单元动能：单元质量矩阵单元质量矩阵为常数时为常数时：材料密度：材料密度：截面积：截面积连续系统的振动/有限元法第46页/共65页单元势能：单元势能：单元刚度矩阵单元刚度矩阵为常数时为常数时：弹性模量：弹性模量f(x,t)对虚位移对虚位移 的虚功：的虚功：与节点坐标：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵对应的单元广义力列阵若轴向力若轴向力 f(x,t)为常力为常力连续系统的振动/有限元法第47页/共65页全系统的动力学方程全系统的动力学方程以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总

20、体结构以一个例子进行说明以一个例子进行说明杆划分为三个单元杆划分为三个单元单元质量矩阵：单元质量矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：单元坐标单元坐标连续系统的振动/有限元法第48页/共65页全部节点坐标列阵：全部节点坐标列阵：节点坐标约束条件：节点坐标约束条件：只有三个独立只有三个独立定义独立的广义坐标：定义独立的广义坐标：广义坐标列阵：广义坐标列阵：节点坐标与广义坐标之间的关系：节点坐标与广义坐标之间的关系：连续系统的振动/有限元法第49页/共65页全系统的动能：全系统的动能：连续系统的振动/有限元法第50页/共65页质量矩阵质量矩阵 M 也可直接利用单元质量矩阵组集而成也可直接利用单元质量矩

21、阵组集而成方法：方法：将单元质量矩阵将单元质量矩阵 me1、me2 和和 me3 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，放入的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中中与编号相对应的行和列中连续系统的振动/有限元法第51页/共65页单元质量矩阵：单元质量矩阵：和广义坐标和广义坐标 相对应的质量矩阵：相对应的质量矩阵：连续系统的振动/有限元法第52页/共65页全系统的势能：全系统的势能：也可组集也可组集得到：得到：连续系统的振动/有限元法第53页/共65页当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：系统

22、的广义力阵：系统的广义力阵：作用力的总虚功：作用力的总虚功：与广义坐标与广义坐标 q 对应的广义力阵对应的广义力阵也可将也可将Fe1、Fe2 和和 Fe3 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新的下标重新编号，放入编号，放入 Q 中与编号相对应的行和列中中与编号相对应的行和列中连续系统的振动/有限元法第54页/共65页用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：表示的全系统的动力学方程：连续系统的振动/有限元法第55页/共65页梁的弯曲振动梁

23、的弯曲振动单元质量矩阵和刚度矩阵的求解单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将梁划分为多个单元将梁划分为多个单元取出其中一个单元进行分析取出其中一个单元进行分析：单元形函数：单元形函数单元长单元长 l，节点横向位移，节点横向位移 u1(t)、u3(t)，节点截面转角，节点截面转角u2(t)、u4(t)单元单元 x 位置截面的横向位移：位置截面的横向位移：单元节点坐标：单元节点坐标：选为均质梁在端点常值位移作用下的静挠度曲线：选为均质梁在端点常值位移作用下的静挠度曲线：连续系统的振动/有限元法第56页/共65页解得：解得：单元形函数应满足的边界条件：单元形函数应满足的边界条件：1连续系统的振动/有限元法第

24、57页/共65页代入：代入：形函数列阵：形函数列阵：单元的动能：单元的动能：材料密度：材料密度：截面积：截面积单元质量矩阵单元质量矩阵为常数时为常数时连续系统的振动/有限元法第58页/共65页单元的势能：单元的势能：抗弯刚度：抗弯刚度单元刚度矩阵单元刚度矩阵为常数时为常数时假设梁上有分布外力，其虚功：假设梁上有分布外力，其虚功：与节点坐标：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵对应的单元广义力列阵对于均布载荷，对于均布载荷，f 为常数，有：为常数，有：连续系统的振动/有限元法第59页/共65页全系统的动力学方程全系统的动力学方程以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构以上对单元所作的分

25、析必须进行综合，以扩展到总体结构以一个例子进行说明以一个例子进行说明梁划分为两个单元梁划分为两个单元单元质量矩阵：单元质量矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：单元坐标阵单元坐标阵连续系统的振动/有限元法第60页/共65页全部节点坐标列阵：全部节点坐标列阵：节点坐标约束条件：节点坐标约束条件：只有四个独立只有四个独立定义独立的广义坐标：定义独立的广义坐标：广义坐标列阵：广义坐标列阵：节点坐标与广义坐标之间的关系：节点坐标与广义坐标之间的关系：全系统动能：全系统动能：与与q对应的质量阵对应的质量阵连续系统的振动/有限元法第61页/共65页因此，有：因此，有：单元质量矩阵：单元质量矩阵：与杆相同，与杆

26、相同，M 也可直接将也可直接将 me1、me2 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi(i=1,2,3,4)的下的下标重新编号，放入对应的行列组集标重新编号，放入对应的行列组集而成而成同理可得与广义坐标同理可得与广义坐标 q 所对应的刚所对应的刚度矩阵度矩阵连续系统的振动/有限元法第62页/共65页系统的广义力阵：系统的广义力阵：作用力的总虚功：作用力的总虚功：与广义坐标与广义坐标 q 对应的广义力阵对应的广义力阵也可将也可将Fe1、Fe2 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，的下标重新编号，放入放入 Q 中与编号相对应的行和列中中与编号相对应的行和列中假设梁上有简谐变化的均布载荷假设梁上有简谐变化的均布载荷与节点坐标与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵：对应的单元广义力列阵：节点坐标与广义坐标之间的关系：节点坐标与广义坐标之间的关系：与节点坐标与节点坐标U对应的广义力阵对应的广义力阵连续系统的振动/有限元法第63页/共65页用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：表示的全系统的动力学方程：连续系统的振动/有限元法第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页